En matemáticas , la bruja de Agnesi ( pronunciación italiana: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi] ) es una curva plana cúbica definida a partir de dos puntos diametralmente opuestos de un círculo.
La curva fue estudiada ya en 1653 por Pierre de Fermat , en 1703 por Guido Grandi y por Isaac Newton . Recibe su nombre de la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi , quien la publicó en 1748. El nombre italiano la versiera di Agnesi se basa en el latín versoria ( lámina de veleros) y el seno versus . Esto fue leído por John Colson como l'avversiera di Agnesi , donde avversiera se traduce como "mujer que está en contra de Dios" e interpretado como "bruja". [1] [2] [3] [4]
La gráfica de la derivada de la función arcotangente constituye un ejemplo de la bruja de Agnesi. Como función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy , la bruja de Agnesi tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad . También da lugar al fenómeno de Runge en la aproximación de funciones por polinomios , se ha utilizado para aproximar la distribución de energía de líneas espectrales y modela la forma de las colinas.
La bruja es tangente a su círculo definitorio en uno de los dos puntos de definición, y asintótica a la línea tangente al círculo en el otro punto. Tiene un vértice único (un punto de curvatura extrema) en el punto de tangencia con su círculo definitorio, que también es su círculo osculador en ese punto. También tiene dos puntos de inflexión finitos y un punto de inflexión infinito. El área entre la bruja y su línea asintótica es cuatro veces el área del círculo definitorio, y el volumen de revolución de la curva alrededor de su línea definitoria es el doble del volumen del toro de revolución de su círculo definitorio.
Para construir esta curva, comience con dos puntos cualesquiera O y M , y dibuje un círculo con OM como diámetro. Para cualquier otro punto A en el círculo, sea N el punto de intersección de la línea secante OA y la línea tangente en M . Sea P el punto de intersección de una línea perpendicular a OM a través de A , y una línea paralela a OM a través de N . Entonces P se encuentra en la bruja de Agnesi. La bruja consiste en todos los puntos P que se pueden construir de esta manera a partir de la misma elección de O y M . [5] Incluye, como caso límite, el propio punto M .
Supóngase que el punto O está en el origen y el punto M se encuentra en el eje positivo y que el círculo con diámetro OM tiene radio . Entonces la ecuación construida a partir de O y M tiene la ecuación cartesiana [6] [7] Esta ecuación se puede simplificar, eligiendo , a la forma o equivalentemente, despejando los denominadores , como la ecuación algebraica cúbica En su forma simplificada, esta curva es la gráfica de la derivada de la función arcotangente . [8]
La bruja de Agnesi también puede describirse mediante ecuaciones paramétricas cuyo parámetro θ es el ángulo entre OM y OA , medido en el sentido de las agujas del reloj: [6] [7]
Las principales propiedades de esta curva se pueden derivar del cálculo integral . El área entre la bruja y su línea asintótica es cuatro veces el área del círculo fijo, . [6] [7] [9] El volumen de revolución de la bruja de Agnesi alrededor de su asíntota es . [6] Esto es dos veces el volumen del toro formado al girar el círculo que define a la bruja alrededor de la misma línea. [9]
La curva tiene un único vértice en el punto de tangencia con su círculo definitorio. Es decir, este punto es el único punto donde la curvatura alcanza un mínimo local o un máximo local. [10] El círculo definitorio de la bruja es también su círculo osculador en el vértice, [11] el único círculo que "besa" la curva en ese punto al compartir la misma orientación y curvatura. [12] Debido a que este es un círculo osculador en el vértice de la curva, tiene contacto de tercer orden con la curva. [13]
La curva tiene dos puntos de inflexión , en los puntos correspondientes a los ángulos . [6] [7] Cuando se considera como una curva en el plano proyectivo también hay un tercer punto de inflexión infinito, en el punto donde la línea en el infinito es cruzada por la línea asintótica. Debido a que uno de sus puntos de inflexión es infinito, la bruja tiene el mínimo número posible de puntos de inflexión reales finitos de cualquier curva cúbica no singular . [14]
El área más grande de un rectángulo que puede inscribirse entre la bruja y su asíntota es , para un rectángulo cuya altura es el radio del círculo que lo define y cuyo ancho es el doble del diámetro del círculo. [9]
La curva fue estudiada por Pierre de Fermat en su tratado de 1659 sobre la cuadratura . En él, Fermat calcula el área bajo la curva y (sin detalles) afirma que el mismo método se aplica también a la cisoide de Diocles . Fermat escribe que la curva le fue sugerida " ab erudito geometra " [por un geómetra erudito]. [16] Paradís, Pla y Viader (2008) especulan que el geómetra que sugirió esta curva a Fermat podría haber sido Antoine de Laloubère . [17]
La construcción dada arriba para esta curva fue encontrada por Grandi (1718); la misma construcción también fue encontrada antes por Isaac Newton , pero sólo publicada póstumamente más tarde, en 1779. [18] Grandi (1718) también sugirió el nombre versiera (en italiano) o versoria (en latín) para la curva. [19] El término latino también se usa para una escota , la cuerda que hace girar la vela, pero Grandi puede haber tenido la intención de referirse simplemente a la función versine que apareció en su construcción. [9] [18] [20] [21]
