En física matemática , la teoría de campos clásica covariante representa campos clásicos mediante secciones de haces de fibras , y su dinámica se expresa en el contexto de un espacio de campos de dimensión finita . Hoy en día, es bien sabido que [ cita necesaria ] los haces de chorro y el bicomplejo variacional son el dominio correcto para tal descripción. La variante hamiltoniana de la teoría de campos clásica covariante es la teoría de campos hamiltoniana covariante donde los momentos corresponden a derivadas de variables de campo con respecto a todas las coordenadas mundiales. La mecánica no autónoma se formula como teoría de campo clásica covariante en haces de fibras a lo largo del eje del tiempo .
A continuación se ofrecen muchos ejemplos importantes de teorías de campos clásicas que son de interés en la teoría cuántica de campos. En particular, estas son las teorías que conforman el modelo estándar de física de partículas. Estos ejemplos se utilizarán en la discusión de la formulación matemática general de la teoría de campos clásica.
Para formular una teoría de campos clásica, se necesitan las siguientes estructuras:
Un colector suave .
Esto se conoce como variedad mundial (para enfatizar la variedad sin estructuras adicionales como una métrica), espacio-tiempo (cuando está equipado con una métrica lorentziana) o variedad base para un punto de vista más geométrico.
El espacio-tiempo suele venir acompañado de una estructura adicional. Ejemplos son
así como la estructura requerida de una orientación, necesaria para una noción de integración sobre toda la variedad .
El espacio-tiempo puede admitir simetrías. Por ejemplo, si está equipado con una métrica , estas son las isometrías de , generadas por los campos vectoriales Killing . Las simetrías forman un grupo , los automorfismos del espacio-tiempo. En este caso los campos de la teoría deberían transformarse en una representación de .
Por ejemplo, para el espacio de Minkowski, las simetrías son el grupo de Poincaré .
Un grupo de Lie que describe las simetrías (continuas) de grados de libertad internos. Se denota el álgebra de Lie correspondiente a través de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie . Esto se conoce como grupo de calibre .
Un paquete principal , también conocido como -torsor. Esto a veces se escribe como
¿Dónde está el mapa de proyección canónica y es la variedad base?
Aquí consideramos la conexión como una conexión principal . En la teoría de campos, esta conexión también se considera una derivada covariante cuya acción en varios campos se define más adelante.
Una conexión principal denotada es una forma 1 con valor en P que satisface las condiciones técnicas de 'proyección' y 'equivarianza correcta': los detalles se encuentran en el artículo de conexión principal.
En una trivialización, esto se puede escribir como un campo de calibre local , una forma de valor 1 en un parche de trivialización . Es esta forma local de conexión la que se identifica con los campos de calibre en física. Cuando el colector base es plano, existen simplificaciones que eliminan esta sutileza.
Un paquete de vectores asociado asociado al paquete principal a través de una representación
Para completar, dada una representación , la fibra de es .
Un campo o campo de materia es una sección de un paquete de vectores asociado. La colección de éstos, junto con los campos de calibre, es el contenido material de la teoría.
Un Lagrangiano : dado un haz de fibras , el Lagrangiano es una función .
Supongamos que el contenido de materia viene dado por secciones de fibra desde arriba. Entonces, por ejemplo, más concretamente podemos considerar que es un haz donde la fibra en es . Esto permite entonces ser visto como funcional de un campo.
Esto completa los requisitos matemáticos previos para una gran cantidad de teorías interesantes, incluidas las que se dan en la sección de ejemplos anterior.
Cuando la variedad base es plana, es decir, espacio ( pseudo- ) euclidiano , existen muchas simplificaciones útiles que hacen que las teorías sean menos difíciles de abordar conceptualmente.
Las simplificaciones provienen de la observación de que el espacio-tiempo plano es contráctil: entonces es un teorema en topología algebraica que cualquier haz de fibras sobre plano es trivial.
En particular, esto nos permite elegir una trivialización global de y, por lo tanto, identificar la conexión globalmente como un campo de calibre.
Además, existe una conexión trivial que nos permite identificar paquetes de vectores asociados como , y entonces no necesitamos ver los campos como secciones sino simplemente como funciones . En otras palabras, los paquetes de vectores en diferentes puntos son comparables. Además, para el espacio-tiempo plano, la conexión Levi-Civita es la conexión trivial en el haz de marcos .
Entonces, la derivada covariante del espacio-tiempo en campos tensoriales o tensoriales de espín es simplemente la derivada parcial en coordenadas planas. Sin embargo, la derivada covariante de calibre puede requerir una conexión no trivial que se considera el campo de calibre de la teoría.
En la curvatura gravitacional débil, el espacio-tiempo plano suele servir como una buena aproximación al espacio-tiempo débilmente curvado. Para experimentos, esta aproximación es buena. El modelo estándar se define en el espacio-tiempo plano y ha producido las pruebas de física de precisión más precisas hasta la fecha.
