Álgebra de Frobenius

Estructura algebraica con propiedades de dualidad "agradables"

En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de la representación y la teoría de módulos , un álgebra de Frobenius es un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita con un tipo especial de forma bilineal que le da a las álgebras teorías de dualidad particularmente agradables. Las álgebras de Frobenius comenzaron a ser estudiadas en la década de 1930 por Richard Brauer y Cecil Nesbitt y fueron nombradas en honor a Georg Frobenius . Tadashi Nakayama descubrió los inicios de una rica teoría de dualidad (Nakayama 1939), (Nakayama 1941). Jean Dieudonné usó esto para caracterizar las álgebras de Frobenius (Dieudonné 1958). Las álgebras de Frobenius se generalizaron a anillos cuasi-Frobenius , aquellos anillos noetherianos cuya representación regular derecha es inyectiva . En tiempos recientes, se ha renovado el interés en las álgebras de Frobenius debido a las conexiones con la teoría cuántica de campos topológica .

Definición

Se dice que un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita A definida sobre un cuerpo k es un álgebra de Frobenius si A está equipada con una forma bilineal no degenerada σ  : A × A → k que satisface la siguiente ecuación: σ ( a · b , c ) = σ ( a , b · c ) . Esta forma bilineal se denomina forma de Frobenius del álgebra.

De manera equivalente, se puede equipar a A con un funcional lineal λ  : A → k tal que el núcleo de λ no contenga ningún ideal izquierdo distinto de cero de A .

Un álgebra de Frobenius se llama simétrica si σ es simétrica o, equivalentemente, λ satisface λ ( a · b ) = λ ( b · a ) .

Existe también una noción diferente, en su mayor parte no relacionada, del álgebra simétrica de un espacio vectorial .

Automorfismo de Nakayama

Para un álgebra de Frobenius A con σ como la anterior, el automorfismo ν de A tal que σ ( a , b ) = σ ( ν ( b ), a ) es el automorfismo de Nakayama asociado a A y σ .

Ejemplos

1. Cualquier álgebra matricial definida sobre un cuerpo k es un álgebra de Frobenius con la forma de Frobenius σ ( a , b )=tr( a · b ) donde tr denota la traza .
2. Cualquier álgebra asociativa unitaria de dimensión finita A tiene un homomorfismo natural con su propio anillo de endomorfismos End( A ). Se puede definir una forma bilineal en A en el sentido del ejemplo anterior. Si esta forma bilineal es no degenerada, entonces le otorga a A la estructura de un álgebra de Frobenius.
3. Cada anillo de grupo k [ G ] de un grupo finito G sobre un cuerpo k es un álgebra de Frobenius simétrica, con forma de Frobenius σ ( a , b ) dada por el coeficiente del elemento identidad en a · b .
4. Para un cuerpo k , la k -álgebra de cuatro dimensiones k [ x , y ]/ ( x ² , y ² ) es un álgebra de Frobenius. Esto se desprende de la caracterización de los anillos de Frobenius locales conmutativos que se muestra a continuación, ya que este anillo es un anillo local con su ideal máximo generado por x e y , y su ideal mínimo único generado por xy .
5. Para un cuerpo k , la k -álgebra tridimensional A = k [ x , y ]/ ( x , y ) ² no es un álgebra de Frobenius. El homomorfismo A de xA en A inducido por x ↦ y no se puede extender a un homomorfismo A de A en A , lo que demuestra que el anillo no es autoinyectivo y, por lo tanto, no es de Frobenius.
6. Cualquier álgebra de Hopf de dimensión finita , según un teorema de 1969 de Larson-Sweedler sobre módulos e integrales de Hopf.

