anillo principal

En álgebra abstracta , un anillo R distinto de cero es un anillo primo si para dos elementos cualesquiera a y b de R , arb = 0 para todo r en R implica que a = 0 o b = 0. Esta definición puede considerarse como una definición simultánea. "Generalización tanto de dominios integrales como de anillos simples" .

Aunque este artículo analiza la definición anterior, el anillo primario también puede referirse al subanillo mínimo distinto de cero de un campo , que es generado por su elemento de identidad 1 y determinado por su característica . Para un campo característico 0, el anillo primo son los números enteros , y para un campo característico p (con p un número primo ), el anillo primo es el campo finito de orden p (cf. Campo primo ). ^[1]

Definiciones equivalentes

Un anillo R es primo si y sólo si el ideal cero {0} es un ideal primo en sentido no conmutativo .

Siendo este el caso, las condiciones equivalentes para ideales primos producen las siguientes condiciones equivalentes para que R sea un anillo primo:

Para dos ideales cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
Para dos ideales rectos cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
Para dos ideales izquierdos cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.

Utilizando estas condiciones se puede comprobar que las siguientes son equivalentes a que R sea un anillo primo:

Todos los ideales correctos distintos de cero son fieles como módulos R derechos .
Todos los ideales izquierdos distintos de cero son fieles como módulos R izquierdos .

Ejemplos

Cualquier dominio es un anillo primario.
Cualquier anillo simple es un anillo primo y, de manera más general, cada anillo primitivo izquierdo o derecho es un anillo primo.
Cualquier anillo matricial sobre un dominio integral es un anillo primo. En particular, el anillo de matrices enteras de 2 × 2 es un anillo primo.

Propiedades

Un anillo conmutativo es un anillo primo si y sólo si es un dominio integral .
Un anillo distinto de cero es primo si y sólo si el monoide de sus ideales carece de divisores cero .
El anillo de matrices sobre un anillo primo es nuevamente un anillo primo.

Notas

^ Página 90 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

Referencias

Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, señor 1838439