Ecuación de continuidad

Ecuación que describe el transporte de alguna cantidad.

Una ecuación de continuidad o ecuación de transporte es una ecuación que describe el transporte de alguna cantidad. Es particularmente simple y poderoso cuando se aplica a una cantidad conservada , pero puede generalizarse para aplicarse a cualquier cantidad extensiva . Dado que la masa , la energía , el momento , la carga eléctrica y otras cantidades naturales se conservan en sus respectivas condiciones apropiadas, se pueden describir una variedad de fenómenos físicos utilizando ecuaciones de continuidad.

Las ecuaciones de continuidad son una forma local más fuerte de leyes de conservación . Por ejemplo, una versión débil de la ley de conservación de la energía establece que la energía no se puede crear ni destruir, es decir, que la cantidad total de energía en el universo es fija. Esta afirmación no descarta la posibilidad de que una cantidad de energía pueda desaparecer de un punto y aparecer simultáneamente en otro. Una afirmación más contundente es que la energía se conserva localmente : la energía no puede crearse ni destruirse, ni puede " teletransportarse " de un lugar a otro; sólo puede moverse mediante un flujo continuo. Una ecuación de continuidad es la forma matemática de expresar este tipo de afirmación. Por ejemplo, la ecuación de continuidad de la carga eléctrica establece que la cantidad de carga eléctrica en cualquier volumen de espacio sólo puede cambiar según la cantidad de corriente eléctrica que fluye hacia o desde ese volumen a través de sus límites.

De manera más general, las ecuaciones de continuidad pueden incluir términos de "fuente" y "sumidero", que les permiten describir cantidades que a menudo, pero no siempre, se conservan, como la densidad de una especie molecular que puede crearse o destruirse mediante reacciones químicas. En un ejemplo cotidiano, existe una ecuación de continuidad para el número de personas vivas; tiene un "término fuente" para dar cuenta de las personas que nacen y un "término sumidero" para dar cuenta de las personas que mueren.

Cualquier ecuación de continuidad se puede expresar en una "forma integral" (en términos de una integral de flujo ), que se aplica a cualquier región finita, o en una "forma diferencial" (en términos del operador de divergencia ) que se aplica en un punto.

Las ecuaciones de continuidad subyacen a ecuaciones de transporte más específicas, como la ecuación de convección-difusión , la ecuación de transporte de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes .

Los flujos regidos por ecuaciones de continuidad se pueden visualizar utilizando un diagrama de Sankey .

ecuación general

Definición de flujo

Una ecuación de continuidad es útil cuando se puede definir un flujo . Para definir el flujo, primero debe haber una cantidad q que pueda fluir o moverse, como masa , energía , carga eléctrica , momento , número de moléculas, etc. Sea ρ la densidad volumétrica de esta cantidad, es decir, la cantidad de q por unidad de volumen.

La forma en que fluye esta cantidad q se describe por su flujo. El flujo de q es un campo vectorial , que denotamos como j . A continuación se muestran algunos ejemplos y propiedades del fundente:

• La dimensión del flujo es "cantidad de q que fluye por unidad de tiempo, a través de una unidad de área". Por ejemplo, en la ecuación de continuidad de masa para agua que fluye, si 1 gramo por segundo de agua fluye a través de una tubería con un área de sección transversal de 1 cm ² , entonces el flujo de masa promedio j dentro de la tubería es (1 g/s) / cm ² , y su dirección es a lo largo de la tubería en la dirección en la que fluye el agua. Fuera de la tubería, donde no hay agua, el flujo es cero.
• Si hay un campo de velocidad u que describe el flujo relevante; en otras palabras, si toda la cantidad q en un punto x se mueve con velocidad u ( x ) , entonces el flujo es, por definición, igual a la densidad multiplicada por el campo de velocidad. :

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$$

Por ejemplo, si en la ecuación de continuidad de masa para el agua que fluye, u es la velocidad del agua en cada punto y ρ es la densidad del agua en cada punto, entonces j sería el flujo de masa, también conocido como descarga de material .

• En un ejemplo bien conocido, el flujo de carga eléctrica es la densidad de corriente eléctrica .

Ilustración de cómo los flujos, o densidades de flujo, j ₁ y j ₂ de una cantidad q pasan a través de superficies abiertas S ₁ y S ₂ . (Los vectores S ₁ y S ₂ representan áreas vectoriales que se pueden diferenciar en elementos de área infinitesimales).

