Variedad proyectiva

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno.

En geometría algebraica , una variedad proyectiva es una variedad algebraica que es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo . Es decir, es el lugar geométrico cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos que generan un ideal primo , el ideal definitorio de la variedad. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es uno; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo contenedor; en este caso es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo .

Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I , entonces el anillo del cociente

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

se llama anillo de coordenadas homogéneo de X. Los invariantes básicos de X, como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .

Las variedades proyectivas surgen de muchas maneras. Son completas , lo que aproximadamente se puede expresar diciendo que no hay puntos "perdidos". La inversa no es cierta en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación entre estas dos nociones. Para demostrar que una variedad es proyectiva se estudian los fibrados de líneas o divisores en X.

Una característica destacada de las variedades proyectivas son las restricciones de finitud en la cohomología de haces. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de curvas proyectivas es particularmente rica, incluyendo una clasificación por el género de la curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensión superior conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. ^[1] Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados de con polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los Grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de invariantes geométricos ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio de Teichmüller y las variedades de Chow . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, está disponible para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios analíticos complejos proyectivos (o variedades) es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de fibrados vectoriales holomorfos (más generalmente haces analíticos coherentes ) en X coincide con la de fibrados vectoriales algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar geométrico cero de una familia de funciones holomorfas si y solo si es el lugar geométrico cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge .

Variedad y estructura del esquema

Estructura de la variedad

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. La base de la definición de variedades proyectivas es el espacio proyectivo , que puede definirse de maneras diferentes, pero equivalentes: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• como el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen en (es decir, todos los subespacios vectoriales unidimensionales de ) ${\displaystyle k^{n+1}}$ ${\displaystyle k^{n+1}}$
• como el conjunto de tuplas , con no todas cero, módulo la relación de equivalencia para cualquier . La clase de equivalencia de dicha tupla se denota por Esta clase de equivalencia es el punto general del espacio proyectivo. Los números se denominan coordenadas homogéneas del punto. ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$ $${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

Una variedad proyectiva es, por definición, una subvariedad cerrada de , donde cerrado se refiere a la topología de Zariski . ^[2] En general, los subconjuntos cerrados de la topología de Zariski se definen como el lugar geométrico cero común de una colección finita de funciones polinómicas homogéneas. Dado un polinomio , la condición ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

no tiene sentido para polinomios arbitrarios, sino sólo si f es homogénea , es decir, los grados de todos los monomios (cuya suma es f ) son los mismos. En este caso, la desaparición de

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

es independiente de la elección de . ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Por lo tanto, las variedades proyectivas surgen de ideales primos homogéneos I de , y estableciendo ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Por lo tanto, el estudio local de X (por ejemplo, la singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente. El espacio proyectivo está cubierto por las cartas afines abiertas estándar. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

que son ellos mismos n -espacios afines con el anillo de coordenadas

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

Digamos i = 0 para simplificar la notación y eliminemos el superíndice (0). Entonces, es una subvariedad cerrada de definida por el ideal de generada por ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

para todo f en I . Por lo tanto, X es una variedad algebraica cubierta por ( n +1) cartas afines abiertas . ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

Nótese que X es el cierre de la variedad afín en . Por el contrario, a partir de alguna variedad cerrada (afín) , el cierre de V en es la variedad proyectiva llamada ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$completitud proyectiva deV. SidefineV, entonces el ideal definitorio de este cierre es el ideal homogéneo^[3]degenerado por ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

para todo f en I .

Por ejemplo, si V es una curva afín dada por, digamos, en el plano afín, entonces su completitud proyectiva en el plano proyectivo está dada por ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

Esquemas proyectivos

Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos algebro-geométricos más generales que las variedades proyectivas, es decir, los esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo de una estructura de esquema, refinando de alguna manera la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir, es un esquema que es una unión de ( n + 1) copias del n -espacio afín k ⁿ . De manera más general, ^[4] el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

de tal manera que las variables coinciden como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de , para cuerpos algebraicamente cerrados k , es entonces el espacio proyectivo en el sentido usual. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

Una construcción equivalente pero simplificada la proporciona la construcción Proj , que es análoga al espectro de un anillo , denotado "Spec", que define un esquema afín . ^[5] Por ejemplo, si A es un anillo, entonces

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Si R es un cociente de por un ideal homogéneo I , entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

