En matemáticas , la teoría de la singularidad estudia espacios que son casi múltiples , pero no del todo. Una cuerda puede servir como ejemplo de variedad unidimensional, si se descuida su espesor. Se puede formar una singularidad haciéndola una bola, dejándola caer al suelo y aplanándola. En algunos lugares, la cuerda plana se cruzará en forma aproximada de "X". Los puntos del suelo donde hace esto son una especie de singularidad , el punto doble: un trozo del suelo corresponde a más de un trozo de cuerda. Quizás la cuerda también se toque a sí misma sin cruzarse, como una " U " subrayada. Este es otro tipo de singularidad. A diferencia del punto doble, no es estable , en el sentido de que un pequeño empujón levantará la parte inferior de la "U" lejos del "subrayado".
Vladimir Arnold define el objetivo principal de la teoría de la singularidad como describir cómo los objetos dependen de parámetros, particularmente en los casos en que las propiedades sufren cambios repentinos bajo una pequeña variación de los parámetros. Estas situaciones se denominan perestroika ( ruso : перестройка ), bifurcaciones o catástrofes. Clasificar los tipos de cambios y caracterizar conjuntos de parámetros que dan lugar a estos cambios son algunos de los principales objetivos matemáticos. Las singularidades pueden ocurrir en una amplia gama de objetos matemáticos, desde matrices que dependen de parámetros hasta frentes de onda. [1]
En la teoría de la singularidad se estudia el fenómeno general de puntos y conjuntos de singularidades, como parte del concepto de que las variedades (espacios sin singularidades) pueden adquirir puntos singulares especiales por varias rutas. La proyección es unidireccional, muy obvia en términos visuales cuando se proyectan objetos tridimensionales en dos dimensiones (por ejemplo en uno de nuestros ojos ); Al observar las estatuas clásicas, los pliegues de las cortinas se encuentran entre las características más obvias. Singularidades de este tipo incluyen las cáusticas , muy familiares como los patrones de luz en el fondo de una piscina.
Otras formas en que ocurren las singularidades es por degeneración de estructuras múltiples. La presencia de simetría puede ser un buen motivo para considerar los orbifolds , que son variedades que han adquirido "esquinas" en un proceso de plegado, asemejándose al pliegue de una servilleta de mesa.
Históricamente, las singularidades se notaron por primera vez en el estudio de curvas algebraicas . El doble punto en (0, 0) de la curva.
y la cúspide allí de
son cualitativamente diferentes, como se ve con solo dibujar. Isaac Newton llevó a cabo un estudio detallado de todas las curvas cúbicas , familia general a la que pertenecen estos ejemplos. Se observó en la formulación del teorema de Bézout que esos puntos singulares deben contarse con multiplicidad (2 para un punto doble, 3 para una cúspide), al tener en cuenta las intersecciones de curvas.
Fue entonces un breve paso definir la noción general de punto singular de una variedad algebraica ; es decir, permitir dimensiones mayores.
Este tipo de singularidades en geometría algebraica son, en principio, las más fáciles de estudiar, ya que están definidas por ecuaciones polinómicas y, por tanto, en términos de un sistema de coordenadas . Se puede decir que el significado extrínseco de un punto singular no está en duda; lo que pasa es que, en términos intrínsecos , las coordenadas en el espacio ambiental no traducen directamente la geometría de la variedad algebraica en el punto. Los estudios intensivos de tales singularidades llevaron al final al teorema fundamental de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades (en geometría biracional en la característica 0). Esto significa que el simple proceso de "levantar" un trozo de cuerda de sí mismo, mediante el uso "obvio" del cruce en un punto doble, no es esencialmente engañoso: todas las singularidades de la geometría algebraica pueden recuperarse como algún tipo de de colapso muy general (a través de múltiples procesos). Este resultado se utiliza a menudo implícitamente para extender la geometría afín a la geometría proyectiva : es completamente típico que una variedad afín adquiera puntos singulares en el hiperplano en el infinito , cuando se toma su cierre en el espacio proyectivo . La resolución dice que tales singularidades pueden manejarse más bien como una especie (complicada) de compactificación , terminando con una variedad compacta (para la topología fuerte, en lugar de la topología de Zariski , es decir).
Casi al mismo tiempo que el trabajo de Hironaka, la teoría de la catástrofe de René Thom recibía mucha atención. Esta es otra rama de la teoría de la singularidad, basada en trabajos anteriores de Hassler Whitney sobre puntos críticos . En términos generales, un punto crítico de una función suave es donde el conjunto de niveles desarrolla un punto singular en el sentido geométrico. Esta teoría trata de funciones diferenciables en general, y no sólo de polinomios. Para compensar, sólo se consideran los fenómenos estables . Se puede argumentar que en la naturaleza no se observará nada que sea destruido por pequeños cambios; lo visible es lo estable. Whitney había demostrado que en un número reducido de variables la estructura estable de los puntos críticos es muy restringida, en términos locales. Thom se basó en esto y en su propio trabajo anterior para crear una teoría de la catástrofe que supuestamente explica el cambio discontinuo en la naturaleza.
Si bien Thom era un matemático eminente, la posterior moda de la teoría elemental de catástrofes propagada por Christopher Zeeman provocó una reacción, en particular por parte de Vladimir Arnold . [2] Es posible que haya sido en gran parte responsable de aplicar el término teoría de la singularidad al área, incluidos los aportes de la geometría algebraica, así como los que surgen del trabajo de Whitney, Thom y otros autores. Escribió en términos que dejaban claro su disgusto por el énfasis demasiado publicitado en una pequeña parte del territorio. El trabajo fundamental sobre singularidades suaves se formula como la construcción de relaciones de equivalencia sobre puntos singulares y gérmenes . Técnicamente esto implica acciones grupales de grupos de Lie en espacios de chorros ; en términos menos abstractos, las series de Taylor se examinan hasta el cambio de variable, precisando singularidades con suficientes derivadas . Las aplicaciones, según Arnold, deben verse en la geometría simpléctica , como forma geométrica de la mecánica clásica .
Una razón importante por la que las singularidades causan problemas en matemáticas es que, ante un fallo de la estructura múltiple, tampoco se permite la invocación de la dualidad de Poincaré . Un avance importante fue la introducción de la cohomología de intersección , que surgió inicialmente de intentos de restaurar la dualidad mediante el uso de estratos. De la idea original surgieron numerosas conexiones y aplicaciones, por ejemplo el concepto de gavilla perversa en álgebra homológica .
La teoría mencionada anteriormente no se relaciona directamente con el concepto de singularidad matemática como un valor en el que una función no está definida. Para eso, véase, por ejemplo , singularidad aislada , singularidad esencial , singularidad removible . Sin embargo, la teoría monodromía de las ecuaciones diferenciales , en el dominio complejo, alrededor de singularidades, entra en relación con la teoría geométrica. En términos generales, la monodromía estudia la forma en que un mapa de cobertura puede degenerar, mientras que la teoría de la singularidad estudia la forma en que una variedad puede degenerar; y estos campos están vinculados.
