paquete de jet

En topología diferencial , el haz de chorros es una determinada construcción que crea un nuevo haz de fibras lisas a partir de un haz de fibras lisas determinado. Permite escribir ecuaciones diferenciales en secciones de un haz de fibras en forma invariante. Los jets también pueden verse como las versiones libres de coordenadas de las expansiones de Taylor .

Históricamente, los haces de chorro se atribuyen a Charles Ehresmann y fueron un avance en el método ( prolongación ) de Élie Cartan , de tratar geométricamente con derivadas superiores , imponiendo condiciones de forma diferenciales a variables formales recién introducidas. Los haces de chorro a veces se denominan aerosoles , aunque los aerosoles generalmente se refieren más específicamente al campo vectorial asociado inducido en el haz correspondiente (por ejemplo, el aerosol geodésico en los colectores Finsler ).

Desde principios de la década de 1980, los haces de chorros han aparecido como una forma concisa de describir fenómenos asociados con las derivadas de mapas, particularmente aquellos asociados con el cálculo de variaciones . ^[1] En consecuencia, el haz de chorros ahora se reconoce como el dominio correcto para una teoría de campo covariante geométrica y se trabaja mucho en formulaciones relativistas generales de campos que utilizan este enfoque.

Chorros

Supongamos que M es una variedad de m dimensiones y que ( E , π, M ) es un haz de fibras . Para p ∈ M , sea Γ(p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene p . Sea un índice múltiple (una m -tupla de enteros no negativos, no necesariamente en orden ascendente), luego defina: ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

Defina las secciones locales σ, η ∈ Γ(p) para que tengan el mismo r -jet en p si

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

La relación de que dos mapas tienen el mismo r -jet es una relación de equivalencia . Un r -jet es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el r -jet con σ representativo se denota . El número entero r también se llama orden del chorro, p es su origen y σ( p ) es su destino . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

Colectores de chorro

La r -ésima variedad de chorros de π es el conjunto

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

Podemos definir las proyecciones π _r y π _{r ,0} llamadas proyecciones fuente y objetivo respectivamente, por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

Si 1 ≤ k ≤ r , entonces la proyección k -jet es la función π _r,k definida por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

De esta definición, queda claro que π _r = π o π _{r ,0} y que si 0 ≤ m ≤ k , entonces π _r,m = π _k,m o π _r,k . Es convencional considerar π _r,r como el mapa de identidad en J  ^r ( π ) e identificar J  ⁰ ( π ) con E .

Las funciones π _r,k , π _{r ,0} y π _r son inmersiones sobreyectivas suaves .

Un sistema de coordenadas en E generará un sistema de coordenadas en J  ^r ( π ). Sea ( U , u ) un gráfico de coordenadas adaptado en E , donde u = ( xi ^, u ^α ). El gráfico de coordenadas inducidas ( U ^r , u ^r ) en J  ^r ( π ) está definido por

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

y las funciones conocidas como coordenadas derivadas : ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

Dado un atlas de cartas adaptadas ( U , u ) en E , la colección correspondiente de cartas ( U  ^r , u  ^r ) es un atlas C ^∞ de dimensión finita en J  ^r ( π ).

Paquetes de jet

Dado que el atlas de cada uno define una variedad, los triples y todos definen variedades con fibras. En particular, si es un haz de fibras, el triple define el r -ésimo haz de chorros de π . ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$ ${\displaystyle (E,\pi ,M)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

Si W ⊂ M es una subvariedad abierta, entonces

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

Si p ∈ M , entonces se denota la fibra . ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

Sea σ una sección local de π con dominio W ⊂ M . La r -ésima prolongación del chorro de σ es el mapa definido por ${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

Tenga en cuenta que realmente es una sección. En coordenadas locales, está dado por ${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

Nos identificamos con . ${\displaystyle j^{0}\sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Perspectiva álgebro-geométrica

Se presenta una construcción motivada independientemente del haz de secciones . ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

Considere un mapa diagonal , donde la variedad suave es un espacio localmente anillado para cada abierto . Sea el haz ideal de , equivalentemente sea el haz de gérmenes suaves que se desvanecen para todos . El retroceso del cociente haz de a por es el haz de k-jets. ^[2] ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle 0<n\leq k}$ ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

El límite directo de la secuencia de inyecciones dada por las inclusiones canónicas de gavillas, da lugar a la gavilla de chorro infinito . Observe que por la construcción de límite directo es un anillo filtrado. ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

Ejemplo

Si π es el paquete trivial ( M × R , pr ₁ , M ), entonces existe un difeomorfismo canónico entre el primer paquete de chorro y T*M × R . Para construir este difeomorfismo, para cada σ en escribir . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$ ${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

Entonces, siempre que p ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

En consecuencia, el mapeo

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

está bien definido y es claramente inyectivo . Escribirlo en coordenadas muestra que es un difeomorfismo, porque si (xi ^, u) son coordenadas en M × R , donde u = id _R es la coordenada identidad, entonces las coordenadas derivadas u _i en J ¹ (π) corresponden a las coordenadas ∂ _i en T*M .

