Función gaussiana

Función matemática

En matemáticas , una función gaussiana , a menudo denominada simplemente como gaussiana , es una función de la forma base y con extensión paramétrica para constantes reales arbitrarias a , b y c no nulas . Recibe su nombre del matemático Carl Friedrich Gauss . El gráfico de una gaussiana tiene una forma característica de " curva de campana " simétrica . El parámetro a es la altura del pico de la curva, b es la posición del centro del pico y c (la desviación estándar , a veces llamada ancho RMS gaussiano ) controla el ancho de la "campana". $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$

Las funciones gaussianas se utilizan a menudo para representar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida normalmente con un valor esperado μ = b y una varianza σ ² = c ² . En este caso, la función gaussiana tiene la forma ^[1]

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

Las funciones gaussianas se utilizan ampliamente en estadística para describir distribuciones normales , en procesamiento de señales para definir filtros gaussianos , en procesamiento de imágenes donde se utilizan gaussianas bidimensionales para desenfoques gaussianos , y en matemáticas para resolver ecuaciones de calor y ecuaciones de difusión y para definir la transformada de Weierstrass .

Propiedades

Las funciones gaussianas surgen al componer la función exponencial con una función cuadrática cóncava : donde $${\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),}$$

• ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2},}$
• ${\displaystyle \beta =b/c^{2},}$
• ${\displaystyle \gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

(Nota: en , no debe confundirse con ) ${\displaystyle a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})}$ ${\displaystyle \ln a}$ ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2}}$

Las funciones gaussianas son entonces aquellas funciones cuyo logaritmo es una función cuadrática cóncava.

El parámetro c está relacionado con el ancho total a la mitad del máximo (FWHM) del pico según

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

La función puede entonces expresarse en términos de la FWHM, representada por w : $${\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}$$

Alternativamente, el parámetro c puede interpretarse diciendo que los dos puntos de inflexión de la función ocurren en x = b ± c .

El ancho total en décima parte del máximo (FWTM) para una gaussiana podría ser de interés y es $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

Las funciones gaussianas son analíticas y su límite cuando x → ∞ es 0 (para el caso anterior de b = 0 ).

Las funciones gaussianas se encuentran entre aquellas funciones que son elementales pero carecen de antiderivadas elementales ; la integral de la función gaussiana es la función de error :

$${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

Sin embargo, sus integrales impropias sobre toda la línea real se pueden evaluar exactamente, utilizando la integral gaussiana y se obtiene $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$$

Curvas gaussianas normalizadas con valor esperado μ y varianza σ ² . Los parámetros correspondientes son b = μ y c = σ . ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$

Esta integral es 1 si y solo si (la constante normalizadora ), y en este caso la gaussiana es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida normalmente con valor esperado μ = b y varianza σ ² = c ² : ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$ $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

Estas gaussianas se representan gráficamente en la figura adjunta.

Las funciones gaussianas centradas en cero minimizan el principio de incertidumbre de Fourier ^{[ aclaración necesaria ]} .

El producto de dos funciones gaussianas es una función gaussiana, y la convolución de dos funciones gaussianas también es una función gaussiana, siendo la varianza la suma de las varianzas originales: . Sin embargo, el producto de dos funciones de densidad de probabilidad (PDF) gaussianas no es, en general, una PDF gaussiana. ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

Tomando la transformada de Fourier (convención unitaria de frecuencia angular) de una función gaussiana con parámetros a = 1 , b = 0 y c se obtiene otra función gaussiana, con parámetros , b = 0 y . ^[2] Así, en particular, las funciones gaussianas con b = 0 y se mantienen fijas por la transformada de Fourier (son funciones propias de la transformada de Fourier con valor propio 1). Una realización física es la del patrón de difracción : por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmitancia tiene una variación gaussiana también es una función gaussiana. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle c=1}$

