En geometría euclidiana , la cúbica de Neuberg es una curva plana cúbica especial asociada a un triángulo de referencia con varias propiedades notables. Lleva el nombre de Joseph Jean Baptiste Neuberg (30 de octubre de 1840 - 22 de marzo de 1926), un matemático luxemburgués que introdujo por primera vez la curva en un artículo publicado en 1884. [1] [2] La curva aparece como el primer elemento, con identificación número K001, [1] en el Catálogo de triángulos cúbicos de Bernard Gilbert, que es una recopilación de información extensa sobre más de 1200 triángulos cúbicos.
La cúbica de Neuberg se puede definir como un lugar geométrico de muchas maneras diferentes. [1] Una forma es definirlo como un lugar geométrico de un punto P en el plano del triángulo de referencia △ ABC tal que, si las reflexiones de P en las líneas laterales del triángulo △ ABC son P a , P b , P c , entonces las líneas AP a , BP b , CP c son concurrentes. Sin embargo, es necesario demostrar que el lugar así definido es en realidad una curva cúbica. Una segunda forma es definirlo como el lugar geométrico del punto P tal que si O a , O b , O c son los circuncentros de triángulos △ BPC , △ CPA , △ APB , entonces las rectas AO a , BO b , O c son concurrente. Otra forma más es definirla como el lugar geométrico de P que satisface la siguiente propiedad conocida como cuadrángulos involutivos [1] (esta fue la forma en que Neuberg introdujo la curva):
Sean a, b, c las longitudes de los lados del triángulo de referencia △ ABC . Entonces la ecuación de la cúbica de Neuberg de △ ABC en coordenadas baricéntricas x : y : z es
En la literatura más antigua, la curva de Neuberg se denomina comúnmente curva de 21 puntos. La terminología se refiere a la propiedad de la curva descubierta por el propio Neuberg de que pasa por ciertos 21 puntos especiales asociados con el triángulo de referencia. Suponiendo que el triángulo de referencia es △ ABC , los 21 puntos se enumeran a continuación. [3]
La figura adjunta muestra la cúbica de Neuberg del triángulo △ ABC con los 21 puntos especiales mencionados anteriormente.
En un artículo publicado en 1925, BH Brown informó sobre su descubrimiento de 16 puntos especiales adicionales en la cúbica de Neuberg, lo que elevaba el número total de puntos especiales conocidos en la cúbica a 37. [3] Debido a esto, a veces también se hace referencia a la cúbica de Neuberg. como el cúbico de 37 puntos. Actualmente, se sabe que en la cúbica de Neuberg se encuentran una gran cantidad de puntos especiales. El catálogo de Gilbert tiene una página especial dedicada a una lista de puntos especiales que también son centros de triángulos. [4]
La ecuación en coordenadas trilineales de la recta en el infinito en el plano del triángulo de referencia es
Hay dos puntos especiales en esta línea llamados puntos circulares en el infinito . Cada círculo en el plano del triángulo pasa por estos dos puntos y cada cónica que pasa por estos puntos es un círculo. Las coordenadas trilineales de estos puntos son
dónde . [5] Cualquier curva cúbica que pasa por los dos puntos circulares en el infinito se llama cúbica circular. La cúbica de Neuberg es una cúbica circular. [1]
El conjugado isogonal de un punto P respecto de un triángulo △ ABC es el punto de concurrencia de las reflexiones de las rectas PA, PB, PC respecto de las bisectrices de los ángulos A, B, C respectivamente. El conjugado isogonal de P a veces se denota por P* . El conjugado isogonal de P* es P . Una cúbica autoisogonal es una cúbica triangular que es invariante bajo conjugación isogonal. Una cúbica isogonal fundamental es una cúbica en la que los puntos P que se encuentran en la cúbica y sus conjugados isogonales son colineales con un punto fijo Q conocido como punto de pivote de la cúbica. La cúbica de Neuberg es una cúbica isogonal fundamental que tiene su pivote en la intersección de la línea de Euler con la línea del infinito . En la Enciclopedia de centros de triángulos de Kimberling, este punto se denota por X(30).
Sea P un punto en el plano del triángulo △ ABC . Las rectas perpendiculares de P a AP, BP, CP cortan a BC, CA, AB respectivamente en Pa , P b , P c y estos puntos se encuentran en una recta L P. Sea el polo trilineal de L P P ⊥ . Una cúbica isopivotal es un triángulo cúbico que tiene la propiedad de que hay un punto fijo P tal que, para cualquier punto M de la cúbica, los puntos P, M, M ⊥ son colineales. El punto fijo P se llama ortopivote de la cúbica. [6] La cúbica de Neuberg es una cúbica ortopivotal con ortopivote en el circuncentro del triángulo. [1]
![{\displaystyle \sum _{\text{cíclico}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2} -2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f12187738c164d27388294ea2223e2d4d374d5d)
