Vector tangente

Vector tangente a una curva o superficie en un punto dado

En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R ⁿ . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Motivación

Antes de proceder a una definición general del vector tangente, analizamos su uso en cálculo y sus propiedades tensoriales .

Cálculo

Sea una curva suave paramétrica . El vector tangente viene dado por siempre que exista y siempre que , donde hemos utilizado una prima en lugar del punto habitual para indicar la diferenciación con respecto al parámetro t . ^[1] El vector tangente unitario viene dado por ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$ $${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}$$

Ejemplo

Dada la curva en , el vector tangente unitario en está dado por $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$$

Contravariancia

Si se da paramétricamente en el sistema de coordenadas n -dimensional x ⁱ (aquí hemos utilizado superíndices como índice en lugar del subíndice habitual) por o entonces el campo de vectores tangentes está dado por Bajo un cambio de coordenadas el vector tangente en el sistema de coordenadas u ⁱ está dado por donde hemos utilizado la convención de suma de Einstein . Por lo tanto, un vector tangente de una curva suave se transformará en un tensor contravariante de orden uno bajo un cambio de coordenadas. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$$ ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ $${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$$ $${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$$ ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ $${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$$

Definición

Sea una función diferenciable y sea un vector en . Definimos la derivada direccional en la dirección en un punto por El vector tangente en el punto puede entonces definirse ^[3] como ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$$

Propiedades

Sean funciones diferenciables, sean vectores tangentes en en , y sea . Entonces ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

Vector tangente en variedades

Sea una variedad diferenciable y sea el álgebra de funciones diferenciables de valores reales en . Entonces el vector tangente a en un punto de la variedad viene dado por la derivación que será lineal, es decir, para cualquier y tenemos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Nótese que la derivación tendrá por definición la propiedad de Leibniz.

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Véase también

• Curva diferenciable § Vector tangente
• Superficie diferenciable § Plano tangente y vector normal

Referencias

1. J. Stewart (2001)
2. D. Kay (1988)
3. A. Gray (1993)

Bibliografía

• Gray, Alfred (1993), Geometría diferencial moderna de curvas y superficies , Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Cálculo: conceptos y contextos , Australia: Thomson/Brooks/Cole.
• Kay, David (1988), Esquema de teoría y problemas del cálculo tensorial de Schaum , Nueva York: McGraw-Hill.