Construcción Q

En álgebra, la construcción Q de Quillen asocia a una categoría exacta (por ejemplo, una categoría abeliana ) una teoría K algebraica . Más precisamente, dada una categoría exacta C , la construcción crea un espacio topológico tal que es el grupo de Grothendieck de C y, cuando C es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R , para , es el i -ésimo K-grupo de R en el sentido clásico. (La notación "+" pretende sugerir que la construcción agrega más al espacio de clasificación BC ). Se pone ${\displaystyle B^{+}C}$ ${\displaystyle \pi _{0}(B^{+}C)}$ ${\displaystyle i=0,1,2}$ ${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$

${\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}$

y lo llamamos el i -ésimo K-grupo de C. De manera similar, el i -ésimo K-grupo de C con coeficientes en un grupo G se define como el grupo de homotopía con coeficientes :

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}$.

La construcción es ampliamente aplicable y se utiliza para definir una K-teoría algebraica en un contexto no clásico. Por ejemplo, se puede definir la K-teoría algebraica equivariante a partir de la categoría de haces equivariantes en un esquema. ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle B^{+}}$

La construcción S de Waldhausen generaliza la construcción Q en un sentido estable; de ​​hecho, la primera, que utiliza una categoría de Waldhausen más general , produce un espectro en lugar de un espacio. El complejo binario de Grayson también proporciona una construcción de la K-teoría algebraica para categorías exactas. ^[1] Véase también módulo spectrum#K-theory para una K-teoría de un espectro de anillo .

La construcción

Sea C una categoría exacta, es decir, una subcategoría completa aditiva de una categoría abeliana cerrada bajo extensión. Si existe una sucesión exacta en C , entonces la flecha que parte de M′ se denomina mono admisible y la flecha que parte de M se denomina epi admisible. ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

Sea QC la categoría cuyos objetos son los mismos que los de C y los morfismos de X a Y son clases de isomorfismo de diagramas tales que la primera flecha es un epi admisible y la segunda un mono admisible y dos diagramas son isomorfos si difieren solo en el medio y hay un isomorfismo entre ellos. La composición de morfismos está dada por pullback. ${\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}$

Definir un espacio topológico por donde es un funtor de espacio de bucles y es el espacio clasificatorio de la categoría QC ( realización geométrica del nervio ). Resulta que está definido de forma única hasta la equivalencia de homotopía (por lo que la notación está justificada). ${\displaystyle B^{+}C}$ ${\displaystyle B^{+}C=\Omega BQC}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle BQC}$

Operaciones

Todo homomorfismo de anillo induce y por lo tanto donde es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre R . Se puede demostrar fácilmente que este mapa (llamado transferencia) concuerda con uno definido en Introducción a la K-teoría algebraica de Milnor . ^[2] La construcción también es compatible con la suspensión de un anillo (cf. Grayson). ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}$ ${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}$ ${\displaystyle P(R)}$

Comparación con la teoría K clásica de un anillo

Un teorema de Daniel Quillen establece que, cuando C es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R , es el i -ésimo K-grupo de R en el sentido clásico para . La prueba habitual del teorema (cf. Weibel 2013) se basa en una equivalencia de homotopía intermedia. Si S es una categoría monoidal simétrica en la que cada morfismo es un isomorfismo, se construye (cf. Grayson) la categoría que generaliza la construcción del grupo de Grothendieck de un monoide. Sea C una categoría exacta en la que cada secuencia exacta se divide, por ejemplo, la categoría de módulos proyectivos finitamente generados, y pongamos , la subcategoría de C con la misma clase de objetos pero con morfismos que son isomorfismos en C . Entonces hay una equivalencia de homotopía "natural": ^[3] ${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$ ${\displaystyle i=0,1,2}$ ${\displaystyle S^{-1}S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {iso} C}$

${\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}$.