• Si hay una superficie imaginaria S , entonces la integral de superficie del flujo sobre S es igual a la cantidad de q que pasa a través de la superficie S por unidad de tiempo:

${\displaystyle ({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }$

en la cual es una integral de superficie . ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$

(Tenga en cuenta que el concepto que aquí se denomina "flujo" se denomina alternativamente densidad de flujo en alguna literatura, en cuyo contexto "flujo" denota la integral de superficie de la densidad de flujo. Consulte el artículo principal sobre Flujo para obtener más detalles).

forma integral

La forma integral de la ecuación de continuidad establece que:

• La cantidad de q en una región aumenta cuando q adicional fluye hacia adentro a través de la superficie de la región, y disminuye cuando fluye hacia afuera;
• La cantidad de q en una región aumenta cuando se crea nuevo q dentro de la región y disminuye cuando q se destruye;
• Aparte de estos dos procesos, no hay otra forma de que cambie la cantidad de q en una región.

Matemáticamente, la forma integral de la ecuación de continuidad que expresa la tasa de aumento de q dentro de un volumen V es:

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma }$

En la forma integral de la ecuación de continuidad, S es cualquier superficie cerrada que encierra completamente un volumen V , como cualquiera de las superficies de la izquierda. S no puede ser una superficie con límites, como los de la derecha. (Las superficies son azules, los límites son rojos).

dónde

• S es cualquier superficie cerrada imaginaria , que encierra un volumen V ,
• ${\displaystyle \oint _{S}d\mathbf {S} }$denota una integral de superficie sobre esa superficie cerrada,
• q es la cantidad total de la cantidad en el volumen V ,
• j es el flujo de q ,
• es hora,
• Σ es la tasa neta a la que q se genera dentro del volumen V por unidad de tiempo. Cuando se genera q , se llama fuente de q y hace que Σ sea más positivo. Cuando q se destruye, se llama sumidero de q y hace que Σ sea más negativo. Este término a veces se escribe como el cambio total de q desde su generación o destrucción dentro del volumen de control. ${\displaystyle dq/dt|_{\text{gen}}}$

En un ejemplo sencillo, V podría ser un edificio y q podría ser el número de personas en el edificio. La superficie S estaría formada por las paredes, puertas, techo y cimientos del edificio. Entonces, la ecuación de continuidad establece que el número de personas en el edificio aumenta cuando las personas entran al edificio (un flujo hacia adentro a través de la superficie), disminuye cuando las personas salen del edificio (un flujo hacia afuera a través de la superficie), aumenta cuando alguien en el edificio cede nacimiento (una fuente, Σ > 0 ), y disminuye cuando alguien en el edificio muere (un sumidero, Σ < 0 ).

forma diferencial

Según el teorema de la divergencia , una ecuación de continuidad general también se puede escribir en "forma diferencial":

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma }$

dónde

• ∇⋅ es divergencia ,
• ρ es la densidad de la cantidad q (es decir, la cantidad q por unidad de volumen),
• j es la densidad de flujo de q (es decir, j = ρ v , donde v es el campo vectorial que describe el movimiento de la cantidad q ),
• es hora,
• σ es la generación de q por unidad de volumen por unidad de tiempo. Los términos que generan q (es decir, σ > 0 ) o eliminan q (es decir, σ < 0 ) se denominan "fuentes" y "sumideros" respectivamente.

Esta ecuación general se puede utilizar para derivar cualquier ecuación de continuidad, desde tan simple como la ecuación de continuidad del volumen hasta tan complicada como las ecuaciones de Navier-Stokes . Esta ecuación también generaliza la ecuación de advección . Otras ecuaciones en física, como la ley del campo eléctrico de Gauss y la ley de Gauss para la gravedad , tienen una forma matemática similar a la ecuación de continuidad, pero generalmente no se las denomina "ecuación de continuidad", porque j en esos casos no representan el flujo de una cantidad física real.

En el caso de que q sea una cantidad conservada que no se puede crear ni destruir (como la energía ), σ = 0 y las ecuaciones quedan:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$$

Electromagnetismo

En teoría electromagnética , la ecuación de continuidad es una ley empírica que expresa la conservación de la carga (local) . Matemáticamente es una consecuencia automática de las ecuaciones de Maxwell , aunque la conservación de la carga es más fundamental que las ecuaciones de Maxwell. Afirma que la divergencia de la densidad de corriente J (en amperios por metro cuadrado) es igual a la tasa de cambio negativa de la densidad de carga ρ (en culombios por metro cúbico),

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

Consistencia con las ecuaciones de Maxwell.