El hecho de que la función gaussiana sea una función propia de la transformada continua de Fourier nos permite derivar la siguiente identidad interesante ^{[ aclaración necesaria ] a partir de la} fórmula de suma de Poisson : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

Integral de una función gaussiana

La integral de una función gaussiana arbitraria es $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

Una forma alternativa es donde f debe ser estrictamente positiva para que la integral converja. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}$$

Relación con la integral gaussiana estándar

La integral de algunas constantes reales a , b y c > 0 se puede calcular poniéndola en forma de una integral gaussiana . Primero, la constante a se puede simplemente factorizar de la integral. A continuación, la variable de integración se cambia de x a y = x − b : y luego a : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx}$$ $${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,}$$ ${\displaystyle z=y/{\sqrt {2c^{2}}}}$ $${\displaystyle a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}$$

Luego, utilizando la identidad integral gaussiana $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}$$

tenemos $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.}$$

Función gaussiana bidimensional

Gráfico 3D de una función gaussiana con un dominio bidimensional

Forma base: $${\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})}$$

En dos dimensiones, la potencia a la que se eleva e en la función gaussiana es cualquier forma cuadrática definida negativamente. En consecuencia, los conjuntos de niveles de la función gaussiana siempre serán elipses.

Un ejemplo particular de una función gaussiana bidimensional es $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

Aquí el coeficiente A es la amplitud, x ₀ ,  y ₀ es el centro, y σ _x ,  σ _y son las extensiones x e y de la mancha. La figura de la derecha se creó utilizando A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.

El volumen bajo la función gaussiana está dado por $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

En general, una función gaussiana elíptica bidimensional se expresa como donde la matriz es definida positiva . $${\displaystyle f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$

Usando esta formulación, la figura de la derecha se puede crear usando A = 1 , ( x ₀ , y ₀ ) = (0, 0) , a = c = 1/2 , b = 0 .

Significado de los parámetros de la ecuación general

Para la forma general de la ecuación, el coeficiente A es la altura del pico y ( x ₀ , y ₀ ) es el centro de la mancha.

Si lo establecemos , rotamos el blob en un ángulo positivo en sentido antihorario (para una rotación negativa en el sentido de las agujas del reloj, invertimos los signos en el coeficiente b ). ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta }$

Para recuperar los coeficientes , y de , y utilizar ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$

En los siguientes ejemplos se pueden ver ejemplos de rotaciones de manchas gaussianas:

Usando el siguiente código de Octave , uno puede ver fácilmente el efecto de cambiar los parámetros:

A  =  1 ; x0  =  0 ;  y0  =  0 ;sigma_X  =  1 ; sigma_Y  =  2 ;[ X ,  Y ]  =  malla ( - 5 :. 1 : 5 ,  - 5 :. 1 : 5 );para  theta  =  0 : pi / 100 : pi  a  =  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  sen ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 );  b  =  sen ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_X ^ 2 )  -  sen ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_Y ^ 2 );  c  =  sen ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 ); Z  =  A  *  exp ( - ( a  *  ( X  -  x0 ) .^ 2  +  2  *  b  *  ( X  -  x0 )  .*  ( Y  -  y0 )  +  c  *  ( Y  -  y0 ) .^ 2 )); surf ( X ,  Y ,  Z )  ; sombreado  interp ;  vista ( -36 , 36 ) esperarapretarboton fin  

Estas funciones se utilizan a menudo en el procesamiento de imágenes y en modelos computacionales del funcionamiento del sistema visual (consulte los artículos sobre espacio de escala y adaptación de forma afín) .

Véase también distribución normal multivariada .