En comparación con las variedades proyectivas, se eliminó la condición de que el ideal I sea un ideal primo. Esto conduce a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico puede tener múltiples componentes irreducibles . Además, puede haber funciones nilpotentes en X. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

Los subesquemas cerrados de corresponden biyectivamente a los ideales homogéneos I de que están saturados ; es decir, ^[6] Este hecho puede considerarse como una versión refinada del Nullstellensatz proyectivo . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

Podemos dar un análogo sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k , dejamos

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

donde es el álgebra simétrica de . ^[7] Es la proyectivación de V ; es decir, parametriza las líneas en V . Existe una función sobreyectiva canónica , que se define utilizando la tabla descrita anteriormente. ^[8] Un uso importante de la construcción es este (cf., § Dualidad y sistema lineal). Un divisor D en una variedad proyectiva X corresponde a un fibrado de líneas L . Entonces se establece ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

Se llama sistema lineal completo de D .

El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S puede definirse como un producto de fibra de esquemas

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

Si es el haz retorcido de Serre en , denotamos el retroceso de a ; es decir, para la función canónica ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

Un esquema X → S se llama proyectivo sobre S si se factoriza como una inmersión cerrada

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

seguido de la proyección a S .

Se dice que un haz lineal (o haz invertible) en un esquema X sobre S es muy amplio en relación con S si hay una inmersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

para algún n de modo que los pullbacks a . Entonces un S -esquema X es proyectivo si y solo si es propio y existe un haz muy amplio en X con respecto a S . De hecho, si X es propio, entonces una inmersión correspondiente al fibrado lineal muy amplio es necesariamente cerrada. Por el contrario, si X es proyectivo, entonces el pullback de bajo la inmersión cerrada de X en un espacio proyectivo es muy amplio. Que "proyectivo" implique "propio" es más profundo: el teorema principal de la teoría de eliminación . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Relación con variedades completas

Por definición, una variedad es completa si es propia sobre k . El criterio valorativo de propiedad expresa la intuición de que en una variedad propia no hay puntos "faltantes".

Existe una estrecha relación entre las variedades completas y proyectivas: por un lado, el espacio proyectivo y, por tanto, cualquier variedad proyectiva es completo. Lo inverso no es cierto en general. Sin embargo:

• Una curva suave C es proyectiva si y solo si es completa . Esto se demuestra identificando C con el conjunto de anillos de valoración discretos del cuerpo de funciones k ( C ) sobre k . Este conjunto tiene una topología de Zariski natural llamada espacio de Zariski-Riemann .
• El lema de Chow establece que para cualquier variedad completa X , existe una variedad proyectiva Z y un morfismo biracional Z → X. ^[9] (Además, a través de la normalización , se puede asumir que esta variedad proyectiva es normal).

Algunas propiedades de una variedad proyectiva se derivan de la completitud. Por ejemplo,

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

para cualquier variedad proyectiva X sobre k . ^[10] Este hecho es un análogo algebraico del teorema de Liouville (cualquier función holomorfa en una variedad compleja compacta conexa es constante). De hecho, la similitud entre la geometría analítica compleja y la geometría algebraica sobre variedades proyectivas complejas va mucho más allá de esto, como se explica a continuación.

Las variedades cuasi-proyectivas son, por definición, aquellas que son subvariedades abiertas de las variedades proyectivas. Esta clase de variedades incluye las variedades afines . Las variedades afines casi nunca son completas (o proyectivas). De hecho, una subvariedad proyectiva de una variedad afín debe tener dimensión cero. Esto se debe a que solo las constantes son funciones globalmente regulares en una variedad proyectiva.

Ejemplos e invariantes básicos

Por definición, cualquier ideal homogéneo en un anillo de polinomios produce un esquema proyectivo (que debe ser ideal primo para dar una variedad). En este sentido, abundan los ejemplos de variedades proyectivas. La siguiente lista menciona varias clases de variedades proyectivas que son dignas de mención ya que han sido estudiadas de manera particularmente intensa. La importante clase de variedades proyectivas complejas, es decir, el caso , se analiza más adelante. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

El producto de dos espacios proyectivos es proyectivo. De hecho, existe la inmersión explícita (llamada incrustación de Segre )

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

Como consecuencia, el producto de variedades proyectivas sobre k es nuevamente proyectivo. La incrustación de Plücker exhibe un Grassmanniano como variedad proyectiva. Las variedades de bandera como el cociente del grupo lineal general módulo el subgrupo de matrices triangulares superiores , también son proyectivas, lo que es un hecho importante en la teoría de grupos algebraicos . ^[11] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

