En álgebra abstracta , en particular teoría de anillos , el teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki conecta la condición de cadena descendente y la condición de cadena ascendente en módulos sobre anillos semiprimarios . Un anillo R (con 1) se llama semiprimario si R / J ( R ) es semisimple y J ( R ) es un ideal nilpotente , donde J ( R ) denota el radical de Jacobson . El teorema establece que si R es un anillo semiprimario y M es un R -módulo, las tres condiciones de módulo noetheriana , artiniana y "tiene una serie de composición " son equivalentes. Sin la condición semiprimaria, la única implicación verdadera es que si M tiene una serie de composición, entonces M es tanto noetheriana como artiniana.
El teorema toma su forma actual de un artículo de Charles Hopkins (un ex estudiante de doctorado de George Abram Miller ) y un artículo de Jacob Levitzki , ambos de 1939. Por esta razón, a menudo se lo cita como el teorema de Hopkins-Levitzki . Sin embargo, a veces se incluye a Yasuo Akizuki , ya que demostró el resultado [1] para anillos conmutativos unos años antes, en 1935.
Como se sabe que los anillos artinianos rectos son semiprimarios, un corolario directo del teorema es: un anillo artiniano recto también es noetheriano recto . La afirmación análoga para los anillos artinianos izquierdos también es válida. Esto no es cierto en general para los módulos artinianos, porque hay ejemplos de módulos artinianos que no son noetherianos .
Otro corolario directo es que si R es artiniano derecho, entonces R es artiniano izquierdo si y sólo si es noetheriano izquierdo.
He aquí la prueba de lo siguiente: Sea R un anillo semiprimario y M un módulo R izquierdo . Si M es artiniano o noetheriano, entonces M tiene una serie de composición. [2] (El inverso de esto es cierto sobre cualquier anillo).
Sea J el radical de R . Conjunto . El R -módulo puede entonces ser visto como un -módulo porque J está contenido en el aniquilador de . Cada uno es un -módulo semisimple , porque es un anillo semisimple. Además, dado que J es nilpotente, solo un número finito de los son distintos de cero. Si M es artiniano (o noetheriano), entonces tiene una serie de composición finita. Apilando la serie de composición de extremo a extremo, obtenemos una serie de composición para M .
Existen varias generalizaciones y extensiones del teorema. Una de ellas se refiere a las categorías de Grothendieck : si G es una categoría de Grothendieck con un generador artiniano, entonces todo objeto artiniano en G es noetheriano. [3]