Asimismo, si π es el paquete trivial ( R × M , pr ₁ , R ), entonces existe un difeomorfismo canónico entre y R × TM . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

Estructura de contacto

El espacio J ^r (π) lleva una distribución natural , es decir, un subhaz del paquete tangente TJ ^r (π)), llamado distribución de Cartan . La distribución de Cartan abarca todos los planos tangentes a gráficos de secciones holonómicas; es decir, secciones de la forma j ^r φ para φ una sección de π.

El aniquilador de la distribución de Cartan es un espacio de formas unitarias diferenciales llamadas formas de contacto , en J ^r (π). El espacio de formas unitarias diferenciales en J ^r (π) se denota por y el espacio de formas de contacto se denota por . Un formulario único es un formulario de contacto siempre que su retroceso a lo largo de cada extensión sea cero. En otras palabras, es un formulario de contacto si y sólo si ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$ ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

para todas las secciones locales σ de π sobre M .

La distribución de Cartan es la principal estructura geométrica en los espacios en chorro y juega un papel importante en la teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales parciales . Las distribuciones de Cartan son completamente no integrables. En particular, no son involutivos . La dimensión de la distribución de Cartan crece con el orden del espacio del jet. Sin embargo, en el espacio de chorros infinitos J ^∞ la distribución de Cartan se vuelve involutiva y de dimensión finita: su dimensión coincide con la dimensión de la variedad base M .

Ejemplo

Considere el caso (E, π, M) , donde E ≃ R ² y M ≃ R . Entonces, (J ¹ (π), π, M) define el primer haz de chorros, y puede estar coordinado por (x, u, u ₁ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

para todo p ∈ M y σ en Γ _p (π). Una forma 1 general en J ¹ (π) toma la forma

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

Una sección σ en Γ _p (π) tiene una primera prolongación

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

Por lo tanto, (j ¹ σ)*θ se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

Esto desaparecerá para todas las secciones σ si y solo si c = 0 y a = − bσ′(x) . Por lo tanto, θ = b(x, u, u ₁ )θ ₀ debe ser necesariamente un múltiplo de la forma de contacto básica θ ₀ = du − u ₁ dx . Procediendo al segundo espacio en chorro J ² (π) con coordenadas adicionales u ₂ , tal que

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

una forma general 1 tiene la construcción

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

Este es un formulario de contacto si y sólo si

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

lo que implica que e = 0 y a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Por lo tanto, θ es un formulario de contacto si y sólo si

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

donde θ ₁ = du ₁ − u ₂ dx es la siguiente forma de contacto básica (tenga en cuenta que aquí estamos identificando la forma θ ₀ con su retroceso a J ² (π) ). ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

En general, siempre que x, u ∈ R , un formulario de contacto en J ^r+1 (π) se puede escribir como una combinación lineal de los formularios de contacto básicos

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

dónde

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

Argumentos similares conducen a una caracterización completa de todos los formularios de contacto.

En coordenadas locales, cada contacto uniforme en J ^r+1 (π) se puede escribir como una combinación lineal

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

con coeficientes suaves de las formas de contacto básicas ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|yo| Se conoce como orden del formulario de contacto . Tenga en cuenta que los formularios de contacto en J ^r+1 (π) tienen pedidos como máximo r . Las formas de contacto proporcionan una caracterización de aquellas secciones locales de π _r+1 que son prolongaciones de secciones de π. ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

Sea ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ), entonces ψ = j ^r+1 σ donde σ ∈ Γ _W (π) si y solo si ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

Campos vectoriales

Un campo vectorial general en el espacio total E , coordinado por , es ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

Un campo vectorial se llama horizontal , lo que significa que todos los coeficientes verticales desaparecen si = 0. ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

Un campo vectorial se llama vertical , lo que significa que todos los coeficientes horizontales desaparecen si ρ ⁱ = 0.