Propiedades

• El producto directo y el producto tensorial de las álgebras de Frobenius son álgebras de Frobenius.
• Un álgebra local conmutativa de dimensión finita sobre un cuerpo es de Frobenius si y sólo si el módulo regular correcto es inyectivo, si y sólo si el álgebra tiene un ideal mínimo único .
• Las álgebras de Frobenius locales conmutativas son precisamente los anillos de Gorenstein locales de dimensión cero que contienen su campo de residuos y de dimensión finita sobre él.
• Las álgebras de Frobenius son anillos cuasi-Frobenius y, en particular, son artinianas izquierda y derecha y autoinyectivas izquierda y derecha .
• Para un cuerpo k , un álgebra asociativa unital de dimensión finita es Frobenius si y sólo si el A -módulo recto inyectivo Hom _k ( A , k ) es isomorfo a la representación regular recta de A .
• Para un campo infinito k , una k -álgebra asociativa, unital y de dimensión finita es un álgebra de Frobenius si sólo tiene un número finito de ideales rectos mínimos .
• Si F es un cuerpo de extensión de dimensión finita de k , entonces un F -álgebra de dimensión finita es naturalmente un k -álgebra de dimensión finita mediante la restricción de escalares , y es un F -álgebra de Frobenius si y solo si es un k -álgebra de Frobenius. En otras palabras, la propiedad de Frobenius no depende del cuerpo, siempre que el álgebra siga siendo un álgebra de dimensión finita.
• De manera similar, si F es un campo de extensión de dimensión finita de k , entonces cada k -álgebra A da lugar naturalmente a un álgebra F , F ⊗ _k A , y A es un k -álgebra de Frobenius si y solo si F ⊗ _k A es un F -álgebra de Frobenius.
• Entre aquellas álgebras asociativas unitarias de dimensión finita cuya representación regular derecha es inyectiva, las álgebras de Frobenius A son precisamente aquellas cuyos módulos simples M tienen la misma dimensión que sus A -duales, Hom _A ( M , A ). Entre estas álgebras, los A -duales de módulos simples son siempre simples.
• Un álgebra bi-Frobenius de dimensión finita o álgebra doble estricta de Frobenius es un k -espacio vectorial A con dos estructuras de multiplicación como álgebras de Frobenius unitarias ( A , • , 1) y ( A , , ): deben existir homomorfismos multiplicativos y de A en k con y no degenerados, y un k -isomorfismo S de A sobre sí mismo que es un antiautomorfismo para ambas estructuras, tales que Este es el caso precisamente cuando A es un álgebra de Hopf de dimensión finita sobre k y S es su antípoda. El álgebra de grupos de un grupo finito da un ejemplo. ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \phi (a\cdot b)}$ ${\displaystyle \varepsilon (a\star b)}$ ${\displaystyle \phi (a\cdot b)=\varepsilon (S(a)\star b).}$

Definición de teoría de categorías

En teoría de categorías , la noción de objeto de Frobenius es una definición abstracta de un álgebra de Frobenius en una categoría. Un objeto de Frobenius en una categoría monoidal consiste en un objeto A de C junto con cuatro morfismos ${\displaystyle (A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \mu :A\otimes A\to A,\qquad \eta :I\to A,\qquad \delta :A\to A\otimes A\qquad \mathrm {and} \qquad \varepsilon :A\to I}$

de tal manera que

• ${\displaystyle (A,\mu ,\eta )\,}$es un objeto monoide en C ,
• ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$es un objeto comonoide en C ,
• Los diagramas

y

conmutan (para simplificar, los diagramas se dan aquí en el caso en que la categoría monoidal C es estricta) y se conocen como condiciones de Frobenius . ^[5]

De manera más compacta, un álgebra de Frobenius en C es el llamado funtor monoidal de Frobenius A: 1 → C , donde 1 es la categoría que consiste en un objeto y una flecha.

Un álgebra de Frobenius se llama isométrica o especial si . ${\displaystyle \mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}}$

Aplicaciones

Las álgebras de Frobenius se estudiaron originalmente como parte de una investigación sobre la teoría de la representación de grupos finitos y han contribuido al estudio de la teoría de números , la geometría algebraica y la combinatoria . Se han utilizado para estudiar las álgebras de Hopf , la teoría de la codificación y los anillos de cohomología de variedades orientadas compactas .

