Ecuación de difusión

Ecuación que describe los cambios de densidad de un material que se difunde en un medio.

La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parcial parabólica . En física, describe el comportamiento macroscópico de muchas micropartículas en movimiento browniano , resultante de los movimientos aleatorios y las colisiones de las partículas (ver leyes de difusión de Fick ). En matemáticas, se relaciona con los procesos de Markov , como los paseos aleatorios , y se aplica en muchos otros campos, como la ciencia de los materiales , la teoría de la información y la biofísica . La ecuación de difusión es un caso especial de la ecuación de convección-difusión cuando la velocidad global es cero. Es equivalente a la ecuación del calor en algunas circunstancias.

Declaración

La ecuación generalmente se escribe como:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}$

donde ϕ ( r , t ) es la densidad del material en difusión en la ubicación r y el tiempo t y D ( ϕ , r ) es el coeficiente de difusión colectiva para la densidad ϕ en la ubicación r ; y ∇ representa el operador diferencial vectorial del . Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, entonces la ecuación no es lineal; en caso contrario, es lineal.

La ecuación anterior se aplica cuando el coeficiente de difusión es isotrópico ; en el caso de difusión anisotrópica, D es una matriz definida positiva simétrica y la ecuación se escribe (para difusión tridimensional) como:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}$

Si D es constante, entonces la ecuación se reduce a la siguiente ecuación diferencial lineal :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}$

que es idéntica a la ecuación del calor .

Origen histórico

La ecuación de difusión de partículas fue derivada originalmente por Adolf Fick en 1855. ^[1]

Derivación

La ecuación de difusión se puede derivar trivialmente de la ecuación de continuidad , que establece que un cambio en la densidad en cualquier parte del sistema se debe a la entrada y salida de material hacia y desde esa parte del sistema. Efectivamente, no se crea ni se destruye ningún material:

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

donde j es el flujo del material en difusión. La ecuación de difusión se puede obtener fácilmente a partir de esto cuando se combina con la primera ley fenomenológica de Fick , que establece que el flujo del material en difusión en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente de densidad local:

$${\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}$$

Si se debe tener en cuenta la deriva, la ecuación de Fokker-Planck proporciona una generalización adecuada.

Discretización

La ecuación de difusión es continua tanto en el espacio como en el tiempo. Se puede discretizar el espacio, el tiempo o tanto el espacio como el tiempo, que surgen en la aplicación. Discretizar el tiempo por sí solo corresponde a tomar porciones de tiempo del sistema continuo, y no surgen nuevos fenómenos. Al discretizar el espacio únicamente, la función de Green se convierte en el núcleo gaussiano discreto , en lugar del núcleo gaussiano continuo . Al discretizar tanto el tiempo como el espacio, se obtiene el paseo aleatorio .

Discretización (Imagen)

La regla del producto se utiliza para reescribir la ecuación de difusión del tensor anisotrópico, en esquemas de discretización estándar, porque la discretización directa de la ecuación de difusión con solo diferencias centrales espaciales de primer orden conduce a artefactos de tablero de ajedrez. La ecuación de difusión reescrita utilizada en el filtrado de imágenes:

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}}$$

donde "tr" denota la traza del tensor de segundo rango , y el superíndice " T " denota transpuesta , en la que en el filtrado de imágenes D ( ϕ , r ) son matrices simétricas construidas a partir de los vectores propios de los tensores de la estructura de la imagen . Las derivadas espaciales pueden entonces aproximarse mediante dos diferencias finitas centrales de primer orden y una de segundo orden . El algoritmo de difusión resultante se puede escribir como una convolución de imagen con un núcleo (plantilla) variable de tamaño 3 × 3 en 2D y 3 × 3 × 3 en 3D.

Ver también

• Ecuación de continuidad
• ecuación de calor
• Ecuación de Fokker-Planck
• Leyes de difusión de Fick
• Ecuación de Maxwell-Stefan
• Ecuación de transferencia radiativa y teoría de la difusión para el transporte de fotones en tejido biológico.
• Agilizar la difusión
• Solución numérica de la ecuación de convección-difusión.

Referencias

1. Fick, Adolf (1855). "Ueber Difusión". Annalen der Physik und Chemie . 170 (1): 59–86. Código bibliográfico : 1855AnP...170...59F. doi : 10.1002/andp.18551700105 . ISSN  0003-3804.

Otras lecturas

• Carslaw, HS y Jaeger, JC (1959). Conducción de calor en sólidos . Oxford: Prensa Clarendon
• Manivela, J. (1956). Las matemáticas de la difusión . Oxford: Prensa Clarendon
• Mateo, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.), Nueva York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 
• Thambynayagam, RK M (2011). El manual de difusión: soluciones aplicadas para ingenieros . McGraw Hill

enlaces externos

• Calculadora de difusión de impurezas y dopantes en silicio Archivado el 2 de mayo de 2009 en la Wayback Machine.
• Un tutorial sobre la teoría detrás y la solución de la ecuación de difusión.
• Difusión clásica y nanoescala (con figuras y animaciones)