En álgebra abstracta , la equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de anillos . Más precisamente, dos anillos como R , S son equivalentes de Morita (denotados por ) si sus categorías de módulos son aditivamente equivalentes (denotados por [a] ). [2] Recibe su nombre del matemático japonés Kiiti Morita , quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.
Los anillos se estudian comúnmente en términos de sus módulos , ya que los módulos pueden verse como representaciones de anillos. Cada anillo R tiene una estructura natural de módulo R en sí mismo donde la acción del módulo se define como la multiplicación en el anillo, por lo que el enfoque a través de módulos es más general y proporciona información útil. Debido a esto, a menudo se estudia un anillo estudiando la categoría de módulos sobre ese anillo. La equivalencia de Morita lleva este punto de vista a una conclusión natural al definir los anillos como equivalentes de Morita si sus categorías de módulo son equivalentes . Esta noción es de interés solo cuando se trata de anillos no conmutativos , ya que se puede demostrar que dos anillos conmutativos son equivalentes de Morita si y solo si son isomorfos .
Se dice que dos anillos R y S (asociativos, con 1) son ( Morita ) equivalentes si hay una equivalencia de la categoría de módulos (izquierdos) sobre R , R-Mod , y la categoría de módulos (izquierdos) sobre S , S-Mod . Se puede demostrar que las categorías de módulos izquierdos R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulos derechos Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede demostrar que cualquier funtor de R-Mod a S-Mod que produzca una equivalencia es automáticamente aditivo .
Dos anillos isomorfos cualesquiera son equivalentes de Morita.
El anillo de matrices n por n con elementos en R , denotado M n ( R ), es Morita-equivalente a R para cualquier n > 0 . Nótese que esto generaliza la clasificación de anillos artinianos simples dada por la teoría de Artin–Wedderburn . Para ver la equivalencia, note que si X es un R -módulo izquierdo entonces X n es un M n ( R )-módulo donde la estructura del módulo está dada por la multiplicación de matrices a la izquierda de los vectores columna de X . Esto permite la definición de un funtor de la categoría de R -módulos izquierdos a la categoría de M n ( R )-módulos izquierdos. El funtor inverso se define al darse cuenta de que para cualquier M n ( R )-módulo hay un R -módulo izquierdo X tal que el M n ( R )-módulo se obtiene de X como se describió anteriormente.
Las equivalencias se pueden caracterizar de la siguiente manera: si F : R-Mod S-Mod y G : S-Mod R-Mod son funtores aditivos (covariantes) , entonces F y G son una equivalencia si y solo si hay un bimódulo ( S , R )- balanceado P tal que S P y P R son generadores proyectivos finitamente generados y hay isomorfismos naturales de los funtores , y de los funtores . Los generadores proyectivos finitamente generados también se denominan a veces progeneradores por su categoría de módulo. [3]
Para cada funtor exacto por la derecha F de la categoría de módulos por la izquierda R a la categoría de módulos por la izquierda S que conmuta con sumas directas , un teorema de álgebra homológica muestra que hay un (S,R) -bimódulo E tal que el funtor es naturalmente isomorfo al funtor . Puesto que las equivalencias son por necesidad exactas y conmutan con sumas directas, esto implica que R y S son equivalentes de Morita si y solo si hay bimódulos R M S y S N R tales que como bimódulos (R,R) y como bimódulos (S,S) . Además, N y M están relacionados a través de un isomorfismo de bimódulo (S,R) : .
Más concretamente, dos anillos R y S son equivalentes de Morita si y solo si para un módulo progenerador P R , [4] lo cual es el caso si y solo si
(isomorfismo de anillos) para algún entero positivo n y un idempotente completo e en el anillo matricial M n ( R ).
Se sabe que si R es equivalente de Morita a S , entonces el anillo Z( R ) es isomorfo al anillo Z( S ), donde Z(-) denota el centro del anillo , y además R / J ( R ) es equivalente de Morita a S / J ( S ), donde J (-) denota el radical de Jacobson .
Si bien los anillos isomorfos son equivalentes de Morita, los anillos equivalentes de Morita pueden ser no isomorfos. Un ejemplo fácil es que un anillo de división D es equivalente de Morita a todos sus anillos matriciales M n ( D ), pero no puede ser isomorfo cuando n > 1. En el caso especial de los anillos conmutativos, los anillos equivalentes de Morita son en realidad isomorfos. Esto se desprende inmediatamente del comentario anterior, ya que si R es equivalente de Morita a S , .
