En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un anillo simple es un anillo distinto de cero que no tiene ningún ideal bilateral además del ideal cero y él mismo. En particular, un anillo conmutativo es un anillo simple si y solo si es un cuerpo .
El centro de un anillo simple es necesariamente un cuerpo. De ello se deduce que un anillo simple es un álgebra asociativa sobre este cuerpo. Se denomina entonces álgebra simple sobre este cuerpo.
Varias referencias (por ejemplo, Lang (2002) o Bourbaki (2012)) requieren además que un anillo simple sea artiniano izquierdo o derecho (o equivalentemente semisimple ). Bajo dicha terminología, un anillo distinto de cero sin ideales bilaterales no triviales se denomina cuasi-simple .
Existen anillos que son simples como anillos pero no son un módulo simple sobre sí mismos: un anillo matricial completo sobre un cuerpo no tiene ningún ideal bilateral no trivial (ya que cualquier ideal de es de la forma con un ideal de ), pero tiene ideales izquierdos no triviales (por ejemplo, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas de cero fijo).
Un ejemplo inmediato de un anillo simple es un anillo de división , donde cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, por ejemplo, los cuaterniones . Además, para cualquier , el álgebra de matrices con entradas en un anillo de división es simple.
Joseph Wedderburn demostró que si un anillo es un álgebra simple de dimensión finita sobre un cuerpo , es isomorfo a un álgebra matricial sobre algún álgebra de división sobre . En particular, los únicos anillos simples que son álgebras de dimensión finita sobre los números reales son anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones .
Wedderburn demostró estos resultados en 1907 en su tesis doctoral, On hypercomplex numbers , que apareció en Proceedings of the London Mathematical Society . Su tesis clasificó las álgebras simples y semisimples de dimensión finita sobre cuerpos. Las álgebras simples son bloques de construcción de álgebras semisimples: cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es un producto cartesiano, en el sentido de álgebras, de álgebras simples de dimensión finita.
Hay que tener cuidado con la terminología: no todo anillo simple es un anillo semisimple , y no toda álgebra simple es un álgebra semisimple. Sin embargo, toda álgebra simple de dimensión finita es un álgebra semisimple, y todo anillo simple que sea artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo semisimple.
Un ejemplo de un anillo simple que no es semisimple es el álgebra de Weyl . El álgebra de Weyl también da un ejemplo de un álgebra simple que no es un álgebra matricial sobre un álgebra de división sobre su centro: el álgebra de Weyl es de dimensión infinita, por lo que el teorema de Wedderburn no se aplica.
El resultado de Wedderburn se generalizó posteriormente a los anillos semisimples en el teorema de Wedderburn-Artin : este dice que cada anillo semisimple es un producto finito de anillos matriciales sobre anillos de división. Como consecuencia de esta generalización, cada anillo simple que sea artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo matricial sobre un anillo de división.
Sea el campo de los números reales, el campo de los números complejos y los cuaterniones .
