Jet (matemáticas)

En matemáticas , el chorro es una operación que toma una función diferenciable f y produce un polinomio , el polinomio de Taylor truncado de f , en cada punto de su dominio. Aunque esta es la definición de chorro, la teoría de los chorros considera que estos polinomios son polinomios abstractos en lugar de funciones polinomiales.

Este artículo explora primero la noción de un chorro de una función con valor real en una variable real, seguido de una discusión de generalizaciones a varias variables reales. Luego da una construcción rigurosa de chorros y espacios de chorros entre espacios euclidianos . Concluye con una descripción de los chorros entre colectores y cómo estos chorros pueden construirse intrínsecamente. En este contexto más general, se resumen algunas de las aplicaciones de los chorros a la geometría diferencial y la teoría de ecuaciones diferenciales .

Jets de funciones entre espacios euclidianos.

Antes de dar una definición rigurosa de jet, conviene examinar algunos casos especiales.

Caso unidimensional

Supongamos que es una función de valor real que tiene al menos k  + 1 derivadas en una vecindad U del punto . Entonces por el teorema de Taylor, ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}$

dónde

${\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}$

Entonces el k -jet de f en el punto se define como el polinomio ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}$

Los jets normalmente se consideran polinomios abstractos en la variable z , no funciones polinomiales reales en esa variable. En otras palabras, z es una variable indeterminada que permite realizar varias operaciones algebraicas entre los chorros. De hecho, es el punto de partida del cual los aviones derivan su dependencia funcional. Así, al variar el punto base, un chorro produce un polinomio de orden k como máximo en cada punto. Esto marca una distinción conceptual importante entre chorros y series de Taylor truncadas : normalmente se considera que una serie de Taylor depende funcionalmente de su variable, más que de su punto base. Los chorros, por otro lado, separan las propiedades algebraicas de las series de Taylor de sus propiedades funcionales. Nos ocuparemos de las razones y aplicaciones de esta separación más adelante en el artículo. ${\displaystyle x_{0}}$

Mapeos de un espacio euclidiano a otro

Supongamos que es una función de un espacio euclidiano a otro que tiene al menos ( k  + 1) derivadas. En este caso, el teorema de Taylor afirma que ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}$

El k -jet de f se define entonces como el polinomio

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}$

en donde . ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$

Propiedades algebraicas de los chorros.

Hay dos estructuras algebraicas básicas que los jets pueden llevar. El primero es la estructura del producto, aunque al final resulta ser el menos importante. El segundo es la estructura de la composición de los chorros.

Si son un par de funciones con valor real, entonces podemos definir el producto de sus chorros mediante ${\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).}$

Aquí hemos suprimido la z indeterminada , ya que se entiende que los chorros son polinomios formales. Este producto es simplemente el producto de polinomios ordinarios en z , módulo . En otras palabras, es una multiplicación en el anillo , donde está el ideal generado por polinomios homogéneos de orden ≥  k  + 1. ${\displaystyle z^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}$ ${\displaystyle (z^{k+1})}$

Pasamos ahora a la composición de los jets. Para evitar tecnicismos innecesarios, consideramos chorros de funciones que asignan el origen al origen. Si y con f (0) = 0 y g (0) = 0, entonces . La composición de los chorros se define por. Se comprueba fácilmente, utilizando la regla de la cadena , que esto constituye una operación asociativa no conmutativa en el espacio de los chorros en el origen. ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}$

De hecho, la composición de k -jets no es más que la composición de polinomios módulo el ideal de polinomios homogéneos de orden . ${\displaystyle >k}$

Ejemplos:

• En una dimensión, sean y . Entonces ${\displaystyle f(x)=\log(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sin \,x}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Chorros en un punto del espacio euclidiano: definiciones rigurosas

Definición analítica

La siguiente definición utiliza ideas del análisis matemático para definir los chorros y los espacios de los chorros. Se puede generalizar a funciones suaves entre espacios de Banach , funciones analíticas entre dominios reales o complejos , al análisis p-ádico y a otras áreas de análisis.

Sea el espacio vectorial de funciones suaves . Sea k un número entero no negativo y sea p un punto de . Definimos una relación de equivalencia en este espacio declarando que dos funciones f y g son equivalentes de orden k si f y g tienen el mismo valor en p , y todas sus derivadas parciales concuerdan en p hasta (e incluyendo) su k - derivadas de orden th. En resumen, sif a k -ésimo orden. ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle f\sim g\,\!}$ ${\displaystyle f-g=0}$

El espacio de chorro de orden k de en p se define como el conjunto de clases de equivalencia de y se denota por . ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

El chorro de orden k en p de una función suave se define como la clase de equivalencia de f en . ${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Definición álgebro-geométrica

La siguiente definición utiliza ideas de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa para establecer la noción de chorro y espacio de chorros. Aunque esta definición no es particularmente adecuada para su uso en geometría algebraica per se, dado que se incluye en la categoría suave, puede adaptarse fácilmente a tales usos.