Teorías topológicas cuánticas de campos

El producto y coproducto de un álgebra de Frobenius se pueden interpretar como el funtor de una teoría cuántica de campos topológica de dimensión (1+1) , aplicada a un par de pantalones .

Recientemente, se ha visto que desempeñan un papel importante en el tratamiento algebraico y la base axiomática de la teoría cuántica de campos topológica . Un álgebra de Frobenius conmutativa determina de forma única (hasta isomorfismo) una TQFT (1+1)-dimensional. Más precisamente, la categoría de álgebras de Frobenius conmutativas es equivalente a la categoría de funtores monoidales fuertes simétricos desde - (la categoría de cobordismos bidimensionales entre variedades unidimensionales) hasta (la categoría de espacios vectoriales sobre ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\textbf {Cob}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Vect}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

La correspondencia entre las TQFT y las álgebras de Frobenius se da de la siguiente manera:

• Las variedades unidimensionales son uniones disjuntas de círculos: una TQFT asocia un espacio vectorial con un círculo y el producto tensorial de espacios vectoriales con una unión disjunta de círculos.
• una TQFT asocia (funcionalmente) a cada cobordismo entre variedades una función entre espacios vectoriales,
• el mapa asociado con un par de pantalones (un cobordismo entre 1 círculo y 2 círculos) da un mapa de producto o un mapa de coproducto , dependiendo de cómo se agrupen los componentes del límite, que es conmutativo o co-conmutativo, y ${\displaystyle V\otimes V\to V}$ ${\displaystyle V\to V\otimes V}$
• El mapa asociado a un disco proporciona una unidad (traza) o un escalar, dependiendo de la agrupación del límite.

Esta relación entre las álgebras de Frobenius y las TQFT de dimensión (1+1) se puede utilizar para explicar la categorización de Khovanov del polinomio de Jones . ^{[6] [7]}

Generalizaciones

Extensiones de Frobenius

Sea B un subanillo que comparte el elemento identidad de un anillo asociativo unitario A . Esto también se conoce como extensión de anillo A | B . Una extensión de anillo de este tipo se llama Frobenius si

• Existe una aplicación lineal E : A → B que satisface la condición de bimódulo E ( bac ) = bE ( a ) c para todo b,c ∈ B y a ∈ A .
• Hay elementos en A denotados y tales que para todo a ∈ A tenemos: ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)}$

A veces se hace referencia al mapa E como un homomorfismo de Frobenius y a los elementos como bases duales. (Como ejercicio, es posible dar una definición equivalente de la extensión de Frobenius como un objeto de álgebra-coálgebra de Frobenius en la categoría de B - B -bimódulos, donde las ecuaciones que se acaban de dar se convierten en las ecuaciones de counit para el counit E ). ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

Por ejemplo, una álgebra de Frobenius A sobre un anillo conmutativo K , con forma bilineal no degenerada asociativa (-,-) y K-bases proyectivas es una extensión de Frobenius A | K con E(a) = ( a ,1). Otros ejemplos de extensiones de Frobenius son pares de álgebras de grupo asociadas a un subgrupo de índice finito, subálgebras de Hopf de un álgebra de Hopf semisimple, extensiones de Galois y ciertos subfactores del álgebra de von Neumann de índice finito. Otra fuente de ejemplos de extensiones de Frobenius (y versiones retorcidas) son ciertos pares de subálgebras de álgebras de Frobenius, donde la subálgebra se estabiliza por el automorfismo simetrizante del sobreálgebra. ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

Los detalles del ejemplo del anillo de grupo son la siguiente aplicación de nociones elementales en teoría de grupos . Sea G un grupo y H un subgrupo de índice finito n en G ; sean g ₁ , ..., g _n . representantes de las clases laterales izquierdas, de modo que G es una unión disjunta de las clases laterales g ₁ H , ..., g _n H . Sobre cualquier anillo base conmutativo k defina las álgebras de grupo A = k [ G ] y B = k [ H ], por lo que B es una subálgebra de A . Defina un homomorfismo de Frobenius E : A → B haciendo E ( h ) = h para todo h en H , y E ( g ) = 0 para g no en H  : extienda esto linealmente desde los elementos del grupo base a todo A , de modo que se obtenga la proyección B - B -bimódulo

