Campo (física)

Magnitudes físicas que toman valores en cada punto del espacio y del tiempo.

Ilustración del campo eléctrico que rodea una carga positiva (roja) y negativa (azul).

En física , un campo es una cantidad física , representada por un escalar , vector o tensor , que tiene un valor para cada punto en el espacio y el tiempo . ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, en un mapa meteorológico, la temperatura de la superficie se describe asignando un número a cada punto del mapa; la temperatura se puede considerar en un momento determinado o durante algún intervalo de tiempo, para estudiar la dinámica del cambio de temperatura. Un mapa de viento en superficie, ^[4] que asigna una flecha a cada punto de un mapa que describe la velocidad y dirección del viento en ese punto, es un ejemplo de un campo vectorial , es decir, un campo tensorial unidimensional (rango 1). Las teorías de campo, descripciones matemáticas de cómo cambian los valores de campo en el espacio y el tiempo, son omnipresentes en la física. Por ejemplo, el campo eléctrico es otro campo tensor de rango 1, mientras que la electrodinámica se puede formular en términos de dos campos vectoriales que interactúan en cada punto del espacio-tiempo, o como un campo tensor de 2 rango único . ^{[5] [6] [7]}

En el marco moderno de la teoría cuántica de campos , incluso sin hacer referencia a una partícula de prueba, un campo ocupa espacio, contiene energía y su presencia excluye un "verdadero vacío" clásico. ^[8] Esto ha llevado a los físicos a considerar los campos electromagnéticos como una entidad física, haciendo del concepto de campo un paradigma de apoyo al edificio de la física moderna. "El hecho de que el campo electromagnético pueda poseer impulso y energía lo hace muy real... una partícula forma un campo, y un campo actúa sobre otra partícula, y el campo tiene propiedades tan familiares como el contenido de energía y el impulso, tal como las partículas pueden poseer impulso y energía. tener." ^[9] En la práctica, la intensidad de la mayoría de los campos disminuye con la distancia y eventualmente se vuelve indetectable. Por ejemplo, la intensidad de muchos campos clásicos relevantes, como el campo gravitacional en la teoría de la gravedad de Newton o el campo electrostático en el electromagnetismo clásico, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente (es decir, siguen la ley de Gauss ).

Un campo puede clasificarse como campo escalar , campo vectorial , campo espinor o campo tensor según si la cantidad física representada es un escalar , un vector , un espinor o un tensor , respectivamente. Un campo tiene un carácter tensorial consistente dondequiera que se defina: es decir, un campo no puede ser un campo escalar en algún lugar y un campo vectorial en otro lugar. Por ejemplo, el campo gravitacional newtoniano es un campo vectorial: para especificar su valor en un punto del espacio-tiempo se requieren tres números, los componentes del vector del campo gravitacional en ese punto. Además, dentro de cada categoría (escalar, vectorial, tensor), un campo puede ser un campo clásico o un campo cuántico , dependiendo de si está caracterizado por números u operadores cuánticos respectivamente. En esta teoría, una representación equivalente del campo es una partícula de campo , por ejemplo un bosón . ^[10]

Historia

Para Isaac Newton , su ley de gravitación universal simplemente expresaba la fuerza gravitacional que actuaba entre cualquier par de objetos masivos. Cuando se observa el movimiento de muchos cuerpos que interactúan entre sí, como los planetas del Sistema Solar , tratar la fuerza entre cada par de cuerpos por separado rápidamente se vuelve computacionalmente inconveniente. En el siglo XVIII se ideó una nueva cantidad para simplificar la contabilidad de todas estas fuerzas gravitacionales. Esta cantidad, el campo gravitacional , daba en cada punto del espacio la aceleración gravitacional total que sentiría un objeto pequeño en ese punto. Esto no cambió la física de ninguna manera: no importaba si todas las fuerzas gravitacionales sobre un objeto se calculaban individualmente y luego se sumaban, o si todas las contribuciones se sumaban primero como un campo gravitacional y luego se aplicaban a un objeto. ^[11]

El desarrollo del concepto independiente de campo realmente comenzó en el siglo XIX con el desarrollo de la teoría del electromagnetismo . En las primeras etapas, André-Marie Ampère y Charles-Augustin de Coulomb pudieron manejarse con leyes al estilo de Newton que expresaban las fuerzas entre pares de cargas eléctricas o corrientes eléctricas . Sin embargo, resultó mucho más natural adoptar el enfoque del campo y expresar estas leyes en términos de campos eléctricos y magnéticos ; En 1849, Michael Faraday fue el primero en acuñar el término "campo". ^[11]

