Curva plana cúbica

Tipo de curva matemática

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En matemáticas , una curva plana cúbica es una curva algebraica plana C definida por una ecuación cúbica.

⁠ ⁠ ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

aplicada a coordenadas homogéneas para el ${\displaystyle (x:y:z)}$ plano proyectivo ; o la versión no homogénea para el espacio afín determinado al establecer z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal no nula de los monomios de tercer grado

⁠ ⁠ ${\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz}$

Son diez en número; por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9, sobre cualquier cuerpo dado K . Cada punto P impone una única condición lineal sobre F , si pedimos que C pase por P . Por lo tanto, podemos encontrar alguna curva cúbica a través de nueve puntos dados, que pueden ser degeneradas, y pueden no ser únicas, pero serán únicas y no degeneradas si los puntos están en posición general ; compárese con dos puntos que determinan una línea y cómo cinco puntos determinan una cónica . Si dos cúbicas pasan a través de un conjunto dado de nueve puntos, entonces, de hecho, un lápiz de cúbicas lo hace, y los puntos satisfacen propiedades adicionales; véase el teorema de Cayley-Bacharach .

Cúbica singular y ² = x ² ⋅ ( x + 1) . Una parametrización viene dada por t ↦ ( t ² – 1, t ⋅ ( t ² – 1)) .

Una curva cúbica puede tener un punto singular , en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una línea proyectiva . De lo contrario, se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión , sobre un cuerpo algebraicamente cerrado como los números complejos . Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz de Hesse , que define nuevamente una cúbica, e intersecándola con C ; las intersecciones se cuentan luego mediante el teorema de Bézout . Sin embargo, solo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los demás no se pueden ver en el plano proyectivo real al dibujar la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada línea que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión.

Los puntos reales de las curvas cúbicas fueron estudiados por Isaac Newton . Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular caen en uno o dos "óvalos". Uno de estos óvalos cruza cada línea proyectiva real y, por lo tanto, nunca está acotado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano ; aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que para las secciones cónicas , una línea corta este óvalo en, como máximo, dos puntos.

Una cúbica plana no singular define una curva elíptica , sobre cualquier cuerpo K para el cual tiene un punto definido. Las curvas elípticas se estudian ahora normalmente en alguna variante de las funciones elípticas de Weierstrass , definiendo una extensión cuadrática del cuerpo de funciones racionales hecha extrayendo la raíz cuadrada de una cúbica. Esto depende de tener un punto K - racional , que sirve como el punto en el infinito en la forma de Weierstrass. Hay muchas curvas cúbicas que no tienen tal punto, por ejemplo cuando K es el cuerpo de números racionales .

Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide . Una curva cúbica plana reducible es una cónica y una línea o tres líneas y, en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un nodo tac (si es una cónica y una línea), o hasta tres puntos dobles o un único punto triple ( líneas concurrentes ) si son tres líneas.

Curvas cúbicas en el plano de un triángulo

Supongamos que △ ABC es un triángulo cuyos lados son △ ABC , y que muchas cúbicas con nombre pasan por puntos bien conocidos. Los ejemplos que se muestran a continuación utilizan dos tipos de coordenadas homogéneas: trilineales y baricéntricas . ${\displaystyle a=|BC|,}$ ${\displaystyle b=|CA|,}$ ${\displaystyle c=|AB|.}$

Para convertir de trilineal a baricéntrico en una ecuación cúbica, sustituya de la siguiente manera:

${\displaystyle x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;}$

Para convertir de baricéntrico a trilineal, utilice

${\displaystyle x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.}$

Muchas ecuaciones para cúbicas tienen la forma

${\displaystyle f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.}$

En los ejemplos siguientes, dichas ecuaciones se escriben de forma más sucinta en "notación de suma cíclica", de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0}$.

Las cúbicas que se enumeran a continuación se pueden definir en términos de la conjugada isogonal , denotada por X* , de un punto X que no está en una línea lateral de △ ABC . A continuación se presenta una construcción de X* . Sea L _A la reflexión de la línea XA sobre la bisectriz del ángulo interno del ángulo A , y definamos L _B y L _C de manera análoga. Entonces las tres líneas reflejadas concurren en X* . En coordenadas trilineales, si entonces ${\displaystyle X=x:y:z,}$ ${\displaystyle X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.}$

Neuberg cúbico

Cúbica de Neuberg del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de X tal que, si X _A , X _B , X _C son las reflexiones de X en las líneas laterales BC, CA, AB , entonces las líneas AX _A , BX _B , CX _C son concurrentes.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Neuberg (nombrada en honor a Joseph Jean Baptiste Neuberg ) es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está en la línea EX , donde E es el punto infinito de Euler ( X (30) en la Enciclopedia de centros de triángulos ). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X tal que el triángulo △ X _A X _B X _C es perspectiva de △ ABC , donde △ X _A X _B X _C es la reflexión de X en las líneas BC, CA, AB, respectivamente.