La equivalencia se construye de la siguiente manera. Sea E la categoría cuyos objetos son secuencias exactas cortas en C y cuyos morfismos son clases de isomorfismo de diagramas entre ellos. Sea el funtor que envía una secuencia exacta corta al tercer término de la secuencia. Nótese que la fibra , que es una subcategoría, consiste en secuencias exactas cuyo tercer término es X . Esto hace que E sea una categoría fibrada sobre . Escribiendo para , hay una inclusión obvia (por lo tanto natural) en la homotopía fibra , que puede demostrarse que es una equivalencia de homotopía. Por otro lado, por el Teorema B de Quillen , se puede demostrar que es el pullback de homotopía de a lo largo y por lo tanto es homotopía equivalente a . ${\displaystyle f:E\to QC}$ ${\displaystyle f^{-1}(X)}$ ${\displaystyle QC}$ ${\displaystyle S^{-1}f}$ ${\displaystyle S^{-1}E\to QC}$ ${\displaystyle \Omega BQC}$ ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$ ${\displaystyle B(S^{-1}S)}$ ${\displaystyle BS^{-1}f}$ ${\displaystyle *\to BQC}$ ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$

Ahora tomamos C como la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R y demostramos que son los de R en el sentido clásico para . En primer lugar, por definición, . A continuación, nos da: ${\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2}$ ${\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}$ ${\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}$

${\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}$.

(Aquí, es el espacio de clasificación de la categoría o el espacio de Eilenberg–MacLane del tipo , que es lo mismo). La imagen en realidad se encuentra en el componente identidad de y así obtenemos: ${\displaystyle BGL(R)}$ ${\displaystyle GL(R)}$ ${\displaystyle K(GL(R),1)}$ ${\displaystyle B(S^{-1}S)}$

${\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}$

Sea la subcategoría completa de S que consta de módulos isomorfos a (por lo tanto, es el componente conexo que contiene a ). Sea el componente que contiene a R . Entonces, por un teorema de Quillen, ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle BS_{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

Por lo tanto, una clase a la izquierda tiene la forma . Pero es inducida por la acción de . Por lo tanto, ${\displaystyle xe^{-n}}$ ${\displaystyle x\mapsto xe^{m}}$ ${\displaystyle R^{m}\in S}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

Dado que es un grupo H , ${\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}$

${\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

Queda por ver . Escribiendo para la fibra de homotopía, tenemos la secuencia larga y exacta : ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle Ff}$

${\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

De la teoría de homotopía, sabemos que el segundo término es central; es decir, es una extensión central . Luego, del siguiente lema se deduce que es la extensión central universal (es decir, es el grupo de Steinberg de R y el núcleo es ). ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$ ${\displaystyle K_{2}(R)}$

Lema  —  Sea una función continua entre complejos CW conexos. Si es un isomorfismo para cualquier sistema de coeficientes locales L en X , entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{*}(X,L)\to H_{*}(Y,f^{*}L)}$

${\displaystyle H_{1}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.}$

Demostración: El tipo de homotopía de no cambia si reemplazamos f por el pullback a lo largo del recubrimiento universal de Y . Por lo tanto, podemos reemplazar la hipótesis por una que dice que Y está simplemente conexa y . Ahora, las secuencias espectrales de Serre para y dicen: ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ ${\displaystyle \to Y}$ ${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}$ ${\displaystyle Ff\to X\to Y}$ ${\displaystyle *\to Y\to Y}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}$

Del teorema de comparación para sucesiones espectrales se deduce que ; es decir, es acíclico . (Casualmente, invirtiendo el argumento, se puede decir que esto implica , por tanto, la hipótesis del lema.) A continuación, la sucesión espectral para el recubrimiento con grupo dice: ${\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}$ ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}$ ${\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

Una inspección de esta secuencia espectral da el resultado deseado.

Referencias

1. Daniel R. Grayson, Teoría K algebraica a través de complejos binarios
2. Srinivas 2008, El final del capítulo 7.
3. Weibel 2013, cap. IV. Teorema 7.1

• Daniel Grayson, Teoría K algebraica superior II [según Daniel Quillen], 1976
• Srinivas, V. (2008), Teoría K algebraica , Modern Birkhäuser Classics (reimpresión en rústica de la segunda edición de 1996), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl1125.19300 ​
• Weibel, Charles (2013), El libro K: una introducción a la teoría K algebraica