Anillo de coordenadas homogéneo y polinomio de Hilbert

Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneo

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

es un anillo graduado , es decir, se puede expresar como la suma directa de sus componentes graduados:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

Existe un polinomio P tal que para todo n suficientemente grande ; se llama polinomio de Hilbert de X. Es un invariante numérico que codifica alguna geometría extrínseca de X. El grado de P es la dimensión r de X y su coeficiente principal multiplicado por r! es el grado de la variedad X. El género aritmético de X es (−1) ^r ( P (0) − 1) cuando X es suave. ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

Por ejemplo, el anillo de coordenadas homogéneo de es y su polinomio de Hilbert es ; su género aritmético es cero. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

Si el anillo de coordenadas homogéneo R es un dominio integralmente cerrado , entonces se dice que la variedad proyectiva X es proyectivamente normal . Nótese que, a diferencia de la normalidad , la normalidad proyectiva depende de R , la inserción de X en un espacio proyectivo. La normalización de una variedad proyectiva es proyectiva; de hecho, es la Proy del cierre integral de algún anillo de coordenadas homogéneo de X.

Grado

Sea una variedad proyectiva. Hay al menos dos formas equivalentes de definir el grado de X en relación con su inserción. La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

donde d es la dimensión de X y H _i son hiperplanos en "posiciones generales". Esta definición corresponde a una idea intuitiva de grado. En efecto, si X es una hipersuperficie, entonces el grado de X es el grado del polinomio homogéneo que define a X. Las "posiciones generales" se pueden precisar, por ejemplo, mediante la teoría de intersecciones ; se requiere que la intersección sea propia y que las multiplicidades de los componentes irreducibles sean todas uno.

La otra definición, que se menciona en la sección anterior, es que el grado de X es el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de X veces (dim X ). Geométricamente, esta definición significa que el grado de X es la multiplicidad del vértice del cono afín sobre X . ^[12]

Sean subesquemas cerrados de dimensiones puras que se intersecan correctamente (están en posición general). Si m _i denota la multiplicidad de una componente irreducible Z _i en la intersección (es decir, multiplicidad de intersección ), entonces la generalización del teorema de Bézout dice: ^[13] ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

La multiplicidad de intersección m _i se puede definir como el coeficiente de Z _i en el producto de intersección en el anillo de Chow de . ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

En particular, si es una hipersuperficie que no contiene X , entonces ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

donde Z _i son los componentes irreducibles de la intersección esquema-teórica de X y H con multiplicidad (longitud del anillo local) m _i .

Una variedad proyectiva compleja puede ser vista como una variedad compleja compacta ; el grado de la variedad (en relación con la incrustación) es entonces el volumen de la variedad como variedad con respecto a la métrica heredada del espacio proyectivo complejo ambiental . Una variedad proyectiva compleja puede ser caracterizada como un minimizador del volumen (en cierto sentido).

El anillo de secciones

Sea X una variedad proyectiva y L un fibrado lineal sobre ella. Entonces el anillo graduado

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

se llama anillo de secciones de L . Si L es amplio , entonces Proj de este anillo es X . Además, si X es normal y L es muy amplio, entonces el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneas de X está determinado por L ; es decir, de modo que retrocede a L . ^[14] ${\displaystyle R(X,L)}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

Para las aplicaciones, es útil permitir divisores (o -divisores) no solo haces de líneas; suponiendo que X es normal, el anillo resultante se denomina entonces anillo generalizado de secciones. Si es un divisor canónico en X , entonces el anillo generalizado de secciones ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

se llama anillo canónico de X . Si el anillo canónico se genera finitamente, entonces Proj del anillo se llama modelo canónico de X . El anillo o modelo canónico se puede utilizar entonces para definir la dimensión Kodaira de X .