Para fijo (x, u) , identificamos

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

teniendo coordenadas (x, u, ρ ⁱ , φ ^α ) , con un elemento en la fibra T _xu E de TE sobre (x, u) en E , llamado vector tangente en TE . Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

se llama campo vectorial en E con

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

y ψ en Γ(TE) .

El haz de chorros J ^r (π) está coordinado por . Para fijo (x, u, w) , identifique ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

teniendo coordenadas

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

con un elemento en la fibra de TJ ^r (π) sobre (x, u, w) ∈ J ^r (π) , llamado vector tangente en TJ ^r (π) . Aquí, ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

son funciones de valor real en J ^r (π) . Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

es un campo vectorial en J ^r (π) , y decimos ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

Ecuaciones diferenciales parciales

Sea (E, π, M) un haz de fibras. Una ecuación diferencial parcial de orden r en π es una subvariedad incrustada cerrada S de la variedad de chorro J ^r (π) . Una solución es una sección local σ ∈ Γ _W (π) que satisface , para todo p en M . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

Considere un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de primer orden.

Ejemplo

Sea π el paquete trivial ( R ² × R , pr ₁ , R ² ) con coordenadas globales ( x ¹ , x ² , u ¹ ). Entonces el mapa F  : J ¹ (π) → R definido por

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

da lugar a la ecuación diferencial

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

que se puede escribir

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

Lo particular

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

tiene una primera prolongación dada por

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

y es una solución de esta ecuación diferencial, porque

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

y así para cada p ∈ R ² . ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

Prolongación del chorro

Un difeomorfismo local ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) define una transformación de contacto de orden r si conserva el ideal de contacto, lo que significa que si θ es cualquier forma de contacto en J ^r ( π ), entonces ψ*θ es También un formulario de contacto.

El flujo generado por un campo vectorial V ^r en el espacio del jet J ^r (π) forma un grupo de transformaciones de contacto de un parámetro si y solo si la derivada de Lie de cualquier forma de contacto θ conserva el ideal de contacto. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

Comencemos con el caso de primer orden. Considere un campo vectorial general V ¹ en J ¹ ( π ), dado por

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

Ahora aplicamos a las formas de contacto básicas y ampliamos la derivada exterior de las funciones en términos de sus coordenadas para obtener: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, V ¹ determina una transformación de contacto si y sólo si los coeficientes de dx ⁱ y en la fórmula desaparecen. Estos últimos requisitos implican las condiciones de contacto. ${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

Los primeros requisitos proporcionan fórmulas explícitas para los coeficientes de los términos de la primera derivada en V ¹ :

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

denota el truncamiento de orden cero de la _derivada total Di.

Por tanto, las condiciones de contacto prescriben de forma única la prolongación de cualquier punto o campo vectorial de contacto. Es decir, si satisface estas ecuaciones, V ^r se llama la r -ésima prolongación de V a un campo vectorial en J ^r (π) . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

Estos resultados se comprenden mejor cuando se aplican a un ejemplo particular. Por lo tanto, examinemos lo siguiente.

Ejemplo

Considere el caso (E, π, M) , donde E ≅ R ² y M ≃ R . Entonces, (J ¹ (π), π, E) define el primer haz de chorros, y puede estar coordinado por (x, u, u ₁ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

para todo p ∈ M y σ en Γ _p ( π ). Un formulario de contacto en J ¹ (π) tiene la forma

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

Considere un vector V sobre E , que tiene la forma

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Entonces, la primera prolongación de este campo vectorial hasta J ¹ (π) es

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

Si ahora tomamos la derivada de Lie de la forma de contacto con respecto a este campo vectorial prolongado, obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

Por lo tanto, para preservar el contacto ideal, requerimos

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

Y entonces la primera prolongación de V a un campo vectorial en J ¹ (π) es

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

Calculemos también la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J ² (π) . Tenemos como coordenadas en J ² (π) . Por tanto, el vector prolongado tiene la forma ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Los formularios de contacto son

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

Para preservar el contacto ideal, requerimos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

Ahora, θ no tiene dependencia de u ₂ . Por lo tanto, de esta ecuación tomaremos la fórmula para ρ , que necesariamente será el mismo resultado que encontramos para V ¹ . Por lo tanto, el problema es análogo a prolongar el campo vectorial V ¹ a J ² (π). Es decir, podemos generar la r -ésima prolongación de un campo vectorial aplicando recursivamente la derivada de Lie de las formas de contacto con respecto a los campos vectoriales prolongados, r veces. Entonces tenemos

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

y entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la derivada de Lie de la segunda forma de contacto con respecto a V ² es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para preservar el contacto ideal, requerimos ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

Y así la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J ² (π) es

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Tenga en cuenta que la primera prolongación de V se puede recuperar omitiendo los términos de la segunda derivada en V ² o proyectando hacia atrás a J ¹ (π) .

