Flujo incompresible

Flujo de fluido en el que la densidad permanece constante.

En mecánica de fluidos , o más generalmente en mecánica continua , el flujo incompresible ( flujo isocórico ) se refiere a un flujo en el que la densidad del material es constante dentro de una porción de fluido : un volumen infinitesimal que se mueve con la velocidad del flujo . Una afirmación equivalente que implica incompresibilidad es que la divergencia de la velocidad del flujo es cero (consulte la derivación a continuación, que ilustra por qué estas condiciones son equivalentes).

El flujo incompresible no implica que el fluido en sí sea incompresible. En la derivación siguiente se muestra que (bajo las condiciones adecuadas) incluso los fluidos compresibles pueden, en una buena aproximación, modelarse como un flujo incompresible.

Derivación

El requisito fundamental para un flujo incompresible es que la densidad, , sea constante dentro de un pequeño volumen de elemento, dV , que se mueve a la velocidad del flujo u . Matemáticamente, esta restricción implica que la derivada material (que se analiza más adelante) de la densidad debe desaparecer para garantizar un flujo incompresible. Antes de introducir esta restricción, debemos aplicar la conservación de la masa para generar las relaciones necesarias. La masa se calcula mediante una integral de volumen de la densidad ,: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

La conservación de la masa requiere que la derivada temporal de la masa dentro de un volumen de control sea igual al flujo de masa, J , a través de sus límites. Matemáticamente, podemos representar esta restricción en términos de una integral de superficie :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

El signo negativo en la expresión anterior asegura que el flujo hacia afuera resulta en una disminución de la masa con respecto al tiempo, usando la convención de que el vector de área de superficie apunta hacia afuera. Ahora, usando el teorema de la divergencia podemos derivar la relación entre el flujo y la derivada temporal parcial de la densidad:

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

por lo tanto:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

No es necesario que la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo desaparezca para garantizar un flujo incompresible . Cuando hablamos de la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo, nos referimos a esta tasa de cambio dentro de un volumen de control de posición fija . Al permitir que la derivada temporal parcial de la densidad sea distinta de cero, no nos limitamos a fluidos incompresibles , porque la densidad puede cambiar cuando se observa desde una posición fija a medida que el fluido fluye a través del volumen de control. Este enfoque mantiene la generalidad y no requiere que la derivada temporal parcial de la densidad desaparezca, lo que ilustra que los fluidos compresibles aún pueden experimentar un flujo incompresible. Lo que nos interesa es el cambio en la densidad de un volumen de control que se mueve junto con la velocidad del flujo, u . El flujo está relacionado con la velocidad del flujo mediante la siguiente función:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

De modo que la conservación de la masa implica que:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

La relación anterior (donde hemos utilizado la regla del producto adecuada ) se conoce como ecuación de continuidad . Ahora, necesitamos la siguiente relación sobre la derivada total de la densidad (donde aplicamos la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Entonces, si elegimos un volumen de control que se mueve al mismo ritmo que el fluido (es decir, ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), entonces esta expresión se simplifica a la derivada material :

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

Y entonces, usando la ecuación de continuidad derivada anteriormente, vemos que:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

Un cambio en la densidad a lo largo del tiempo implicaría que el fluido se había comprimido o expandido (o que la masa contenida en nuestro volumen constante, dV , había cambiado), lo cual hemos prohibido. Entonces debemos exigir que la derivada material de la densidad desaparezca y, de manera equivalente (para densidad distinta de cero), también debe hacerlo la divergencia de la velocidad del flujo:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

Y así, comenzando con la conservación de la masa y la restricción de que la densidad dentro de un volumen de fluido en movimiento permanezca constante, se ha demostrado que una condición equivalente requerida para un flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo desaparezca.

Relación con la compresibilidad

En algunos campos, una medida de la incompresibilidad de un flujo es el cambio de densidad como resultado de las variaciones de presión. Esto se expresa mejor en términos de compresibilidad.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

Si la compresibilidad es aceptablemente pequeña, el flujo se considera incompresible.

Relación con el campo solenoidal

Un flujo incompresible se describe mediante un campo de velocidad de flujo solenoidal . Pero un campo solenoidal, además de tener una divergencia cero, también tiene la connotación adicional de tener una curvatura distinta de cero (es decir, un componente rotacional).