La naturaleza independiente del campo se hizo más evidente con el descubrimiento de James Clerk Maxwell de que las ondas en estos campos, llamadas ondas electromagnéticas , se propagaban a una velocidad finita. En consecuencia, las fuerzas sobre cargas y corrientes ya no sólo dependían de las posiciones y velocidades de otras cargas y corrientes al mismo tiempo, sino también de sus posiciones y velocidades en el pasado. ^[11]

Maxwell, al principio, no adoptó el concepto moderno de campo como una cantidad fundamental que pudiera existir independientemente. En cambio, supuso que el campo electromagnético expresaba la deformación de algún medio subyacente (el éter luminífero ), muy parecido a la tensión en una membrana de goma. Si ese fuera el caso, la velocidad observada de las ondas electromagnéticas debería depender de la velocidad del observador con respecto al éter. A pesar de muchos esfuerzos, nunca se encontró evidencia experimental de tal efecto; la situación se resolvió con la introducción de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en 1905. Esta teoría cambió la forma en que se relacionaban entre sí los puntos de vista de los observadores en movimiento. Se relacionaron entre sí de tal manera que la velocidad de las ondas electromagnéticas en la teoría de Maxwell sería la misma para todos los observadores. Al eliminar la necesidad de un medio de fondo, este desarrollo abrió el camino para que los físicos comenzaran a pensar en los campos como entidades verdaderamente independientes. ^[11]

A finales de la década de 1920, las nuevas reglas de la mecánica cuántica se aplicaron por primera vez al campo electromagnético. En 1927, Paul Dirac utilizó campos cuánticos para explicar con éxito cómo la desintegración de un átomo a un estado cuántico inferior conducía a la emisión espontánea de un fotón , el cuanto del campo electromagnético. A esto pronto le siguió la comprensión (tras el trabajo de Pascual Jordan , Eugene Wigner , Werner Heisenberg y Wolfgang Pauli ) de que todas las partículas, incluidos los electrones y los protones , podían entenderse como los cuantos de algún campo cuántico, elevando los campos al estado de los objetos más fundamentales de la naturaleza. ^[11] Dicho esto, John Wheeler y Richard Feynman consideraron seriamente el concepto de acción a distancia anterior al campo de Newton (aunque lo dejaron de lado debido a la utilidad actual del concepto de campo para la investigación en relatividad general y electrodinámica cuántica ).

Campos clásicos

Hay varios ejemplos de campos clásicos . Las teorías de campos clásicas siguen siendo útiles allí donde no surgen propiedades cuánticas y pueden ser áreas activas de investigación. La elasticidad de los materiales, la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell son ejemplos de ello.

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectoriales. Históricamente, la primera vez que se tomaron en serio los campos fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . Luego se describió de manera similar el campo gravitacional .

gravitación newtoniana

En la gravitación clásica , la masa es la fuente de un campo gravitacional atractivo g .

Una teoría de campo clásica que describe la gravedad es la gravitación newtoniana , que describe la fuerza gravitacional como una interacción mutua entre dos masas .

Todo cuerpo de masa M está asociado a un campo gravitacional g que describe su influencia sobre otros cuerpos de masa. El campo gravitacional de M en un punto r en el espacio corresponde a la relación entre la fuerza F que M ejerce sobre una masa de prueba pequeña o insignificante m ubicada en r y la masa de prueba misma: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Estipular que m es mucho más pequeño que M asegura que la presencia de m tenga una influencia insignificante en el comportamiento de M.

Según la ley de gravitación universal de Newton , F ( r ) viene dada por ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

donde es un vector unitario que se encuentra a lo largo de la línea que une M y m y apunta de M a m . Por tanto, el campo gravitacional de M es ^[12] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales con un nivel de precisión sin precedentes lleva a la conclusión de que la intensidad del campo gravitacional es idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Éste es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Debido a que la fuerza gravitacional F es conservativa , el campo gravitacional g se puede reescribir en términos del gradiente de una función escalar, el potencial gravitacional Φ( r ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Electromagnetismo

Michael Faraday se dio cuenta por primera vez de la importancia de un campo como cantidad física durante sus investigaciones sobre el magnetismo . Se dio cuenta de que los campos eléctricos y magnéticos no son sólo campos de fuerza que dictan el movimiento de las partículas, sino que también tienen una realidad física independiente porque transportan energía.

Estas ideas finalmente llevaron a la creación, por parte de James Clerk Maxwell , de la primera teoría de campo unificado en física con la introducción de ecuaciones para el campo electromagnético . La versión moderna de estas ecuaciones se llama ecuaciones de Maxwell .