En 1748, Maria Gaetana Agnesi publicó Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , un libro de texto temprano sobre cálculo . [15] En él, después de considerar primero otras dos curvas, incluye un estudio de esta curva. Define la curva geométricamente como el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una cierta proporción, determina su ecuación algebraica y encuentra su vértice, línea asintótica y puntos de inflexión. [22]
Maria Gaetana Agnesi nombró la curva según Grandi, versiera . [20] [22] Casualmente, en esa época en Italia era común hablar del Diablo a través de otras palabras como aversiero o versiero , derivadas del latín adversarius , el "adversario" de Dios. Versiera , en particular, se usaba para indicar a la esposa del diablo, o "bruja". [23] Debido a esto, el profesor de Cambridge John Colson tradujo erróneamente el nombre de la curva como "bruja". [24] Diferentes trabajos modernos sobre Agnesi y sobre la curva sugieren conjeturas ligeramente diferentes sobre cómo exactamente ocurrió esta traducción errónea. [25] [26] Struik menciona que: [22]
La palabra [ versiera ] se deriva del latín vertere , girar, pero también es una abreviatura del italiano avversiera , diabla. Algún ingenioso en Inglaterra la tradujo una vez como 'bruja', y el tonto juego de palabras todavía se conserva con cariño en la mayoría de nuestros libros de texto en idioma inglés. ... La curva ya había aparecido en los escritos de Fermat ( Oeuvres , I, 279-280; III, 233-234) y de otros; el nombre versiera proviene de Guido Grandi ( Quadratura circuli et hyperbolae , Pisa, 1703). La curva es del tipo 63 en la clasificación de Newton . ... El primero en usar el término 'bruja' en este sentido puede haber sido B. Williamson, Integral calculus , 7 (1875), 173; [27] véase Oxford English Dictionary .
Por otra parte, Stephen Stigler sugiere que el propio Grandi "puede haber estado recurriendo a un juego de palabras", un doble juego de palabras que conecta al diablo con la versine y la función sine con la forma del pecho femenino (ambas pueden escribirse como "seno" en italiano). [18]
Una versión escalada de la curva es la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy . Esta es la distribución de probabilidad en la variable aleatoria determinada por el siguiente experimento aleatorio : para un punto fijo sobre el eje , elija uniformemente al azar una línea que pase por , y sea la coordenada del punto donde esta línea aleatoria cruza el eje. La distribución de Cauchy tiene una distribución puntiaguda que se asemeja visualmente a la distribución normal , pero sus colas pesadas le impiden tener un valor esperado según las definiciones habituales, a pesar de su simetría. En términos de la propia bruja, esto significa que la coordenada del centroide de la región entre la curva y su línea asintótica no está bien definida, a pesar de la simetría y el área finita de esta región. [18] [28]
En el análisis numérico , cuando se aproximan funciones mediante interpolación polinómica con puntos de interpolación igualmente espaciados, puede darse el caso de que para algunas funciones el uso de más puntos cree peores aproximaciones, de modo que la interpolación diverja de la función que está tratando de aproximar en lugar de converger hacia ella. Este comportamiento paradójico se denomina fenómeno de Runge . Fue descubierto por primera vez por Carl David Tolmé Runge para la función de Runge , otra versión escalada de la bruja de Agnesi, al interpolar esta función sobre el intervalo . El mismo fenómeno ocurre para la propia bruja sobre el intervalo más amplio . [29]
La bruja de Agnesi aproxima la distribución de energía espectral de las líneas espectrales , particularmente las líneas de rayos X. [30]
La sección transversal de una colina lisa tiene una forma similar a la de la bruja. [31] Las curvas con esta forma se han utilizado como obstáculo topográfico genérico en un flujo en el modelado matemático. [32] [33] Las olas solitarias en aguas profundas también pueden adoptar esta forma. [34] [35]
Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó una versión de esta curva para derivar la fórmula de Leibniz para π . Esta fórmula, la serie infinita, se puede derivar igualando el área bajo la curva con la integral de la función , utilizando la expansión de la serie de Taylor de esta función como la serie geométrica infinita e integrando término por término. [7]
La bruja de Agnesi es el título de una novela de Robert Spiller. Incluye una escena en la que un profesor da una versión de la historia del término. [36]
Witch of Agnesi es también el título de un álbum musical del cuarteto de jazz Radius. La portada del álbum presenta una imagen de la construcción de la bruja. [37]
"besa" la curva con precisión de segundo orden, por lo que recibe el nombre de círculo osculador (de la palabra latina que significa "besar").
[…] nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera in latino però Versoria […]
1875 B. Williamson
Elem. Treat. Integral Calculus
vii. 173 Halla el área entre la bruja de Agnesi
y su asíntota.
Una forma general útil para la forma de la colina es el llamado perfil de la "Bruja de Agnesi".