Una de las ecuaciones de Maxwell , la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) , establece que

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}$$

Tomando la divergencia de ambos lados (la divergencia y la derivada parcial en el tiempo conmutado) se obtiene

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},}$$

pero la divergencia de un rizo es cero, de modo que

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.}$$

Pero la ley de Gauss (otra ecuación de Maxwell), establece que

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,}$$

que se puede sustituir en la ecuación anterior para producir la ecuación de continuidad

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$$

La corriente es el movimiento de carga. La ecuación de continuidad dice que si la carga sale de un volumen diferencial (es decir, la divergencia de la densidad de corriente es positiva), entonces la cantidad de carga dentro de ese volumen disminuirá, por lo que la tasa de cambio de la densidad de carga es negativa. Por tanto, la ecuación de continuidad equivale a una conservación de carga.

Si existen monopolos magnéticos , también habría una ecuación de continuidad para las corrientes monopolares; consulte el artículo sobre monopolos para conocer los antecedentes y la dualidad entre las corrientes eléctricas y magnéticas.

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la ecuación de continuidad establece que la velocidad a la que la masa entra en un sistema es igual a la velocidad a la que la masa sale del sistema más la acumulación de masa dentro del sistema. ^{[1] [2]} La forma diferencial de la ecuación de continuidad es: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

• ρ es la densidad del fluido ,
• es hora,
• u es el campo vectorial de velocidad del flujo .

La derivada del tiempo puede entenderse como la acumulación (o pérdida) de masa en el sistema, mientras que el término de divergencia representa la diferencia entre el flujo de entrada y el flujo de salida. En este contexto, esta ecuación también es una de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) . Las ecuaciones de Navier-Stokes forman una ecuación de continuidad vectorial que describe la conservación del momento lineal .

Si el fluido es incompresible (la tasa de deformación volumétrica es cero), la ecuación de continuidad de masa se simplifica a una ecuación de continuidad de volumen: ^[3]

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

divergencia

Visión por computador

En visión por computadora , el flujo óptico es el patrón de movimiento aparente de los objetos en una escena visual. Suponiendo que el brillo del objeto en movimiento no cambió entre dos cuadros de imagen, se puede derivar la ecuación del flujo óptico como:

$${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0}$$

• es hora,
• coordenadas x , y en la imagen,
• I es la intensidad de la imagen en las coordenadas de la imagen ( x , y ) y el tiempo t ,
• V es el vector de velocidad del flujo ópticoen la coordenada de la imagen ( x , y ) y el tiempo t ${\displaystyle (V_{x},V_{y})}$

Energía y calor

La conservación de la energía dice que la energía no se puede crear ni destruir. (Consulte a continuación los matices asociados con la relatividad general). Por lo tanto, existe una ecuación de continuidad para el flujo de energía:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0}$$

• u , densidad de energía local (energía por unidad de volumen),
• q , flujo de energía (transferencia de energía por unidad de área de sección transversal por unidad de tiempo) como vector,

Un ejemplo práctico importante es el flujo de calor . Cuando el calor fluye dentro de un sólido, la ecuación de continuidad se puede combinar con la ley de Fourier (el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura) para llegar a la ecuación del calor . La ecuación del flujo de calor también puede tener términos fuente: aunque la energía no se puede crear ni destruir, se puede generar calor a partir de otros tipos de energía, por ejemplo mediante fricción o calentamiento en julios .

Distribuciones de probabilidad

Si hay una cantidad que se mueve continuamente según un proceso estocástico (aleatorio), como la ubicación de una sola molécula disuelta con movimiento browniano , entonces existe una ecuación de continuidad para su distribución de probabilidad . El flujo en este caso es la probabilidad por unidad de área por unidad de tiempo de que la partícula atraviese una superficie. Según la ecuación de continuidad, la divergencia negativa de este flujo es igual a la tasa de cambio de la densidad de probabilidad . La ecuación de continuidad refleja el hecho de que la molécula siempre está en algún lugar (la integral de su distribución de probabilidad es siempre igual a 1) y que se mueve con un movimiento continuo (sin teletransportarse ).