Electrostática

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. De manera similar podemos describir el campo eléctrico E de modo que F = q E . Usando esto y la ley de Coulomb nos dice que el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

El campo eléctrico es conservativo y, por tanto, puede describirse mediante un potencial escalar, V ( r ):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Magnetostática

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ creará un campo B, que ejerce una fuerza sobre las partículas cargadas en movimiento cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrita anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

donde B ( r ) es el campo magnético , que está determinado a partir de I por la ley de Biot-Savart :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

El campo magnético no es conservativo en general y, por tanto, normalmente no puede expresarse en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Los campos E y B se deben a cargas eléctricas (negro / blanco) y polos magnéticos (rojo/azul). ^{[13] [14]} Arriba: Campo E debido a un momento dipolar eléctrico d . Abajo a la izquierda: campo B debido a un dipolo magnético matemático m formado por dos monopolos magnéticos. Abajo a la derecha: campo B debido a un momento dipolar magnético puro m que se encuentra en la materia ordinaria ( no en los monopolos).

Electrodinámica

En general, en presencia de una densidad de carga ρ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y uno magnético, y ambos variarán en el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan directamente E y B con ρ y J. ^[15]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de sus potenciales escalares y vectoriales V y A. Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} y a partir de ahí se determinan los campos eléctrico y magnético mediante las relaciones ^[16]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

A finales del siglo XIX, el campo electromagnético se entendía como un conjunto de dos campos vectoriales en el espacio. Hoy en día, se reconoce esto como un único campo tensor antisimétrico de segundo rango en el espacio-tiempo.

Los campos E y B se deben a cargas eléctricas (negro / blanco) y polos magnéticos (rojo/azul). ^{[13] [14] Campos} E debidos a cargas eléctricas estacionarias y campos B debido a cargas magnéticas estacionarias (tenga en cuenta que en la naturaleza los monopolos N y S no existen). En movimiento ( velocidad v ), una carga eléctrica induce un campo B mientras que una carga magnética (que no se encuentra en la naturaleza) induciría un campo E. Se utiliza corriente convencional .

Gravitación en relatividad general

En la relatividad general , la masa-energía deforma el espacio-tiempo ( tensor G de Einstein ), ^[17] y las distribuciones asimétricas de masa-energía giratorias con momento angular J generan campos GEM H ^[18]

La teoría de la gravedad de Einstein, llamada relatividad general , es otro ejemplo de teoría de campo. Aquí el campo principal es el tensor métrico , un campo tensor simétrico de segundo rango en el espacio-tiempo . Esto reemplaza la ley de gravitación universal de Newton .

Olas como campos

Las ondas pueden construirse como campos físicos, debido a su velocidad de propagación finita y su naturaleza causal cuando se establece un modelo físico simplificado de un sistema cerrado aislado ^{[ se necesita aclaración ]} . También están sujetos a la ley del cuadrado inverso .

Para las ondas electromagnéticas, existen campos ópticos y términos como límites de difracción de campo cercano y lejano . Sin embargo, en la práctica, las teorías de campo de la óptica son reemplazadas por la teoría del campo electromagnético de Maxwell.

Campos cuánticos

Actualmente se cree que la mecánica cuántica debería ser la base de todos los fenómenos físicos, de modo que una teoría de campos clásica debería, al menos en principio, permitir una reformulación en términos de mecánica cuántica; el éxito produce la correspondiente teoría cuántica de campos . Por ejemplo, la cuantificación de la electrodinámica clásica da como resultado la electrodinámica cuántica . Podría decirse que la electrodinámica cuántica es la teoría científica de mayor éxito; Los datos experimentales confirman sus predicciones con mayor precisión (hasta dígitos más significativos ) que cualquier otra teoría. ^[19] Las otras dos teorías cuánticas de campos fundamentales son la cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil .

Campos debidos a cargas de color , como en los quarks ( G es el tensor de intensidad de campo de los gluones ). Estas son combinaciones "incoloras". Arriba: la carga de color tiene "estados neutros ternarios", así como neutralidad binaria (análoga a la carga eléctrica ). Abajo: Las combinaciones quark/antiquark. ^{[13] [14]}

En la cromodinámica cuántica, las líneas del campo de color están acopladas a distancias cortas mediante gluones , que están polarizados por el campo y se alinean con él. Este efecto aumenta en una distancia corta (alrededor de 1 fm desde la vecindad de los quarks), lo que hace que la fuerza del color aumente en una distancia corta, confinando a los quarks dentro de los hadrones . Como las líneas de campo están estrechamente unidas por los gluones, no se "arquean" hacia afuera tanto como un campo eléctrico entre cargas eléctricas. ^[20]

Estas tres teorías cuánticas de campos pueden derivarse como casos especiales del llamado modelo estándar de física de partículas . La relatividad general , la teoría de campo de la gravedad de Einstein, aún no se ha cuantificado con éxito. Sin embargo, una extensión, la teoría de campos térmicos , se ocupa de la teoría cuántica de campos a temperaturas finitas , algo que rara vez se considera en la teoría cuántica de campos.