Función gaussiana de orden superior o supergaussiana

Se puede adoptar una formulación más general de una función gaussiana con un vértice plano y una caída gaussiana elevando el contenido del exponente a una potencia : ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

Esta función se conoce como función supergaussiana y se utiliza a menudo para la formulación de haces gaussianos. ^[4] Esta función también puede expresarse en términos del ancho total a la mitad del máximo (FWHM), representado por w : $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

En una formulación bidimensional, una función gaussiana a lo largo de y se puede combinar ^[5] con y potencialmente diferentes para formar una distribución gaussiana rectangular: o una distribución gaussiana elíptica: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)}$$

Función gaussiana multidimensional

En un espacio dimensional, una función gaussiana se puede definir como donde es una columna de coordenadas, es una matriz definida positiva y denota transposición de matrices . ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),}$$ ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

La integral de esta función gaussiana sobre todo el espacio dimensional se da como ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

Se puede calcular fácilmente diagonalizando la matriz y cambiando las variables de integración a los vectores propios de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

De manera más general, una función gaussiana desplazada se define como donde es el vector de desplazamiento y se puede suponer que la matriz es simétrica, y definida positiva. Las siguientes integrales con esta función se pueden calcular con la misma técnica: donde $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),}$$ ${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

Estimación de parámetros

Varios campos, como la fotometría estelar , la caracterización de haces gaussianos y la espectroscopia de líneas de emisión/absorción, trabajan con funciones gaussianas muestreadas y necesitan estimar con precisión los parámetros de altura, posición y ancho de la función. Hay tres parámetros desconocidos para una función gaussiana unidimensional ( a , b , c ) y cinco para una función gaussiana bidimensional . ${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

El método más común para estimar los parámetros gaussianos es tomar el logaritmo de los datos y ajustar una parábola al conjunto de datos resultante. ^{[6] [7]} Si bien esto proporciona un procedimiento de ajuste de curva simple , el algoritmo resultante puede estar sesgado al ponderar excesivamente valores de datos pequeños, lo que puede producir grandes errores en la estimación del perfil. Se puede compensar parcialmente este problema a través de la estimación de mínimos cuadrados ponderados , reduciendo el peso de los valores de datos pequeños, pero esto también puede estar sesgado al permitir que la cola de la gaussiana domine el ajuste. Para eliminar el sesgo, se puede utilizar en cambio un procedimiento de mínimos cuadrados reponderados iterativamente , en el que los pesos se actualizan en cada iteración. ^[7] También es posible realizar una regresión no lineal directamente sobre los datos, sin involucrar la transformación logarítmica de datos ; para más opciones, consulte ajuste de distribución de probabilidad .

Precisión de parámetros

Una vez que se dispone de un algoritmo para estimar los parámetros de la función gaussiana, también es importante saber qué tan precisas son esas estimaciones. Cualquier algoritmo de estimación de mínimos cuadrados puede proporcionar estimaciones numéricas para la varianza de cada parámetro (es decir, la varianza de la altura, posición y ancho estimados de la función). También se puede utilizar la teoría de límites de Cramér-Rao para obtener una expresión analítica para el límite inferior de las varianzas de los parámetros, dadas ciertas suposiciones sobre los datos. ^{[8] [9]}

1. El ruido en el perfil medido es gaussiano iid o está distribuido según Poisson .
2. El espaciado entre cada muestreo (es decir, la distancia entre los píxeles que miden los datos) es uniforme.
3. El pico está "bien muestreado", de modo que menos del 10% del área o volumen debajo del pico (área si es una gaussiana 1D, volumen si es una gaussiana 2D) se encuentra fuera de la región de medición.
4. El ancho del pico es mucho mayor que la distancia entre las ubicaciones de la muestra (es decir, los píxeles del detector deben ser al menos 5 veces más pequeños que el FWHM gaussiano).