Curvas proyectivas

Los esquemas proyectivos de dimensión uno se denominan curvas proyectivas . Gran parte de la teoría de curvas proyectivas trata de curvas proyectivas suaves, ya que las singularidades de las curvas se pueden resolver mediante normalización , que consiste en tomar localmente el cierre integral del anillo de funciones regulares. Las curvas proyectivas suaves son isomorfas si y solo si sus campos de funciones son isomorfos. El estudio de extensiones finitas de

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

o, equivalentemente, suavizar las curvas proyectivas es una rama importante en la teoría de números algebraicos . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Una curva proyectiva suave de género uno se llama curva elíptica . Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch , una curva de este tipo puede incluirse como una subvariedad cerrada en . En general, cualquier curva proyectiva (suave) puede incluirse en (para una prueba, consulte Variedad secante#Ejemplos ). Por el contrario, cualquier curva cerrada suave en de grado tres tiene género uno por la fórmula del género y, por lo tanto, es una curva elíptica. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Una curva completa suave de género mayor o igual a dos se denomina curva hiperelíptica si existe un morfismo finito de grado dos. ^[16] ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

Hipersuperficies proyectivas

Todo subconjunto cerrado irreducible de codimensión uno es una hipersuperficie , es decir, el conjunto cero de algún polinomio irreducible homogéneo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Variedades abelianas

Otro invariante importante de una variedad proyectiva X es el grupo de Picard de X , el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados lineales en X . Es isomorfo a y por lo tanto una noción intrínseca (independiente de la incrustación). Por ejemplo, el grupo de Picard de es isomorfo a a través de la función de grados. El núcleo de no es solo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X , Jac( X ), cuyos puntos son iguales a este grupo. El jacobiano de una curva (suave) juega un papel importante en el estudio de la curva. Por ejemplo, el jacobiano de una curva elíptica E es E en sí mismo. Para una curva X de género g , Jac( X ) tiene dimensión g . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

Las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo se conocen como variedades abelianas , en honor a Niels Abel . En marcado contraste con los grupos algebraicos afines como , dichos grupos son siempre conmutativos, de ahí el nombre. Además, admiten un fibrado lineal amplio y, por lo tanto, son proyectivos. Por otro lado, un esquema abeliano puede no ser proyectivo. Ejemplos de variedades abelianas son las curvas elípticas, las variedades jacobianas y las superficies K3 . ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

Proyecciones

Sea un subespacio lineal, es decir, para algunos funcionales lineales independientes s _i . Entonces la proyección desde E es el morfismo (bien definido) ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

La descripción geométrica de este mapa es la siguiente: ^[18]

• Consideramos que es disjunto de E . Entonces, para cualquier , donde denota el espacio lineal más pequeño que contiene a E y x (llamado la unión de E y x ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$ $${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$ ${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$¿Dónde están las coordenadas homogéneas en ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• Para cualquier subesquema cerrado disjunto de E , la restricción es un morfismo finito . ^[19] ${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

Las proyecciones se pueden utilizar para reducir la dimensión en la que se encuentra incrustada una variedad proyectiva, hasta morfismos finitos . Comience con alguna variedad proyectiva Si la proyección desde un punto que no está en X da Además, es una función finita en su imagen. Por lo tanto, iterando el procedimiento, se ve que hay una función finita ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$ ${\displaystyle n>\dim X,}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

Este resultado es el análogo proyectivo del lema de normalización de Noether (de hecho, proporciona una prueba geométrica del lema de normalización).

El mismo procedimiento se puede utilizar para mostrar el siguiente resultado ligeramente más preciso: dada una variedad proyectiva X sobre un campo perfecto, existe un morfismo biracional finito de X a una hipersuperficie H en ^[20] En particular, si X es normal , entonces es la normalización de H. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

Dualidad y sistema lineal

Mientras que un n -espacio proyectivo parametriza las líneas en un n -espacio afín, su dual parametriza los hiperplanos en el espacio proyectivo, de la siguiente manera. Fijemos un cuerpo k . Por , nos referimos a un n -espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

Equipado con la construcción:

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$, un hiperplano en ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

donde es un punto L de para una extensión de campo L de k y ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

Para cada L , la construcción es una biyección entre el conjunto de L -puntos de y el conjunto de hiperplanos en . Debido a esto, se dice que el espacio proyectivo dual es el espacio de módulos de hiperplanos en . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

Una línea en se llama lápiz : es una familia de hiperplanos en parametrizados por . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre k , entonces, por la misma razón que antes, es el espacio de hiperplanos sobre . Un caso importante es cuando V consiste en secciones de un fibrado lineal. Es decir, sea X una variedad algebraica, L un fibrado lineal sobre X y un subespacio vectorial de dimensión positiva finita. Entonces hay una función: ^[21] ${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

determinado por el sistema lineal V , donde B , llamado lugar geométrico base , es la intersección de los divisores de cero de secciones no cero en V (ver Sistema lineal de divisores#Una aplicación determinada por un sistema lineal para la construcción de la aplicación).