En la teoría BRST se trata de campos impares, por ejemplo, los fantasmas de Faddeev-Popov . Existen diferentes descripciones de campos clásicos impares tanto en variedades graduadas como en supervariedades .

Como se indicó anteriormente con los campos clásicos, es posible abordar sus contrapartes cuánticas desde una visión puramente matemática utilizando técnicas similares a las anteriores. Las ecuaciones que gobiernan los campos cuánticos son, de hecho, PDE (específicamente, ecuaciones de ondas relativistas (RWE)). Por tanto, se puede hablar de los campos de Yang-Mills , Dirac , Klein-Gordon y Schrödinger como soluciones a sus respectivas ecuaciones. Un posible problema es que estos RWE pueden manejar objetos matemáticos complicados con propiedades algebraicas exóticas (por ejemplo, los espinores no son tensores , por lo que pueden necesitar cálculo para los campos de espinores ), pero en teoría aún pueden estar sujetos a métodos analíticos dada la generalización matemática adecuada .

teoría de campo

La teoría de campos generalmente se refiere a una construcción de la dinámica de un campo, es decir, una especificación de cómo un campo cambia con el tiempo o con respecto a otras variables físicas independientes de las que depende el campo. Por lo general, esto se hace escribiendo un lagrangiano o un hamiltoniano del campo y tratándolo como un sistema mecánico clásico o cuántico con un número infinito de grados de libertad . Las teorías de campos resultantes se denominan teorías de campos clásicas o cuánticas.

La dinámica de un campo clásico suele estar especificada por la densidad lagrangiana en términos de los componentes del campo; La dinámica se puede obtener utilizando el principio de acción .

Es posible construir campos simples sin ningún conocimiento previo de física utilizando únicamente matemáticas del cálculo multivariable , teoría de potenciales y ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Por ejemplo, las PDE escalares podrían considerar cantidades como campos de amplitud, densidad y presión para la ecuación de ondas y la dinámica de fluidos ; Campos de temperatura/concentración para las ecuaciones de calor / difusión . Fuera de la física propiamente dicha (por ejemplo, radiometría y gráficos por computadora), existen incluso campos de luz . Todos estos ejemplos anteriores son campos escalares . De manera similar, para los vectores, existen PDE vectoriales para campos de desplazamiento, velocidad y vorticidad en dinámica de fluidos (matemática aplicada), pero ahora es posible que se necesite además el cálculo vectorial, siendo el cálculo para campos vectoriales (al igual que estas tres cantidades, y las de las PDE vectoriales). en general). De manera más general, los problemas en mecánica continua pueden involucrar, por ejemplo, elasticidad direccional (de donde proviene el término tensor , derivado de la palabra latina para estiramiento), flujos de fluidos complejos o difusión anisotrópica , que se enmarcan como PDE matriz-tensor, y luego requieren matrices. o campos tensoriales, de ahí el cálculo matricial o tensorial . Los escalares (y por tanto los vectores, matrices y tensores) pueden ser reales o complejos, ya que ambos son campos en el sentido algebraico abstracto/ teórica de anillos .

En un entorno general, los campos clásicos se describen mediante secciones de haces de fibras y su dinámica se formula en términos de variedades de chorro ( teoría de campos clásica covariante ). ^[21]

En la física moderna , los campos más estudiados son aquellos que modelan las cuatro fuerzas fundamentales que algún día pueden conducir a la Teoría del Campo Unificado .

