Teoría K algebraica equivariante

En matemáticas, la K-teoría algebraica equivariante es una K-teoría algebraica asociada a la categoría de haces coherentes equivariantes en un esquema algebraico X con acción de un grupo algebraico lineal G , a través de la Q-construcción de Quillen ; así, por definición, ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

En particular, el grupo de Grothendieck es . La teoría fue desarrollada por RW Thomason en la década de 1980. ^[1] En concreto, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización. ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

De manera equivalente, puede definirse como la de la categoría de haces coherentes en la pila cociente . ^{[2] [3]} (Por lo tanto, la K-teoría equivariante es un caso específico de la K-teoría de una pila). ${\displaystyle K_{i}^{G}(X)}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle [X/G]}$

Una versión del teorema de punto fijo de Lefschetz se cumple en el contexto de la teoría K equivariante (algebraica). ^[4]

Teoremas fundamentales

Sea X un esquema algebraico equivariante.

Teorema de localización  :  Dada una inmersión cerrada de esquemas algebraicos equivariantes y una inmersión abierta , existe una secuencia larga y exacta de grupos ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle Z-U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \cdots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \cdots }$

Ejemplos

Uno de los ejemplos fundamentales de grupos de la teoría K equivariante son los grupos K equivariantes de haces coherentes -equivariantes en puntos a , por lo que . Puesto que es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita de . Entonces, el grupo de Grothendieck de , denotado como . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K_{i}^{G}(*)}$ ${\displaystyle {\text{Coh}}^{G}(*)}$ ${\displaystyle {\text{Rep}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Rep}}(G)}$ ${\displaystyle R(G)}$ ${\displaystyle K_{0}^{G}(*)}$

Anillo toroidal

Dado un toro algebraico, una representación de dimensión finita se da mediante una suma directa de módulos -dimensionales llamados pesos de . ^[6] Existe un isomorfismo explícito entre y dado al enviar a su carácter asociado. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {G} _{m}^{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K_{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t_{1},\ldots ,t_{k}]}$ ${\displaystyle [V]}$

Véase también

• Teoría K topológica , teoría K topológica equivariante

Referencias

1. Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952-1995).
2. Adem, Alejandro; Ruan, Yongbin (junio de 2003). "Twisted Orbifold K-Theory". Comunicaciones en Física Matemática . 237 (3): 533–556. arXiv : math/0107168 . Código Bibliográfico :2003CMaPh.237..533A. doi :10.1007/s00220-003-0849-x. ISSN  0010-3616. S2CID  12059533.
3. Krishna, Amalendu; Ravi, Charanya (2 de agosto de 2017). "Teoría K algebraica de pilas de cocientes". arXiv : 1509.05147 [math.AG].
4. Baum, Fulton y Quart 1979
5. Chriss, Neil; Ginzburg, Neil. Teoría de la representación y geometría compleja . págs. 243–244.
6. Porque hay un mapa que envía . Dado que hay una representación inducida del peso . Consulte Toro algebraico para obtener más información. ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle t\mapsto t^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\subset \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:\mathbb {G} _{m}\to GL(\mathbb {A} ^{1})}$ ${\displaystyle k}$
7. Okounkov, Andrei (3 de enero de 2017). "Conferencias sobre cálculos K-teóricos en geometría enumerativa". pág. 13. arXiv : 1512.07363 [math.AG].

• N. Chris y V. Ginzburg, Teoría de la representación y geometría compleja, Birkhäuser, 1997.
• Baum, Paul; Fulton, William; Quart, George (1979). "Lefschetz-Riemann-Roch para variedades singulares". Acta Mathematica . 143 : 193–211. doi : 10.1007/BF02392092 .
• Thomason, RW: Teoría K algebraica de acciones de esquemas grupales. En: Browder, W. (ed.) Topología algebraica y teoría K algebraica. (Ann. Math. Stud., vol. 113, págs. 539-563) Princeton: Princeton University Press 1987
• Thomason, RW: Teorema de Lefschetz-Riemann-Roch y fórmula de traza coherente. Invent. Math. 85, 515–543 (1986)
• Thomason, RW, Trobaugh, T.: Teoría K algebraica superior de esquemas y de categorías derivadas. En: Cartier, P., Illusie, L., Katz, NM, Laumon, G., Manin, Y., Ribet, KA (eds.) The Grothendieck Festschrift, vol. III. (Prog. Math. vol. 88, pp. 247-435) Boston Basel Berlin: Birkhfiuser 1990
• Thomason, RW, Una fórmula de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447–462.

Lectura adicional

• Dan Edidin, Riemann – Roch para pilas Deligne – Mumford, 2012