${\displaystyle E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ for }}n_{g}\in k}$

( Se cumple la condición de ortonormalidad.) La base dual está dada por , ya que ${\displaystyle E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1}$ ${\displaystyle x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g}$

La otra ecuación de base dual puede derivarse de la observación de que G también es una unión disjunta de los coconjuntos derechos . ${\displaystyle Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}}$

También las extensiones de Hopf-Galois son extensiones de Frobenius por un teorema de Kreimer y Takeuchi de 1989. Un ejemplo simple de esto es un grupo finito G que actúa por automorfismos en un álgebra A con subálgebra de invariantes:

${\displaystyle B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.}$

Según el criterio de DeMeyer, A es G -Galois sobre B si hay elementos en A que satisfacen: ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}}$

De donde también

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.}$

Entonces A es una extensión de Frobenius de B con E : A → B definida por

${\displaystyle E(a)=\sum _{g\in G}g(a)}$

que satisface

${\displaystyle \forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).}$

(Además, un ejemplo de una extensión de álgebra separable ya que es un elemento de separabilidad que satisface ea = ae para todo a en A así como . También es un ejemplo de un subanillo de profundidad dos ( B en A ) ya que ${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$

${\displaystyle a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)}$

dónde

${\displaystyle t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})}$

para cada g en G y a en A .)

Las extensiones de Frobenius tienen una teoría bien desarrollada de representaciones inducidas investigadas en artículos de Kasch y Pareigis, Nakayama y Tzuzuku en los años 1950 y 1960. Por ejemplo, para cada B -módulo M , el módulo inducido A ⊗ _B M (si M es un módulo izquierdo) y el módulo co-inducido Hom _B ( A, M ) son naturalmente isomorfos como A -módulos (como ejercicio se define el isomorfismo dado E y bases duales). El teorema del anillo de endomorfismo de Kasch de 1960 establece que si A | B es una extensión de Frobenius, entonces también lo es A → End( A _B ) donde la aplicación está dada por a ↦ λ _a ( x ) y λ _a ( x ) = ax para cada a,x ∈ A . Los teoremas del anillo de endomorfismo y sus recíprocos fueron investigados posteriormente por Mueller, Morita, Onodera y otros.

Adjuntos de Frobenius

Como ya se ha insinuado en el párrafo anterior, las extensiones de Frobenius tienen una formulación categórica equivalente. Es decir, dada una extensión de anillo , el funtor de inducción inducido de la categoría de, digamos, módulos S izquierdos a la categoría de módulos R izquierdos tiene tanto un adjunto izquierdo como uno derecho, llamados co-restricción y restricción, respectivamente. La extensión de anillo se llama entonces Frobenius si y solo si el adjunto izquierdo y el derecho son naturalmente isomorfos. ${\displaystyle S\subset R}$ ${\displaystyle R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)}$

Esto conduce a la abstracción obvia de la teoría de categorías ordinaria: una adjunción se llama adjunción de Frobenius si y solo si . Un funtor F es un funtor de Frobenius si es parte de una adjunción de Frobenius, es decir, si tiene adjuntos izquierdo y derecho isomorfos. ${\displaystyle F\dashv G}$ ${\displaystyle G\dashv F}$

Véase también

• Biálgebra
• Categoría de Frobenius
• Norma de Frobenius
• Producto interno de Frobenius
• Álgebra de Hopf
• Álgebra de Lie cuasi-Frobenius
• Categoría Dagger Compact

Referencias

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2. Koppinen, M. (1996). "Sobre álgebras con dos multiplicaciones, incluidas las álgebras de Hopf y las álgebras de Bose-Mesner" (PDF) . J. Algebra . 182 (1): 256–273. doi :10.1006/jabr.1996.0170. MR  1388866.
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Enlaces externos

• Street, Ross (2004). "Álgebras de Frobenius y categorías monoidales" (PDF) . Reunión Anual Aust. Math. Soc . CiteSeerX  10.1.1.180.7082 .