Cuando se cumplen estos supuestos, la siguiente matriz de covarianza K se aplica para los parámetros de perfil 1D , , y bajo ruido gaussiano iid y bajo ruido de Poisson: ^[8] donde es el ancho de los píxeles utilizados para muestrear la función, es la eficiencia cuántica del detector e indica la desviación estándar del ruido de medición. Por lo tanto, las varianzas individuales para los parámetros son, en el caso del ruido gaussiano, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,}$$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}}$$

y en el caso del ruido de Poisson, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}}$$

Para los parámetros de perfil 2D que dan la amplitud , la posición y el ancho del perfil, se aplican las siguientes matrices de covarianza: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{\pi \delta _{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{A\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}\\0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{y}}}&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}&0&0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}\\[6pt]\mathbf {K} _{\operatorname {Poisson} }={\frac {1}{2\pi }}&{\begin{pmatrix}{\frac {3A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{\sigma _{X}}}\\0&{\frac {\sigma _{X}}{A\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {\sigma _{Y}}{A\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{3A\sigma _{Y}}}&{\frac {1}{3A}}\\{\frac {-1}{\sigma _{X}}}&0&0&{\frac {1}{3A}}&{\frac {2\sigma _{Y}}{3A\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$donde las varianzas de los parámetros individuales están dadas por los elementos diagonales de la matriz de covarianza.

Gaussiano discreto

El núcleo gaussiano discreto (sólido), comparado con el núcleo gaussiano muestreado (discontinuo) para escalas ${\displaystyle t=0.5,1,2,4.}$

Se puede pedir un análogo discreto de la función gaussiana; esto es necesario en aplicaciones discretas, particularmente en el procesamiento de señales digitales . Una respuesta sencilla es muestrear la función gaussiana continua, lo que produce el núcleo gaussiano muestreado . Sin embargo, esta función discreta no tiene los análogos discretos de las propiedades de la función continua y puede provocar efectos no deseados, como se describe en el artículo Implementación del espacio de escala .

Un enfoque alternativo es utilizar el núcleo gaussiano discreto : ^[10] donde denota las funciones de Bessel modificadas de orden entero. $${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ ${\displaystyle I_{n}(t)}$

Este es el análogo discreto de la gaussiana continua en el sentido de que es la solución de la ecuación de difusión discreta (espacio discreto, tiempo continuo), así como la gaussiana continua es la solución de la ecuación de difusión continua. ^{[10] [11]}

Aplicaciones

Las funciones gaussianas aparecen en muchos contextos de las ciencias naturales , las ciencias sociales , las matemáticas y la ingeniería . Algunos ejemplos incluyen:

• En estadística y teoría de la probabilidad , las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal , que es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central .
• Las funciones gaussianas son la función de Green para la ecuación de difusión (homogénea e isótropa) (y para la ecuación del calor , que es lo mismo), una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de una densidad de masa bajo difusión . Específicamente, si la densidad de masa en el tiempo t = 0 está dada por un delta de Dirac , lo que esencialmente significa que la masa está inicialmente concentrada en un solo punto, entonces la distribución de masa en el tiempo t estará dada por una función gaussiana, con el parámetro a estando linealmente relacionado con 1/ √ t y c estando linealmente relacionado con √ t ; esta gaussiana variable en el tiempo se describe por el núcleo de calor . Más generalmente, si la densidad de masa inicial es φ( x ), entonces la densidad de masa en tiempos posteriores se obtiene tomando la convolución de φ con una función gaussiana. La convolución de una función con una gaussiana también se conoce como transformada de Weierstrass .
• Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico .
• Los orbitales moleculares utilizados en química computacional pueden ser combinaciones lineales de funciones gaussianas llamadas orbitales gaussianos (ver también conjunto base (química) ).
• Matemáticamente, las derivadas de la función gaussiana se pueden representar mediante funciones de Hermite . Para la varianza unitaria, la derivada n -ésima de la gaussiana es la propia función gaussiana multiplicada por el n -ésimo polinomio de Hermite , hasta la escala.
• En consecuencia, las funciones gaussianas también están asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos .
• Los rayos gaussianos se utilizan en sistemas ópticos, sistemas de microondas y láseres.
• En la representación del espacio de escala , las funciones gaussianas se utilizan como núcleos de suavizado para generar representaciones multiescala en la visión por computadora y el procesamiento de imágenes . En concreto, las derivadas de las gaussianas ( funciones de Hermite ) se utilizan como base para definir un gran número de tipos de operaciones visuales.
• Las funciones gaussianas se utilizan para definir algunos tipos de redes neuronales artificiales .
• En microscopía de fluorescencia se utiliza una función gaussiana 2D para aproximar el disco de Airy , que describe la distribución de intensidad producida por una fuente puntual .
• En el procesamiento de señales , sirven para definir filtros gaussianos , como en el procesamiento de imágenes , donde se utilizan gaussianos 2D para desenfoques gaussianos . En el procesamiento de señales digitales , se utiliza un núcleo gaussiano discreto , que puede aproximarse mediante el coeficiente binomial ^[12] o mediante el muestreo de un gaussiano.
• En geoestadística, se han utilizado para comprender la variabilidad entre los patrones de una imagen de entrenamiento compleja. Se utilizan con métodos kernel para agrupar los patrones en el espacio de características. ^[13]