De lo contrario, si un flujo incompresible también tiene una curvatura de cero, de modo que también es irrotacional , entonces el campo de velocidad del flujo es en realidad laplaciano .

Diferencia del material

Como se definió anteriormente, un flujo incompresible (isocórico) es aquel en el que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

Esto equivale a decir que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

es decir, la derivada material de la densidad es cero. Así, si se sigue un elemento material, su densidad de masa permanece constante. Tenga en cuenta que la derivada material consta de dos términos. El primer término describe cómo la densidad del elemento material cambia con el tiempo. Este término también se conoce como término inestable . El segundo término describe los cambios en la densidad a medida que el elemento material se mueve de un punto a otro. Este es el término de advección (término de convección para campo escalar). Para que se considere que un flujo tiene incompresibilidad, la suma de acreción de estos términos debe desaparecer. ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

Por otro lado, un material homogéneo e incompresible es aquel que tiene una densidad constante en todas partes. Para tal material, . Esto implica que, ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$y

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ independientemente .

De la ecuación de continuidad se deduce que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Así, los materiales homogéneos siempre experimentan un flujo que es incompresible, pero lo contrario no es cierto. Es decir, es posible que los materiales compresibles no experimenten compresión en el flujo.

Restricciones de flujo relacionadas

En dinámica de fluidos, un flujo se considera incompresible si la divergencia de la velocidad del flujo es cero. Sin embargo, a veces se pueden utilizar formulaciones relacionadas, dependiendo del sistema de flujo que se esté modelando. Algunas versiones se describen a continuación:

1. Flujo incompresible : . Esto puede asumir una densidad constante (estrictamente incompresible) o un flujo de densidad variable. El conjunto de densidad variable acepta soluciones que involucran pequeñas perturbaciones en los campos de densidad , presión y/o temperatura, y puede permitir la estratificación de presión en el dominio. ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. Flujo anelástico : . Utilizada principalmente en el campo de las ciencias atmosféricas , la restricción anelástica extiende la validez del flujo incompresible a la densidad y/o temperatura estratificadas, así como a la presión. Esto permite que las variables termodinámicas se relajen hasta un estado base "atmosférico" que se observa en la atmósfera inferior cuando se utiliza en el campo de la meteorología, por ejemplo. Esta condición también se puede utilizar para varios sistemas astrofísicos. ^[1] ${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. Flujo con número de Mach bajo o pseudoincompresibilidad : . La restricción del número de Mach bajo se puede derivar de las ecuaciones de Euler comprimibles utilizando análisis de escala de cantidades adimensionales. La restricción, como la anterior en esta sección, permite la eliminación de ondas acústicas, pero también permite grandes perturbaciones en la densidad y/o temperatura. Se supone que el flujo permanece dentro de un límite del número de Mach (normalmente inferior a 0,3) para que cualquier solución que utilice dicha restricción sea válida. De nuevo, en todos los flujos incompresibles la desviación de presión debe ser pequeña en comparación con el estado base de presión. ^[2] ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

Estos métodos hacen diferentes suposiciones sobre el flujo, pero todos tienen en cuenta la forma general de la restricción para funciones dependientes del flujo general y . ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Aproximaciones numéricas

La naturaleza estricta de las ecuaciones de flujo incompresibles significa que se han ideado técnicas matemáticas específicas para resolverlas. Algunos de estos métodos incluyen:

1. El método de proyección (tanto aproximado como exacto)
2. Técnica de compresibilidad artificial (aproximada)
3. Precondicionamiento de compresibilidad

Ver también

• El principio de Bernoulli
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Ecuaciones de Navier-Stokes

Referencias

1. Durran, DR (1989). "Mejora de la aproximación anelástica" (PDF) . Revista de Ciencias Atmosféricas . 46 (11): 1453-1461. Código bibliográfico : 1989JAtS...46.1453D. doi :10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN  1520-0469.^{[ enlace muerto ]}
2. Almgren, AS; Bell, JB; Rendleman, California; Zingale, M. (2006). "Modelado de bajo número de Mach de supernovas de tipo Ia. I. Hidrodinámica" (PDF) . Revista Astrofísica . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Código Bib : 2006ApJ...637..922A. doi :10.1086/498426. Archivado desde el original (PDF) el 31 de octubre de 2008 . Consultado el 4 de diciembre de 2008 .