Sea el espacio vectorial de gérmenes de funciones suaves en un punto p en . Sea el ideal formado por gérmenes de funciones que desaparecen en p . (Éste es el ideal máximo para el anillo local .) Entonces el ideal consta de todos los gérmenes de funciones que desaparecen al orden k en p . Ahora podemos definir el espacio del jet en p por ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Si es una función suave, podemos definir el k -jet de f en p como el elemento de estableciendo ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}}$

Esta es una construcción más general. Para un -espacio , sea el tallo de la estructura gavilla en y sea el ideal máximo del anillo local . El k-ésimo espacio del jet se define como el anillo ( es el producto de ideales ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

teorema de taylor

Independientemente de la definición, el teorema de Taylor establece un isomorfismo canónico de espacios vectoriales entre y . Así, en el contexto euclidiano, los chorros suelen identificarse con sus representantes polinomiales bajo este isomorfismo. ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}$

Espacios en chorro de un punto a un punto

Hemos definido el espacio de los chorros en un punto . El subespacio de este que consta de chorros de funciones f tales que f ( p ) =  q se denota por ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}$

Jets de funciones entre dos colectores.

Si M y N son dos variedades suaves , ¿cómo definimos el chorro de una función ? Quizás podríamos intentar definir dicho chorro utilizando coordenadas locales en M y N. La desventaja de esto es que los chorros no pueden definirse de forma invariante. Los chorros no se transforman en tensores . En cambio, los chorros de funciones entre dos colectores pertenecen a un haz de chorros . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

Jets de funciones desde la línea real a una variedad.

Supongamos que M es una variedad suave que contiene un punto p . Definiremos los chorros de curvas que pasan por p , con lo que en adelante entendemos funciones suaves tales que f (0) =  p . Defina una relación de equivalencia de la siguiente manera. Sean f y g un par de curvas que pasan por p . Entonces diremos que f y g son equivalentes al orden k en p si hay alguna vecindad U de p , tal que, para cada función suave , . Tenga en cuenta que estos chorros están bien definidos desde las funciones compuestas y son solo asignaciones de la línea real a sí misma. Esta relación de equivalencia a veces se denomina contacto de orden k entre curvas en p . ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi \circ g}$

Ahora definimos el chorro k de una curva f a p como la clase de equivalencia de f bajo , denotada o . El espacio de chorros de orden k es entonces el conjunto de k -jets en p . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J^{k}\!f\,}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Como p varía sobre M , forma un haz de fibras sobre M : el haz tangente de orden k , a menudo denotado en la literatura como T ^k M (aunque esta notación ocasionalmente puede llevar a confusión). En el caso k =1, entonces el paquete tangente de primer orden es el paquete tangente habitual: T ¹ M  =  TM . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Para demostrar que T ^k M es de hecho un haz de fibras, es instructivo examinar las propiedades de en coordenadas locales. Sea ( x ⁱ ) = ( x ¹ ,..., x ⁿ ) un sistema de coordenadas local para M en una vecindad U de p . Abusando ligeramente de la notación, podemos considerar ( xi ⁾ como un difeomorfismo local . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$ ${\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

Afirmar. Dos curvas f y g a p son módulo equivalente si y sólo si . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}$

De hecho, la única parte si está clara, ya que cada una de las n funciones x ¹ ,..., x ⁿ es una función suave de M a . Entonces, según la definición de relación de equivalencia , deben tener dos curvas equivalentes . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}$

Por el contrario, supongamos que ; es una función suave de valor real en M en una vecindad de p . Dado que toda función suave tiene una expresión de coordenadas local, podemos expresar ; como función en las coordenadas. Específicamente, si q es un punto de M cerca de p , entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))}$

para alguna función suave de valor real ψ de n variables reales. Por lo tanto, para dos curvas f y g a través de p , tenemos

${\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)}$

${\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)}$

La regla de la cadena ahora establece la parte if del reclamo. Por ejemplo, si f y g son funciones de la variable real t , entonces

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}$

que es igual a la misma expresión cuando se evalúa contra g en lugar de f , recordando que f (0)= g (0)=p y f y g están en contacto de orden k en el sistema de coordenadas ( x ⁱ ).

Por tanto, el aparente haz de fibras T ^k M admite una trivialización local en cada vecindad de coordenadas. Llegados a este punto, para demostrar que este aparente haz de fibras es en realidad un haz de fibras, basta con establecer que tiene funciones de transición no singulares bajo un cambio de coordenadas. Sea un sistema de coordenadas diferente y sea el cambio asociado de difeomorfismo de coordenadas del espacio euclidiano respecto de sí mismo. Mediante una transformación afín de , podemos suponer sin pérdida de generalidad que ρ(0)=0. Con esta suposición, basta demostrar que se trata de una transformación invertible bajo composición del chorro. (Ver también grupos de chorros ). Pero dado que ρ es un difeomorfismo, también es un mapeo suave. Por eso, ${\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}}$

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

lo que demuestra que no es singular. Además, es fluido, aunque no lo demostramos aquí. ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho }$

Intuitivamente, esto significa que podemos expresar el chorro de una curva que pasa por p en términos de su serie de Taylor en coordenadas locales en M.