Espacios de chorro infinitos

El límite inverso de la secuencia de proyecciones da lugar al espacio infinito en chorro J ^∞ (π) . Un punto es la clase de equivalencia de secciones de π que tienen el mismo k -jet en p que σ para todos los valores de k . La proyección natural π _∞ se asigna a p . ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

Pensando simplemente en términos de coordenadas, J ^∞ (π) parece ser un objeto geométrico de dimensión infinita. De hecho, la forma más sencilla de introducir una estructura diferenciable en J ^∞ (π) , sin depender de gráficos diferenciables, viene dada por el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas . Dual a la secuencia de proyecciones de variedades es la secuencia de inyecciones de álgebras conmutativas. Denotemos simplemente por . Tomemos ahora el límite directo de la 's. Será un álgebra conmutativa, que se puede suponer que es el álgebra de funciones suaves sobre el objeto geométrico J ^∞ (π) . Obsérvese que , al nacer como límite directo, conlleva una estructura adicional: es un álgebra conmutativa filtrada. ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

En términos generales, un elemento concreto siempre pertenecerá a algún , por lo que es una función suave en la variedad de dimensión finita J ^k (π) en el sentido habitual. ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

PDE infinitamente prolongadas

Dado un sistema de k -ésimo orden de PDE E ⊆ J ^k (π) , la colección I (E) de funciones suaves que desaparecen en E en J ^∞ (π) es un ideal en el álgebra y, por lo tanto, también en el límite directo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Mejorar I(E) añadiendo todas las composiciones posibles de derivadas totales aplicadas a todos sus elementos. De esta manera obtenemos un nuevo ideal I que ahora está cerrado bajo la operación de tomar la derivada total. La subvariedad E _(∞) de J ^∞ ​​(π) cortada por I se llama prolongación infinita de E . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Geométricamente, E _(∞) es la variedad de soluciones formales de E . Se puede ver fácilmente que un punto de E _(∞) está representado por una sección σ cuya gráfica del k -jet es tangente a E en el punto con un orden de tangencia arbitrariamente alto. ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

Analíticamente, si E viene dada por φ = 0, una solución formal puede entenderse como el conjunto de coeficientes de Taylor de una sección σ en un punto p que hacen desaparecer la serie de Taylor en el punto p . ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

Lo más importante es que las propiedades de cierre de I implican que E _(∞) es tangente a la estructura de contacto de orden infinito en J ^∞ (π) , de modo que al restringir a E _(∞) se obtiene la diferencia y se puede estudiar el Vinogradov asociado. Secuencia (C-espectral) . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$

Observación

Este artículo ha definido chorros de secciones locales de un paquete, pero es posible definir chorros de funciones f: M → N , donde M y N son variedades; el chorro de f entonces corresponde exactamente al chorro de la sección

gramo _f : M → M × N

gramo _f (p) = (p, f(p))

( gr _f se conoce como la gráfica de la función f ) del paquete trivial ( M × N , π ₁ , M ). Sin embargo, esta restricción no simplifica la teoría, ya que la trivialidad global de π no implica la trivialidad global de π ₁ .

Ver también

• grupo jet
• Jet (matemáticas)
• sistema lagrangiano
• bicomplejo variacional

Referencias

1. Krupka, Deméter (2015). Introducción a la Geometría Variacional Global. Prensa Atlántida. ISBN 978-94-6239-073-7.
2. Vakil, Ravi (25 de agosto de 1998). "Una guía para principiantes sobre los haces de chorros desde el punto de vista de la geometría algebraica" (PDF) . Consultado el 25 de junio de 2017 .

Otras lecturas

• Ehresmann, C., "Introducción a la teoría de las estructuras infinitas y de los pseudogrupos de mentira". Geometrie Differentielle, Colloq. Enterrar. del Centro Nacional. de la Recherche Scientifique, Estrasburgo, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Saunders, DJ, "La geometría de los paquetes Jet", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X . 
• Olver, PJ , "Equivalencia, invariantes y simetría", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1