Longitud de un módulo

En álgebra, número entero asociado a un módulo.

En álgebra , la longitud de un módulo sobre un anillo es una generalización de la dimensión de un espacio vectorial que mide su tamaño. ^{[1] página 153} Se define como la longitud de la cadena más larga de submódulos . Para espacios vectoriales (módulos sobre un cuerpo), la longitud es igual a la dimensión. Si es un álgebra sobre un cuerpo , la longitud de un módulo es como máximo su dimensión como espacio vectorial. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

En álgebra conmutativa y geometría algebraica , un módulo sobre un anillo conmutativo noetheriano puede tener longitud finita solo cuando el módulo tiene dimensión de Krull cero. Los módulos de longitud finita son módulos finitamente generados , pero la mayoría de los módulos finitamente generados tienen longitud infinita. Los módulos de longitud finita se denominan módulos artinianos y son fundamentales para la teoría de anillos artinianos . ${\displaystyle R}$

El grado de una variedad algebraica dentro de un espacio afín o proyectivo es la longitud del anillo de coordenadas de la intersección de dimensión cero de la variedad con un subespacio lineal genérico de dimensión complementaria. De manera más general, la multiplicidad de intersección de varias variedades se define como la longitud del anillo de coordenadas de la intersección de dimensión cero.

Definición

Longitud de un módulo

Sea un módulo (izquierdo o derecho) sobre algún anillo . Dada una cadena de submódulos de de la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

Se dice que es la longitud de la cadena. ^[1] La longitud de es la longitud más grande de cualquiera de sus cadenas. Si no existe tal longitud más grande, decimos que tiene longitud infinita . Claramente, si la longitud de una cadena es igual a la longitud del módulo, se tiene y ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}=0}$ ${\displaystyle M_{n}=M.}$

Longitud de un anillo

La longitud de un anillo es la longitud de la cadena más larga de ideales ; es decir, la longitud de considerada como un módulo sobre sí misma por multiplicación izquierda. Por el contrario, la dimensión de Krull de es la longitud de la cadena más larga de ideales primos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Propiedades

Longitud finita y módulos finitos

Si un módulo tiene una longitud finita, entonces se genera finitamente . ^[2] Si R es un campo, entonces lo inverso también es cierto. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Relación con los módulos artinianos y noetherianos

Un módulo - tiene longitud finita si y solo si es a la vez un módulo noetheriano y un módulo artiniano ^[1] (cf. teorema de Hopkins ). Dado que todos los anillos artinianos son noetherianos, esto implica que un anillo tiene longitud finita si y solo si es artiniano. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Comportamiento con respecto a secuencias cortas y exactas

Supongamos que es una secuencia corta y exacta de módulos. Entonces M tiene longitud finita si y solo si L y N tienen longitud finita, y tenemos En particular, implica las dos propiedades siguientes $${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)}$$

• La suma directa de dos módulos de longitud finita tiene longitud finita
• El submódulo de un módulo con longitud finita tiene longitud finita y su longitud es menor o igual que su módulo padre.

Teorema de Jordan-Hölder

Una serie de composición del módulo M es una cadena de la forma

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

de tal manera que

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}$

Un módulo M tiene longitud finita si y sólo si tiene una serie de composición (finita), y la longitud de cada una de esas series de composición es igual a la longitud de M.

Ejemplos

Espacios vectoriales de dimensión finita

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo tiene una longitud finita. Dada una base existe la cadena que tiene una longitud . Es máxima porque dada cualquier cadena, la dimensión de cada inclusión aumentará al menos en . Por lo tanto, su longitud y dimensión coinciden. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ $${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$ ${\displaystyle 1}$

Módulos artinianos

Sobre un anillo base , los módulos artinianos forman una clase de ejemplos de módulos finitos. De hecho, estos ejemplos sirven como herramientas básicas para definir el orden de desaparición en la teoría de intersecciones . ^[3] ${\displaystyle R}$

Módulo cero

El módulo cero es el único con longitud 0.

Módulos simples

Los módulos con longitud 1 son precisamente los módulos simples .