Mecánica cuántica

La mecánica cuántica es otro dominio donde existe una ecuación de continuidad relacionada con la conservación de la probabilidad . Los términos de la ecuación requieren las siguientes definiciones y son un poco menos obvios que los otros ejemplos anteriores, por lo que se describen aquí:

• La función de onda Ψ para una sola partícula en el espacio de posición (en lugar de espacio de momento ), es decir, una función de la posición r y el tiempo t , Ψ = Ψ( r , t ) .
• La función de densidad de probabilidad es
  $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.}$$
• La probabilidad de encontrar la partícula dentro de V en t se denota y define por
  $${\displaystyle P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.}$$
• La corriente de probabilidad (flujo de probabilidad) es
  $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].}$$

Con estas definiciones la ecuación de continuidad queda:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.}$$

Se puede citar cualquier forma. Intuitivamente, las cantidades anteriores indican que esto representa el flujo de probabilidad. La posibilidad de encontrar la partícula en alguna posición r y tiempo t fluye como un fluido ; de ahí el término probabilidad actual , un campo vectorial . La propia partícula no fluye de forma determinista en este campo vectorial .

Coherencia con la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y su conjugado complejo ( i → − i en todas partes) son respectivamente: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}}$$

donde U es la función potencial . La derivada parcial de ρ con respecto a t es:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.}$$

Multiplicando la ecuación de Schrödinger por Ψ* y luego resolviendo para Ψ*∂Ψ/∂t​, y de manera similar multiplicar la compleja ecuación de Schrödinger conjugada por Ψ y luego resolver para Ψ∂Ψ*/∂t​;

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}}$$

sustituyendo en la derivada temporal de ρ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}}$$

Los operadores laplacianos ( ∇ ² ) en el resultado anterior sugieren que el lado derecho es la divergencia de j , y el orden inverso de los términos implica que esto es el negativo de j , en total:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

entonces la ecuación de continuidad es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}}$$

La forma integral sigue como para la ecuación general.

Semiconductor

El flujo de corriente total en el semiconductor consiste en corriente de deriva y corriente de difusión tanto de los electrones en la banda de conducción como de los huecos en la banda de valencia.

Forma general para electrones en una dimensión:

$${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})}$$

• n es la concentración local de electrones
• ${\displaystyle \mu _{n}}$es la movilidad de electrones
• E es el campo eléctrico en la región de agotamiento.
• D _n es el coeficiente de difusión de los electrones.
• G _n es la tasa de generación de electrones.
• R _n es la tasa de recombinación de electrones.

De manera similar, para los agujeros:

$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})}$$

• p es la concentración local de agujeros
• ${\displaystyle \mu _{p}}$es la movilidad del agujero
• E es el campo eléctrico en la región de agotamiento.
• D _p es el coeficiente de difusión para los agujeros.
• G _p es la tasa de generación de agujeros.
• R _p es la tasa de recombinación de agujeros.

Derivación

Esta sección presenta una derivación de la ecuación anterior para electrones. Se puede encontrar una derivación similar para la ecuación de los agujeros.

Considere el hecho de que el número de electrones se conserva en un volumen de material semiconductor con área de sección transversal, A , y longitud, dx , a lo largo del eje x . Más precisamente, se puede decir:

$${\displaystyle {\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}}$$

Matemáticamente, esta igualdad se puede escribir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}}$$

J

La densidad de corriente total de electrones es la suma de las densidades de corriente de deriva y de difusión:

$${\displaystyle J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}}$$

Por lo tanto, tenemos

$${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})}$$

La aplicación de la regla del producto da como resultado la expresión final:

$${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})}$$

Solución

La clave para resolver estas ecuaciones en dispositivos reales es, siempre que sea posible, seleccionar regiones en las que la mayoría de los mecanismos sean insignificantes para que las ecuaciones se reduzcan a una forma mucho más simple.

Versión relativista

Relatividad especial

La notación y las herramientas de la relatividad especial , especialmente la de 4 vectores y 4 gradientes , ofrecen una manera conveniente de escribir cualquier ecuación de continuidad.