Cohomología de haces coherentes

Sea X un esquema proyectivo sobre un cuerpo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano A ). La cohomología de haces coherentes sobre X satisface los siguientes teoremas importantes de Serre: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$es un espacio vectorial k de dimensión finita para cualquier p .
2. Existe un entero (que depende de ; véase también la regularidad de Castelnuovo–Mumford ) tal que para todos y p > 0, donde es la torsión con una potencia de un fibrado de líneas muy amplio ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

Estos resultados se prueban reduciendo al caso utilizando el isomorfismo. ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

donde en el lado derecho se ve como un haz en el espacio proyectivo por extensión por cero. ^[22] El resultado se deduce entonces de un cálculo directo para n cualquier entero, y para cualquier número entero se reduce a este caso sin mucha dificultad. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Como corolario del punto 1. anterior, si f es un morfismo proyectivo de un esquema noetheriano a un anillo noetheriano, entonces la imagen directa superior es coherente. El mismo resultado se aplica a los morfismos propios f , como se puede demostrar con la ayuda del lema de Chow . ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Los grupos de cohomología de haces H ⁱ en un espacio topológico noetheriano se anulan para i estrictamente mayor que la dimensión del espacio. Por lo tanto, la cantidad, llamada característica de Euler de , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

es un entero bien definido (para X proyectivo). Se puede entonces demostrar para algún polinomio P sobre números racionales. ^[24] Aplicando este procedimiento a la estructura haz , se recupera el polinomio de Hilbert de X . En particular, si X es irreducible y tiene dimensión r , el género aritmético de X está dado por ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

que es manifiestamente intrínseco, es decir, independiente de la incrustación.

El género aritmético de una hipersuperficie de grado d está en . En particular, una curva suave de grado d en tiene género aritmético . Esta es la fórmula del género . ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

Variedades proyectivas suaves

Sea X una variedad proyectiva suave donde todos sus componentes irreducibles tienen dimensión n . En esta situación, el haz canónico ω _X , ​​definido como el haz de diferenciales de Kähler de grado superior (es decir, n -formas algebraicas), es un fibrado lineal.

Dualidad de Serre

La dualidad de Serre establece que para cualquier haz localmente libre en X , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

donde el primo superíndice se refiere al espacio dual y es el haz dual de . Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad de Verdier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema de Riemann-Roch

Para una curva (proyectiva suave) X , H ² y superiores se anulan por razones dimensionales y el espacio de las secciones globales del haz de estructura es unidimensional. Por lo tanto, el género aritmético de X es la dimensión de . Por definición, el género geométrico de X es la dimensión de H ⁰ ( X , ω _X ). La dualidad de Serre implica, por lo tanto, que el género aritmético y el género geométrico coinciden. Se los llamará simplemente género de X . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

La dualidad de Serre también es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Riemann-Roch . Como X es suave, existe un isomorfismo de grupos

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

del grupo de divisores (de Weil) módulo divisores principales al grupo de clases de isomorfismo de fibrados lineales. Un divisor correspondiente a ω _X se llama divisor canónico y se denota por K . Sea l ( D ) la dimensión de . Entonces el teorema de Riemann-Roch establece: si g es un género de X , ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

para cualquier divisor D en X. Por la dualidad de Serre, esto es lo mismo que:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

lo cual puede demostrarse fácilmente. ^[25] Una generalización del teorema de Riemann-Roch a una dimensión superior es el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , así como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch de amplio alcance .

Esquemas de Hilbert

Los esquemas de Hilbert parametrizan todas las subvariedades cerradas de un esquema proyectivo X en el sentido de que los puntos (en el sentido funcional) de H corresponden a los subesquemas cerrados de X . Como tal, el esquema de Hilbert es un ejemplo de un espacio de módulos , es decir, un objeto geométrico cuyos puntos parametrizan otros objetos geométricos. Más precisamente, el esquema de Hilbert parametriza subvariedades cerradas cuyo polinomio de Hilbert es igual a un polinomio prescrito P . ^[26] Es un teorema profundo de Grothendieck que existe un esquema ^[27] sobre k tal que, para cualquier k -esquema T , existe una biyección ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