Véase también

• Distribución normal
• Distribución de Cauchy
• Función de núcleo de base radial

Referencias

1. Squires, GL (30 de agosto de 2001). Física práctica (4.ª edición). Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
2. Weisstein, Eric W. "Transformada de Fourier – Gaussiana". MathWorld . Consultado el 19 de diciembre de 2013 .
3. Nawri, Nikolai. "Berechnung von Kovarianzellipsen" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de agosto de 2019. Consultado el 14 de agosto de 2019 .
4. Parent, A., M. Morin y P. Lavigne. "Propagación de distribuciones de campos supergaussianos". Electrónica óptica y cuántica 24.9 (1992): S1071–S1079.
5. "Manual de comandos del software óptico GLAD, entrada sobre el comando GAUSSIAN" (PDF) . Applied Optics Research . 2016-12-15.
6. Caruana, Richard A.; Searle, Roger B.; Heller, Thomas.; Shupack, Saul I. (1986). "Algoritmo rápido para la resolución de espectros". Química analítica . 58 (6). Sociedad Química Americana (ACS): 1162–1167. doi :10.1021/ac00297a041. ISSN  0003-2700.
7. Hongwei Guo, "Un algoritmo simple para ajustar una función gaussiana", IEEE Sign. Proc. Mag. 28(9): 134-137 (2011).
8. N. Hagen, M. Kupinski y EL Dereniak, "Estimación de perfil gaussiano en una dimensión", Appl. Opt. 46:5374–5383 (2007)
9. N. Hagen y EL Dereniak, "Estimación de perfil gaussiano en dos dimensiones", Appl. Opt. 47:6842–6851 (2008)
10. Lindeberg, T., "Espacio de escala para señales discretas", PAMI(12), No. 3, marzo de 1990, págs. 234–254.
11. Campbell, J, 2007, El modelo SMM como un problema de valor límite utilizando la ecuación de difusión discreta , Theor Popul Biol. 2007 diciembre;72(4):539–46.
12. Haddad, RA y Akansu, AN, 1991, Una clase de filtros binomiales gaussianos rápidos para el procesamiento de voz e imágenes , IEEE Trans. on Signal Processing, 39-3: 723–727
13. Honarkhah, M y Caers, J, 2010, Simulación estocástica de patrones utilizando modelos de patrones basados ​​en la distancia , Geociencias matemáticas, 42: 487–517

Enlaces externos

• Mathworld, incluye una prueba de las relaciones entre c y FWHM
• "Integración de la curva de campana". MathPages.com .
• Implementación de la distribución gaussiana en Haskell, Erlang y Perl
• Bensimhoun Michael, Función acumulativa de dimensión N y otros datos útiles sobre gaussianas y densidades normales (2009)
• Código para ajustar gaussianas en ImageJ y Fiji.