El funtor de equivalencia preserva muchas propiedades de los objetos de la categoría de módulos. En términos generales, cualquier propiedad de los módulos definida puramente en términos de módulos y sus homomorfismos (y no de sus elementos subyacentes o anillo) es una propiedad categórica que será preservada por el funtor de equivalencia. Por ejemplo, si F (-) es el funtor de equivalencia de R-Mod a S-Mod , entonces el módulo R M tiene cualquiera de las siguientes propiedades si y solo si el módulo S F ( M ) la tiene: inyectiva , proyectiva , plana , fiel , simple , semisimple , finitamente generada , finitamente presentada , artiniana y noetheriana . Ejemplos de propiedades que no necesariamente son preservadas incluyen ser libre y ser cíclica .
Muchas propiedades de la teoría de anillos se expresan en términos de sus módulos, y por lo tanto estas propiedades se conservan entre anillos equivalentes de Morita. Las propiedades compartidas entre anillos equivalentes se denominan propiedades invariantes de Morita . Por ejemplo, un anillo R es semisimple si y solo si todos sus módulos son semisimples, y dado que los módulos semisimples se conservan bajo la equivalencia de Morita, un anillo equivalente S también debe tener todos sus módulos semisimples y, por lo tanto, ser un anillo semisimple en sí mismo.
A veces no resulta inmediatamente obvio por qué se debe conservar una propiedad. Por ejemplo, utilizando una definición estándar de anillo regular de von Neumann (para todo a en R , existe x en R tal que a = axa ) no queda claro que un anillo equivalente también deba ser regular de von Neumann. Sin embargo, otra formulación es: un anillo es regular de von Neumann si y solo si todos sus módulos son planos. Dado que la planitud se conserva a través de la equivalencia de Morita, ahora queda claro que la regularidad de von Neumann es invariante de Morita.
Las siguientes propiedades son invariantes de Morita:
Ejemplos de propiedades que no son invariantes de Morita incluyen conmutativa , local , reducida , de dominio , de Goldie derecha (o izquierda) , de Frobenius , número base invariante y finita de Dedekind .
Existen al menos otras dos pruebas para determinar si una propiedad de un anillo es invariante de Morita o no. Un elemento e en un anillo R es un idempotente completo cuando e 2 = e y ReR = R .
o
Dual a la teoría de equivalencias es la teoría de dualidades entre las categorías de módulos, donde los funtores utilizados son contravariantes en lugar de covariantes. Esta teoría, aunque similar en forma, tiene diferencias significativas porque no hay dualidad entre las categorías de módulos para ningún anillo, aunque pueden existir dualidades para subcategorías. En otras palabras, debido a que los módulos de dimensión infinita [ aclaración necesaria ] no son generalmente reflexivos , la teoría de dualidades se aplica más fácilmente a álgebras generadas finitamente sobre anillos noetherianos. Quizás no sea sorprendente que el criterio anterior tenga un análogo para las dualidades, donde el isomorfismo natural se da en términos del funtor hom en lugar del funtor tensorial.
La equivalencia de Morita también se puede definir en situaciones más estructuradas, como en el caso de los grupoides simplécticos y las C*-álgebras . En el caso de las C*-álgebras, se necesita una equivalencia de tipo más fuerte, denominada equivalencia de Morita fuerte , para obtener resultados útiles en las aplicaciones, debido a la estructura adicional de las C*-álgebras (que proviene de la operación * involutiva) y también porque las C*-álgebras no necesariamente tienen un elemento identidad.
Si dos anillos son equivalentes de Morita, hay una equivalencia inducida de las respectivas categorías de módulos proyectivos ya que las equivalencias de Morita preservarán secuencias exactas (y por lo tanto módulos proyectivos). Dado que la K-teoría algebraica de un anillo se define (en el enfoque de Quillen ) en términos de los grupos de homotopía del (aproximadamente) espacio de clasificación del nervio de la (pequeña) categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo, los anillos equivalentes de Morita deben tener K-grupos isomorfos.