El subesquema cerrado que corresponde al mapa identidad se llama familia universal . ${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

Para , el esquema de Hilbert se llama Grassmanniano de r -planos en y, si X es un esquema proyectivo, se llama esquema de Fano de r -planos en X . ^[28] ${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

Variedades proyectivas complejas

En esta sección, todas las variedades algebraicas son variedades algebraicas complejas . Una característica clave de la teoría de variedades proyectivas complejas es la combinación de métodos algebraicos y analíticos. La transición entre estas teorías se proporciona mediante el siguiente enlace: dado que cualquier polinomio complejo también es una función holomorfa, cualquier variedad compleja X produce un espacio analítico complejo , denotado . Además, las propiedades geométricas de X se reflejan en las de . Por ejemplo, esta última es una variedad compleja si y solo si X es suave; es compacta si y solo si X es propia sobre . ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Relación con variedades complejas de Kähler

El espacio proyectivo complejo es una variedad de Kähler . Esto implica que, para cualquier variedad algebraica proyectiva X , es una variedad de Kähler compacta. La recíproca no es cierta en general, pero el teorema de incrustación de Kodaira proporciona un criterio para que una variedad de Kähler sea proyectiva. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

En dimensiones bajas se tienen los siguientes resultados:

• (Riemann) Una superficie compacta de Riemann (es decir, una variedad compleja compacta de dimensión uno) es una variedad proyectiva. Por el teorema de Torelli , está determinada únicamente por su jacobiano.
• (Chow-Kodaira) Una variedad compleja compacta de dimensión dos con dos funciones meromórficas algebraicamente independientes es una variedad proyectiva. ^[29]

Teorema de GAGA y Chow

El teorema de Chow ofrece una forma sorprendente de pasar de la geometría analítica a la algebraica. Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica. El teorema puede interpretarse como que una función holomorfa que satisface cierta condición de crecimiento es necesariamente algebraica: la "proyectiva" proporciona esta condición de crecimiento. Se puede deducir del teorema lo siguiente:

• Las funciones meromórficas en el espacio proyectivo complejo son racionales.
• Si una función algebraica entre variedades algebraicas es un isomorfismo analítico , entonces es un isomorfismo (algebraico). (Esta parte es un hecho básico en el análisis complejo). En particular, el teorema de Chow implica que una función holomorfa entre variedades proyectivas es algebraica. (Considérese el gráfico de una función de este tipo).
• Cada fibrado vectorial holomórfico de una variedad proyectiva es inducido por un fibrado vectorial algebraico único. ^[30]
• Todo fibrado lineal holomorfo de una variedad proyectiva es un fibrado lineal de un divisor. ^[31]

El teorema de Chow se puede demostrar mediante el principio GAGA de Serre . Su teorema principal establece:

Sea X un esquema proyectivo sobre . Entonces el funtor que asocia los haces coherentes sobre X a los haces coherentes sobre el espacio analítico complejo correspondiente X ^an es una equivalencia de categorías. Además, las funciones naturales ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

son isomorfismos para todos los i y todos los haces coherentes en X . ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Variedades tori complejas vs. variedades abelianas complejas

La variedad compleja asociada a una variedad abeliana A sobre es un grupo de Lie complejo compacto . Se puede demostrar que estos tienen la forma ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

y también se denominan toros complejos . Aquí, g es la dimensión del toro y L es una red (también denominada red de período ).

Según el teorema de uniformización ya mencionado anteriormente, cualquier toro de dimensión 1 surge de una variedad abeliana de dimensión 1, es decir, de una curva elíptica . De hecho, la función elíptica de Weierstrass unida a L satisface una cierta ecuación diferencial y, en consecuencia, define una inmersión cerrada: ^[33] ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

Existe un análogo p -ádico, el teorema de uniformización p-ádico.

Para dimensiones superiores, las nociones de variedades abelianas complejas y toros complejos difieren: sólo los toros complejos polarizados provienen de las variedades abelianas.

