Teoremas A y B de Quillen

Dos teoremas necesarios para la construcción Q de Quillen en la teoría K algebraica

En topología , una rama de las matemáticas , el teorema A de Quillen proporciona una condición suficiente para que los espacios de clasificación de dos categorías sean homotópicamente equivalentes. El teorema B de Quillen proporciona una condición suficiente para que un cuadrado formado por espacios de clasificación de categorías sea homotópicamente cartesiano. Los dos teoremas desempeñan papeles centrales en la construcción Q de Quillen en la teoría K algebraica y reciben su nombre en honor a Daniel Quillen .

Los enunciados precisos de los teoremas son los siguientes: ^[1]

Teorema A de Quillen  :  Si es un funtor tal que el espacio de clasificación de la categoría de coma es contráctil para cualquier objeto d en D , entonces f induce una equivalencia de homotopía . ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle B(d\downarrow f)}$ ${\displaystyle d\downarrow f}$ ${\displaystyle BC\to BD}$

Teorema B de Quillen  :  Si es un funtor que induce una equivalencia de homotopía para cualquier morfismo en D , entonces hay una secuencia exacta larga inducida: ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle B(d'\downarrow f)\to B(d\downarrow f)}$ ${\displaystyle d\to d'}$

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i+1}BD\to \pi _{i}B(d\downarrow f)\to \pi _{i}BC\to \pi _{i}BD\to \cdots .}$

En general, la fibra de homotopía de no es naturalmente el espacio clasificatorio de una categoría: no existe ninguna categoría natural tal que . El teorema B se construye en un caso en el que es especialmente agradable. ${\displaystyle Bf:BC\to BD}$ ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle FBf=BFf}$ ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle f}$

Referencias

1. Weibel 2013, Cap. IV. Teorema 3.7 y Teorema 3.8

• Ara, Dimitri; Maltsiniotis, Georges (abril de 2018). "Un théorème A de Quillen pour les ∞-categories estrictos I: La preuve simpliciale". Avances en Matemáticas . 328 : 446–500. arXiv : 1703.04689 . doi : 10.1016/j.aim.2018.01.018.
• Quillen, Daniel (1973), "Higher algebraic K-theory. I", Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , Lecture Notes in Math, vol. 341, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 85–147, doi :10.1007/BFb0067053, ISBN 978-3-540-06434-3, Sr.  0338129
• Srinivas, V. (2008), Teoría K algebraica , Modern Birkhäuser Classics (reimpresión en rústica de la segunda edición de 1996), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl1125.19300 ​
• Weibel, Charles (2013). El libro K: una introducción a la teoría K algebraica. Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 145. AMS . ISBN 978-0-8218-9132-2.