Módulos artinianos sobre Z

La longitud del grupo cíclico (considerado como un módulo sobre los números enteros Z ) es igual al número de factores primos de , con múltiples factores primos contados varias veces. Esto se deduce del hecho de que los submódulos de están en correspondencia uno a uno con los divisores positivos de , esta correspondencia resulta a su vez del hecho de que es un anillo ideal principal . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Uso en la teoría de la multiplicidad

Para las necesidades de la teoría de intersecciones , Jean-Pierre Serre introdujo una noción general de la multiplicidad de un punto, como la longitud de un anillo local artiniano relacionado con este punto.

La primera aplicación fue una definición completa de la multiplicidad de intersección y, en particular, un enunciado del teorema de Bézout que afirma que la suma de las multiplicidades de los puntos de intersección de n hipersuperficies algebraicas en un espacio proyectivo n -dimensional es infinita o es exactamente el producto de los grados de las hipersuperficies.

Esta definición de multiplicidad es bastante general y contiene como casos especiales la mayoría de las nociones anteriores de multiplicidad algebraica.

Orden de desaparición de ceros y polos

Un caso especial de esta definición general de una multiplicidad es el orden de desaparición de una función algebraica distinta de cero en una variedad algebraica. Dada una variedad algebraica y una subvariedad de codimensión 1 ^[3] el orden de desaparición para un polinomio se define como ^[4] donde es el anillo local definido por el tallo de a lo largo de la subvariedad ^{[3] páginas 426-227} , o, equivalentemente, el tallo de en el punto genérico de ^{[5] página 22} . Si es una variedad afín , y se define por el lugar geométrico de desaparición , entonces existe el isomorfismo Esta idea se puede extender entonces a funciones racionales en la variedad donde el orden se define como ^[3] que es similar a definir el orden de ceros y polos en el análisis complejo . ${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in R(X)}$ $${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(f)}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$ ${\displaystyle F=f/g}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$

Ejemplo de variedad proyectiva

Por ejemplo, considere una superficie proyectiva definida por un polinomio , entonces el orden de desaparición de una función racional está dado por donde Por ejemplo, si y y entonces dado que es una unidad en el anillo local . En el otro caso, es una unidad, por lo que el módulo del cociente es isomorfo a por lo que tiene longitud . Esto se puede encontrar utilizando la secuencia propia máxima ${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$ $${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$ $${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$ ${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$ ${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$ $${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$ ${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

Cero y polos de una función analítica

El orden de desaparición es una generalización del orden de ceros y polos para funciones meromórficas en análisis complejo . Por ejemplo, la función tiene ceros de orden 2 y 1 en y un polo de orden en . Este tipo de información se puede codificar utilizando la longitud de los módulos. Por ejemplo, al establecer y , existe el anillo local asociado es y el módulo cociente Nótese que es una unidad, por lo que es isomorfo al módulo cociente Su longitud es ya que existe la cadena máxima de submódulos. ^[6] De manera más general, utilizando el teorema de factorización de Weierstrass, una función meromórfica se factoriza como que es un producto (posiblemente infinito) de polinomios lineales tanto en el numerador como en el denominador. $${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$$ ${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$ ${\displaystyle V=V(z-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$$ ${\displaystyle z-4i}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$$ $${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

Véase también

• Serie de Hilbert-Poincaré
• Divisor de Weil
• Anillo de Chow
• Teoría de la intersección
• Teorema de factorización de Weierstrass
• Las conjeturas de multiplicidad de Serre
• Esquema de Hilbert : se puede utilizar para estudiar módulos en un esquema con una longitud fija.
• Teorema de Krull-Schmidt

Referencias

1. "Un término del álgebra conmutativa". www.centerofmathematics.com . págs. 153–158. Archivado desde el original el 2013-03-02 . Consultado el 22 de mayo de 2020 .URL alternativa
2. "Lema 10.51.2 (02LZ)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
3. Fulton, William, 1939- (1998). Teoría de la intersección (2.ª ed.). Berlín: Springer. pp. 8-10. ISBN 3-540-62046-X.OCLC 38048404  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
4. "Sección 31.26 (0BE0): Divisores de Weil: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
5. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-1-4419-2807-8.S2CID197660097  .​
6. "Sección 10.120 (02MB): Órdenes de desaparición: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .

Enlaces externos

• Steven H. Weintraub, Teoría de la representación de grupos finitos AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Allen Altman, Steven Kleiman, Un término del álgebra conmutativa .
• El proyecto Stacks. Duración