Kodaira desaparece

El teorema fundamental de desaparición de Kodaira establece que para un fibrado lineal amplio en una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

para i > 0, o, equivalentemente, por la dualidad de Serre para i < n . ^[34] La primera prueba de este teorema utilizó métodos analíticos de la geometría de Kähler, pero más tarde se encontró una prueba puramente algebraica. El desvanecimiento de Kodaira en general falla para una variedad proyectiva suave en característica positiva. El teorema de Kodaira es uno de varios teoremas de desvanecimiento, que dan criterios para que se desvanezcan cohomologías de haces superiores. Dado que la característica de Euler de un haz (ver arriba) es a menudo más manejable que los grupos de cohomología individuales, esto a menudo tiene consecuencias importantes sobre la geometría de las variedades proyectivas. ^[35] ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

Nociones relacionadas

• Variedad multiproyectiva
• Variedad proyectiva ponderada , una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo ponderado ^[36]

Véase también

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Relación de equivalencia adecuada
• Esquema de Hilbert
• Teorema del hiperplano de Lefschetz
• Programa modelo mínimo

Notas

1. Kollár y Moduli, Cap. I.
2. Shafarevich, Igor R. (1994), Geometría algebraica básica 1: variedades en el espacio proyectivo , Springer
3. Este ideal homogéneo se denomina a veces homogeneización de I.
4. Mumford 1999, pág. 82
5. Hartshorne 1977, Sección II.5
6. Mumford 1999, pág. 111
7. Esta definición difiere de Eisenbud & Harris 2000, III.2.3 pero es consistente con las otras partes de Wikipedia.
8. cf. la prueba de Hartshorne 1977, Cap. II, Teorema 7.1
9. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6
10. Hartshorne 1977, Cap. II. Ejercicio 4.5
11. Humphreys, James (1981), Grupos algebraicos lineales , Springer, Teorema 21.3
12. Hartshorne 1977, Cap. V, Ejercicio 3.4. (e).
13. Fulton 1998, Proposición 8.4.
14. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 5.14. (a)
15. Rosen, Michael (2002), Teoría de números en campos de funciones , Springer
16. Hartshorne 1977, Cap. IV, Ejercicio 1.7.
17. Hartshorne 1977, Cap. I, Ejercicio 2.8; esto se debe a que el anillo de coordenadas homogéneo de es un dominio de factorización único y en un UFD cada ideal primo de altura 1 es principal. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
18. Shafarevich 1994, Cap. I. § 4.4. Ejemplo 1.
19. Mumford & Oda 2015, Cap. II, § 7. Proposición 6.
20. Hartshorne 1977, Cap. I, Ejercicio 4.9.
21. Fulton 1998, § 4.4.
22. Esto no es difícil: (Hartshorne 1977, Cap. III. Lema 2.10) considérese una resolución de Flasque de y su extensión cero a todo el espacio proyectivo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
23. Hartshorne 1977, Cap. III. Teorema 5.2
24. Hartshorne 1977, Cap. III. Ejercicio 5.2
25. Hartshorne 1977, Cap. IV. Teorema 1.3
26. Kollár 1996, capítulo I 1.4
27. Para que la construcción funcione, es necesario permitir cierta no variedad.
28. Eisenbud y Harris 2000, VI 2.2
29. Hartshorne 1977, Apéndice B. Teorema 3.4.
30. Griffiths y Adams 2015, IV. 1. 10. Corolario H
31. Griffiths y Adams 2015, IV. 1. 10. Corolario I
32. Hartshorne 1977, Apéndice B. Teorema 2.1
33. Mumford 1970, pág. 36
34. Hartshorne 1977, Cap. III. Observación 7.15.
35. Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas de fuga , Birkhäuser
36. Dolgachev, Igor (1982), "Variedades proyectivas ponderadas", Acciones grupales y campos vectoriales (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., vol. 956, Berlín: Springer, págs. 34–71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi :10.1007/BFb0101508, ISBN  978-3-540-11946-3, Sr.  0704986

Referencias

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• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Griffiths, Phillip A.; Adams, John Frank (8 de marzo de 2015). Temas de geometría algebraica y analítica (MN-13), volumen 13: notas de un curso de Phillip Griffiths. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-6926-8.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Kollár, János , Libro sobre módulos de superficies.
• Kollár, János (1996), Curvas racionales en variedades algebraicas.
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas
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• Mumford, David (1999), El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (2.ª ed.), Springer-Verlag , doi :10.1007/b62130, ISBN 978-3540632931
• Mumford, David; Oda, Tadao (2015). Geometría algebraica II.
• Igor Shafarevich (1995). Geometría algebraica básica I: variedades en el espacio proyectivo (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8.
• R. Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica

Enlaces externos

• El esquema de Hilbert de Charles Siegel: una entrada de blog
• Variedades proyectivas Cap. 1