La densidad de una cantidad ρ y su corriente j se pueden combinar en un 4 vectores llamado 4 corrientes :

$${\displaystyle J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)}$$

cvelocidad de la luzdivergencia

$${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j} }$$

∂ _μgradiente 4μíndicedimensión del espacio-tiempo

$${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$$

invariante de Lorentz

Ejemplos de ecuaciones de continuidad escritas a menudo en esta forma incluyen la conservación de la carga eléctrica.

$${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$$

Jde 4 corrientes

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0}$$

Ttensor tensión-energía

Relatividad general

En la relatividad general , donde el espacio-tiempo es curvo, la ecuación de continuidad (en forma diferencial) para energía, carga u otras cantidades conservadas implica la divergencia covariante en lugar de la divergencia ordinaria.

Por ejemplo, el tensor tensión-energía es un campo tensor de segundo orden que contiene densidades de energía-momento, flujos de energía-momento y tensiones cortantes, de una distribución masa-energía. La forma diferencial de conservación de energía-momento en la relatividad general establece que la divergencia covariante del tensor de tensión-energía es cero:

$${\displaystyle {T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.}$$

Ésta es una limitación importante en la forma que adoptan las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general . ^[5]

Sin embargo, la divergencia ordinaria del tensor tensión-energía no necesariamente desaparece: ^[6]

$${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },}$$

El lado derecho desaparece estrictamente solo para una geometría plana.

Como consecuencia, la forma integral de la ecuación de continuidad es difícil de definir y no necesariamente válida para una región dentro de la cual el espacio-tiempo está significativamente curvado (por ejemplo, alrededor de un agujero negro o en todo el universo). ^[7]

Partículas fisicas

Los quarks y gluones tienen carga de color , que siempre se conserva como carga eléctrica, y existe una ecuación de continuidad para tales corrientes de carga de color (las expresiones explícitas para las corrientes se dan en el tensor de intensidad de campo de los gluones ).

Hay muchas otras cantidades en física de partículas que a menudo o siempre se conservan: número bariónico (proporcional al número de quarks menos el número de antiquarks), número de electrones, número mu, número tau , isospin y otros. ^[8] Cada uno de estos tiene una ecuación de continuidad correspondiente, que posiblemente incluya términos de fuente/sumidero.

teorema de noether

Una de las razones por las que las ecuaciones de conservación aparecen con frecuencia en física es el teorema de Noether . Esto establece que siempre que las leyes de la física tienen una simetría continua , existe una ecuación de continuidad para alguna cantidad física conservada. Los tres ejemplos más famosos son:

• Las leyes de la física son invariantes con respecto a la traslación del tiempo ; por ejemplo, las leyes de la física de hoy son las mismas que las de ayer. Esta simetría conduce a la ecuación de continuidad para la conservación de la energía .
• Las leyes de la física son invariantes con respecto a la traslación espacial; por ejemplo, las leyes de la física en Brasil son las mismas que las leyes de la física en Argentina. Esta simetría conduce a la ecuación de continuidad para la conservación del impulso .
• Las leyes de la física son invariantes con respecto a la orientación; por ejemplo, al flotar en el espacio exterior, no hay ninguna medida que puedas hacer para decir "en qué dirección está arriba"; las leyes de la física son las mismas independientemente de cómo estés orientado. Esta simetría conduce a la ecuación de continuidad para la conservación del momento angular .

Ver también

• Ecuación de onda unidireccional
• ley de conservacion
• Formulario de conservación
• Sistema disipativo

Referencias

1. Pedlosky, José (1987). Dinámica de fluidos geofísicos. Saltador . págs. 10-13. ISBN 978-0-387-96387-7.
2. Clancy, LJ (1975), Aerodinámica , Sección 3.3, Pitman Publishing Limited, Londres
3. Fielding, Suzanne. "Los conceptos básicos de la dinámica de fluidos" (PDF) . Universidad de Durham . Consultado el 22 de diciembre de 2019 .
4. Para esta derivación, consulte, por ejemplo, McMahon, D. (2006). "Mecánica cuántica desmitificada" . McGraw-Hill. ISBN 0-07-145546-9.
5. D. McMahon (2006). Relatividad desmitificada . McGraw Hill (Estados Unidos). ISBN 0-07-145545-0.
6. CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
7. Michael Weiss; Juan Báez. "¿Se conserva la energía en la relatividad general?" . Consultado el 25 de abril de 2014 .
8. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.

Otras lecturas

• Cordero, H. (2006) [1932]. Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Griffiths, DJ (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Pearson Education Inc. ISBN 81-7758-293-3.
• Grant, ES; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Serie de Física de Manchester (2ª ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
• Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.