La cúbica de Neuberg pasa por los siguientes puntos: incentro , circuncentro , ortocentro , ambos puntos de Fermat , ambos puntos isodinámicos , el punto de infinito de Euler, otros centros de triángulos, los excentros, las reflexiones de A, B, C en los lados de △ ABC y los vértices de los seis triángulos equiláteros erigidos en los lados de △ ABC .

Para una representación gráfica y una lista extensa de propiedades de la cúbica de Neuberg, consulte K001 en Cúbicas en el plano del triángulo de Berhard Gibert.

cúbico de Thomson

Ejemplo de cúbica de Thomson (curva negra). X está en la cúbica, de modo que el conjugado isogonal de X ( X ′) está en la recta X (2) – X .

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Thomson es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está en la línea GX , donde G es el centroide.

La cúbica de Thomson pasa por los siguientes puntos: incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro, punto simediano, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, los excentros, los puntos medios de los lados BC, CA, AB y los puntos medios de las alturas de △ ABC . Para cada punto P de la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.

Para gráficos y propiedades, consulte K002 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Darboux cúbico

Cúbica de Darboux del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de X tal que si D, E, F son los pies de las perpendiculares desde X a las líneas laterales BC, CA, AB, entonces las líneas AD, BE, CF son concurrentes.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Darboux es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está sobre la línea LX , donde L es el punto de Longchamps . Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X tal que el triángulo pedal de X es el triángulo ceviano de algún punto (que se encuentra sobre la cúbica de Lucas). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo pedal de X y el triángulo anticeviano de X son perspectivos; el perspector se encuentra sobre la cúbica de Thomson.

La cúbica de Darboux pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el punto de Longchamps, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, los excentros y los antípodas de A, B, C en la circunferencia circunscrita. Para cada punto P en la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.

Para gráficos y propiedades, consulte K004 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Cúbico de Napoleón-Feuerbach

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

La cúbica de Napoleón-Feuerbach es el lugar geométrico de un punto X* en la línea NX , donde N es el centro de nueve puntos, ( N = X (5) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos ).

La cúbica de Napoleón-Feuerbach pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, los puntos Napoleón 1 y 2, otros centros de triángulos, los vértices A, B, C, los excentros, las proyecciones del baricentro sobre las alturas y los centros de los 6 triángulos equiláteros erigidos sobre los lados de △ ABC .

Para conocer gráficos y propiedades, consulte K005 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Lucas cúbico

Cúbica de Lucas del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo ceviano de X es el triángulo pedal de algún punto X' ; el punto X' se encuentra en la cúbica de Darboux.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

La cúbica de Lucas es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo ceviano de X es el triángulo pedal de algún punto; el punto se encuentra en la cúbica de Darboux.

La cúbica de Lucas pasa por el centroide, el ortocentro, el punto de Gergonne, el punto de Nagel, el punto de Longchamps, otros centros de triángulos, los vértices del triángulo anticomplementario y los focos de la circunelipse de Steiner.

Para gráficos y propiedades, consulte K007 en Cúbicas en el plano del triángulo.

1er Brocard cúbico

Primer punto cúbico de Brocard: Es el lugar geométrico de X tal que las intersecciones de XA', XB', XC' con las líneas laterales BC, CA, CB, donde △ A'B'C' es el primer triángulo de Brocard del triángulo △ ABC , son colineales. En la figura Ω y Ω′ son el primer y segundo punto de Brocard.

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

Sea △ A'B'C' el primer triángulo de Brocard. Para un punto arbitrario X , sean X _A , X _B , X _C las intersecciones de las rectas XA′, XB′, XC′ con las líneas laterales BC, CA, AB, respectivamente. El primer cúbico de Brocard es el lugar geométrico de X para el cual los puntos X _A , X _B , X _C son colineales.

La primera cúbica de Brocard pasa por el centroide, el punto simediano, el punto de Steiner, otros centros de triángulos y los vértices de los triángulos de Brocard primero y tercero.

Para gráficos y propiedades, consulte K017 en Cúbicas en el plano del triángulo.

2º Brocard cúbico

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

La 2.ª cúbica de Brocard es el lugar geométrico de un punto X para el cual el polo de la línea XX* en la circuncónica que pasa por X y X* se encuentra sobre la línea del circuncentro y el punto simediano (es decir, el eje de Brocard). La cúbica pasa por el baricentro, el punto simediano, ambos puntos de Fermat, ambos puntos isodinámicos, el punto de Parry, otros centros de triángulos y los vértices de los triángulos de Brocard 2.º y 4.º.

Para conocer gráficos y propiedades, consulte K018 en Cúbicas en el plano del triángulo.

1° áreas cúbicas iguales

Primer cúbico de área igual del triángulo △ ABC : El lugar geométrico de un punto X tal que el área del triángulo ceviano de X es igual al área del triángulo ceviano de X* .