Simetrías de campos

Una forma conveniente de clasificar un campo (clásico o cuántico) es por las simetrías que posee. Las simetrías físicas suelen ser de dos tipos:

Simetrías del espacio-tiempo

Los campos suelen clasificarse por su comportamiento en transformaciones del espacio-tiempo . Los términos utilizados en esta clasificación son:

• Campos escalares (como la temperatura ) cuyos valores están dados por una única variable en cada punto del espacio. Este valor no cambia bajo transformaciones del espacio.
• Campos vectoriales (como la magnitud y dirección de la fuerza en cada punto de un campo magnético ) que se especifican adjuntando un vector a cada punto del espacio. Los componentes de este vector se transforman entre sí de forma contravariante bajo rotaciones en el espacio. De manera similar, un campo vectorial dual (o co) adjunta un vector dual a cada punto del espacio, y los componentes de cada vector dual se transforman covariantemente.
• campos tensoriales , (como el tensor de tensión de un cristal) especificados por un tensor en cada punto del espacio. Bajo rotaciones en el espacio, los componentes del tensor se transforman de una manera más general que depende del número de índices covariantes e índices contravariantes.
• Los campos de espinor (como el espinor de Dirac ) surgen en la teoría cuántica de campos para describir partículas con espín que se transforman como vectores excepto uno de sus componentes; en otras palabras, cuando uno gira un campo vectorial 360 grados alrededor de un eje específico, el campo vectorial gira hacia sí mismo; sin embargo, los espinores recurrirían a sus negativos en el mismo caso.

Simetrías internas

Los campos pueden tener simetrías internas además de simetrías espacio-temporales. En muchas situaciones, se necesitan campos que sean una lista de escalares de espacio-tiempo: (φ ₁ , φ ₂ , ... φ _N ). Por ejemplo, en la predicción del tiempo estos pueden ser la temperatura, la presión, la humedad, etc. En física de partículas , la simetría de color de la interacción de los quarks es un ejemplo de simetría interna, la de la interacción fuerte . Otros ejemplos son isospin , isospin débil , extrañeza y cualquier otra simetría de sabor .

Si existe una simetría del problema, que no involucra el espacio-tiempo, bajo la cual estos componentes se transforman entre sí, entonces este conjunto de simetrías se llama simetría interna . También se puede hacer una clasificación de las cargas de los campos según simetrías internas.

Teoría estadística de campos

La teoría estadística de campos intenta extender el paradigma de la teoría de campos hacia los sistemas de muchos cuerpos y la mecánica estadística . Como se indicó anteriormente, se puede abordar mediante el argumento habitual del número infinito de grados de libertad.

Al igual que la mecánica estadística tiene cierta superposición entre la mecánica cuántica y la clásica, la teoría estadística de campos tiene vínculos con las teorías de campos clásicas y cuánticas, especialmente la primera con la que comparte muchos métodos. Un ejemplo importante es la teoría del campo medio .

Campos aleatorios continuos

Los campos clásicos como el anterior, como el campo electromagnético , suelen ser funciones infinitamente diferenciables, pero en cualquier caso casi siempre son dos veces diferenciables. Por el contrario, las funciones generalizadas no son continuas. Cuando se trata cuidadosamente con campos clásicos a temperatura finita, se utilizan los métodos matemáticos de campos aleatorios continuos, porque los campos clásicos que fluctúan térmicamente no son diferenciables en ninguna parte . Los campos aleatorios son conjuntos indexados de variables aleatorias ; un campo aleatorio continuo es un campo aleatorio que tiene un conjunto de funciones como conjunto de índices. En particular, a menudo es matemáticamente conveniente tomar un campo aleatorio continuo para que tenga un espacio de funciones de Schwartz como conjunto de índices, en cuyo caso el campo aleatorio continuo es una distribución templada .

Podemos pensar en un campo aleatorio continuo, de manera (muy) aproximada, como una función ordinaria que está casi en todas partes, pero que cuando tomamos un promedio ponderado de todos los infinitos en cualquier región finita, obtenemos un resultado finito. Los infinitos no están bien definidos; pero los valores finitos se pueden asociar con las funciones utilizadas como funciones de peso para obtener los valores finitos, y eso puede estar bien definido. Podemos definir un campo aleatorio continuo bastante bien como un mapa lineal desde un espacio de funciones hasta los números reales . ${\displaystyle \pm \infty }$

Ver también

• Teoría de campos conforme
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes
• Campo de fuerza
• Especificación lagrangiana y euleriana de un campo
• Teoría de campos escalares
• Campo de velocidad

Notas

1. Esto depende de la elección correcta del calibre . V y A no están completamente determinados por ρ y J ; más bien, solo se determinan hasta alguna función escalar f ( r , t ) conocida como calibre. El formalismo potencial retardado requiere elegir el calibre de Lorenz .

Referencias

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Otras lecturas

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• Jepsen, Kathryn (18 de julio de 2013). "Charla real: Todo está hecho de campos" (PDF) . Revista Simetría .

enlaces externos

• Teorías de campos de partículas y polímeros