Ejemplos en coordenadas locales:

• Como se indicó anteriormente, el chorro 1 de una curva que pasa por p es un vector tangente. Un vector tangente en p es un operador diferencial de primer orden que actúa sobre funciones suaves de valores reales en p . En coordenadas locales, todo vector tangente tiene la forma

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Dado tal vector tangente v , sea f la curva dada en el sistema ^de coordenadas xi por . Si φ es una función suave en la vecindad de p con φ ( p ) = 0, entonces ${\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}$

${\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

es una función suave de valor real de una variable cuyo 1-jet está dado por

${\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).}$

lo que demuestra que uno puede identificar naturalmente vectores tangentes en un punto con los chorros 1 de las curvas que pasan por ese punto.

• El espacio de 2 chorros de curvas que pasan por un punto.

En un sistema de coordenadas local x ⁱ centrado en un punto p , podemos expresar el polinomio de Taylor de segundo orden de una curva f ( t ) a través de p mediante

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).}$

Entonces, en el sistema de coordenadas x , el chorro 2 de una curva que pasa por p se identifica con una lista de números reales . Al igual que con los vectores tangentes (1 chorros de curvas) en un punto, los 2 chorros de curvas obedecen a una ley de transformación tras la aplicación de las funciones de transición de coordenadas. ${\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}$

Sea ( y ⁱ ) otro sistema de coordenadas. Por la regla de la cadena,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

Por tanto, la ley de transformación viene dada evaluando estas dos expresiones en t  = 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la ley de transformación para 2 chorros es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.

Jets de funciones de un colector a un colector

Ahora estamos preparados para definir el chorro de una función de una variedad a una variedad.

Supongamos que M y N son dos variedades suaves. Sea p un punto de M . Considere el espacio que consta de mapas suaves definidos en alguna vecindad de p . Definimos una relación de equivalencia de la siguiente manera. Se dice que dos aplicaciones f y g son equivalentes si, para cada curva γ que pasa por p (recuerde que, según nuestras convenciones, esta es una aplicación tal que ), tenemos una vecindad de 0 . ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$

El espacio en chorro se define entonces como el conjunto de clases de equivalencia de módulo la relación de equivalencia . Tenga en cuenta que debido a que el espacio objetivo N no necesita poseer ninguna estructura algebraica, tampoco es necesario que tenga dicha estructura. De hecho, esto contrasta marcadamente con el caso de los espacios euclidianos. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$

Si es una función suave definida cerca de p , entonces definimos el k -jet de f en p ,, como la clase de equivalencia de f módulo . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}f}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$

Multijets

John Mather introdujo la noción de multijet . En términos generales, un multijet es una lista finita de jets sobre diferentes puntos base. Mather demostró el teorema de transversalidad de chorros múltiples , que utilizó en su estudio de asignaciones estables.

Chorros de secciones

Supongamos que E es un paquete de vectores suaves de dimensión finita sobre una variedad M , con proyección . Entonces las secciones de E son funciones suaves tales que es el automorfismo de identidad de M. El chorro de una sección s sobre una vecindad de un punto p es simplemente el chorro de esta función suave de M a E en p . ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$ ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$ ${\displaystyle \pi \circ s}$

El espacio de los chorros de las secciones en p se denota por . Aunque esta notación puede generar confusión con los espacios de chorro más generales de funciones entre dos variedades, el contexto generalmente elimina cualquier ambigüedad de este tipo. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

A diferencia de los chorros de funciones de una variedad a otra variedad, el espacio de chorros de secciones en p lleva la estructura de un espacio vectorial heredado de la estructura del espacio vectorial en las propias secciones. Como p varía sobre M , los espacios de chorro forman un paquete de vectores sobre M , el paquete de chorros de orden k de E , denotado por J ^k ( E ). ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

• Ejemplo: el haz de chorros de primer orden del haz tangente.

Trabajamos en coordenadas locales de un punto y utilizamos la notación de Einstein . Considere un campo vectorial

${\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}$

en una vecindad de p en M . El 1-jet de v se obtiene tomando el polinomio de Taylor de primer orden de los coeficientes del campo vectorial:

${\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.}$

En las coordenadas x , el 1-jet en un punto se puede identificar con una lista de números reales . De la misma manera que un vector tangente en un punto puede identificarse con la lista ( vi ⁾ , sujeto a una determinada ley de transformación bajo transiciones de coordenadas, tenemos que saber cómo la lista se ve afectada por una transición. ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$ ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$

Consideremos entonces la ley de transformación al pasar a otro sistema de coordenadas y ⁱ . Sean w ^k los coeficientes del campo vectorial v en las coordenadas y . Luego, en las coordenadas y , el chorro 1 de v es una nueva lista de números reales . Desde ${\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}$

${\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}$

resulta que

${\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}$

Entonces

${\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}$

Desarrollando por una serie de Taylor, tenemos

${\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}$

${\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}$

Tenga en cuenta que la ley de transformación es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.

Operadores diferenciales entre paquetes de vectores

Ver también

• grupo jet
• paquete de jet
• sistema lagrangiano

Referencias

• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática , Sociedad Matemática Estadounidense , Providence, RI, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Saunders, DJ, La geometría de los paquetes Jet , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Olver, PJ , Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1 
• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos: haces de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886