Ecuación trilineal: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

El primer cúbico de áreas iguales es el lugar geométrico de un punto X tal que el área del triángulo ceviano de X es igual al área del triángulo ceviano de X* . Además, este cúbico es el lugar geométrico de X para el cual X* está en la línea S*X , donde S es el punto de Steiner. ( S = X (99) en la Enciclopedia de centros de triángulos ).

El primer cúbico de áreas iguales pasa por el incentro, el punto de Steiner, otros centros del triángulo, el primer y segundo punto de Brocard y los excentros.

Para conocer gráficos y propiedades, consulte K021 en Cúbicas en el plano del triángulo.

2. áreas cúbicas iguales

Ecuación trilineal: ${\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)}$

Ecuación baricéntrica: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0}$

Para cualquier punto (trilineales), sea y El segundo cúbico de áreas iguales es el lugar geométrico de X tal que el área del triángulo ceviano de X _Y es igual al área del triángulo ceviano de X _Z . ${\displaystyle X=x:y:z}$ ${\displaystyle X_{Y}=y:z:x}$ ${\displaystyle X_{Z}=z:x:y.}$

El segundo cubo de áreas iguales pasa por el incentro, centroide, punto simediano y puntos en la Enciclopedia de Centros de Triángulos indexados como X (31), X (105), X (238), X (292), X ( 365), X (672), X (1453), X (1931), X (2053) y otros.

Para conocer gráficos y propiedades, consulte K155 en Cúbicas en el plano del triángulo.

Véase también

• Teorema de Cayley-Bacharach , sobre la intersección de dos curvas planas cúbicas
• Cúbica torcida , una curva espacial cúbica
• Curva elíptica
• Bruja de Agnesi
• Catálogo de Cúbicas Triangulares

Referencias

• Bix, Robert (1998), Cónicas y cúbicas: una introducción concreta a las curvas algebraicas , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
• Cerin, Zvonko (1998), "Propiedades del lugar geométrico de la cúbica de Neuberg", Journal of Geometry , 63 (1–2): 39–56, doi :10.1007/BF01221237, S2CID  116778499.
• Cerin, Zvonko (1999), "Sobre la cúbica de Napoleón", Journal of Geometry , 66 (1–2): 55–71, doi :10.1007/BF01225672, S2CID  120174967.
• Cundy, HM y Parry, Cyril F. (1995), "Algunas curvas cúbicas asociadas a un triángulo", Journal of Geometry , 53 (1–2): 41–66, doi :10.1007/BF01224039, S2CID  122633134.
• Cundy, HM y Parry, Cyril F. (1999), "Propiedades geométricas de algunas cúbicas de Euler y circulares (parte 1)", Journal of Geometry , 66 (1–2): 72–103, doi :10.1007/BF01225673, S2CID  119886462.
• Cundy, HM y Parry, Cyril F. (2000), "Propiedades geométricas de algunas cúbicas de Euler y circulares (parte 2)", Journal of Geometry , 68 (1–2): 58–75, doi :10.1007/BF01221061, S2CID  126542269.
• Ehrmann, Jean-Pierre y Gibert, Bernard (2001), "Una configuración de Morley", Forum Geometriorum , 1 : 51–58.
• Ehrmann, Jean-Pierre y Gibert, Bernard (2001), "La cúbica de Simson", Forum Geometriorum , 1 : 107-114.
• Gibert, Bernard (2003), "Ortocorrespondencia y cúbica ortopivotal", Forum Geometricorum , 3 : 1–27.
• Kimberling, Clark (1998), "Centros de triángulos y triángulos centrales", Congressus Numerantium , 129 : 1–295. Véase el Capítulo 8 para ecuaciones cúbicas.
• Kimberling, Clark (2001), "Cúbicas asociadas con triángulos de áreas iguales", Forum Geometricorum , 1 : 161–171.
• Lang, Fred (2002), "Geometría y estructuras de grupo de algunas cúbicas", Forum Geometricorum , 2 : 135–146.
• Pinkernell, Guido M. (1996), "Curvas cúbicas en el plano del triángulo", Journal of Geometry , 55 (1–2): 142–161, doi :10.1007/BF01223040, S2CID  123411561.
• Salmon, George (1879), Curvas del plano superior (3.ª ed.), Dublín: Hodges, Foster y Figgis.

Enlaces externos

• Catálogo de curvas cúbicas planas (versión archivada)
• Puntos en cúbicos
• Cúbicas en el plano del triángulo
• Isocúbicas especiales en el plano del triángulo (pdf), de Jean-Pierre Ehrmann y Bernard Gibert
• "Curvas cúbicas reales y complejas - John Milnor, Stony Brook University [2016]". YouTube . Matemáticas de posgrado. 27 de junio de 2018.Conferencia en julio de 2016, ICMS, Edimburgo, en la conferencia en honor del 70 cumpleaños de Dusa McDuff