ley de gauss

Ley fundamental del electromagnetismo que relaciona el campo eléctrico y las distribuciones de carga.

La ley de Gauss en su forma integral es particularmente útil cuando, por razones de simetría, se puede encontrar una superficie cerrada (GS) a lo largo de la cual el campo eléctrico es uniforme. El flujo eléctrico es entonces un producto simple del área de la superficie y la intensidad del campo eléctrico, y es proporcional a la carga total encerrada por la superficie. Aquí, se calcula el campo eléctrico fuera ( r > R ) y dentro ( r < R ) de una esfera cargada (ver Wikiversidad).

En física (específicamente en electromagnetismo ), la ley de Gauss , también conocida como teorema de flujo de Gauss , (o a veces llamado simplemente teorema de Gauss) es una de las ecuaciones de Maxwell . Relaciona la distribución de carga eléctrica con el campo eléctrico resultante .

Definición

En su forma integral , afirma que el flujo del campo eléctrico que sale de una superficie cerrada arbitraria es proporcional a la carga eléctrica encerrada por la superficie, independientemente de cómo se distribuya esa carga. Aunque la ley por sí sola es insuficiente para determinar el campo eléctrico a través de una superficie que encierra cualquier distribución de carga, esto puede ser posible en casos donde la simetría exige uniformidad del campo. Cuando no existe tal simetría, se puede utilizar la ley de Gauss en su forma diferencial , que establece que la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad local de carga.

La ley fue formulada por primera vez ^{[1] por} Joseph-Louis Lagrange en 1773, ^[2] seguida por Carl Friedrich Gauss en 1835, ^[3] ambos en el contexto de la atracción de elipsoides. Es una de las ecuaciones de Maxwell , que constituye la base de la electrodinámica clásica . ^{[nota 1]} La ley de Gauss se puede utilizar para derivar la ley de Coulomb , ^[4] y viceversa.

Descripción cualitativa

En palabras, la ley de Gauss establece:

El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada hipotética es igual a 1/ ε ₀ veces la carga eléctrica neta encerrada dentro de esa superficie cerrada. La superficie cerrada también se conoce como superficie gaussiana. ^[5]

La ley de Gauss tiene una estrecha similitud matemática con varias leyes de otras áreas de la física, como la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad . De hecho, cualquier ley del cuadrado inverso se puede formular de manera similar a la ley de Gauss: por ejemplo, la ley de Gauss en sí misma es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb , y la ley de Gauss para la gravedad es esencialmente equivalente a la ley de gravedad de Newton , ambas de que son leyes del cuadrado inverso.

La ley se puede expresar matemáticamente mediante cálculo vectorial en forma integral y diferencial ; ambos son equivalentes ya que están relacionados por el teorema de la divergencia , también llamado teorema de Gauss. Cada una de estas formas, a su vez, también se puede expresar de dos maneras: en términos de una relación entre el campo eléctrico E y la carga eléctrica total, o en términos del campo de desplazamiento eléctrico D y la carga eléctrica libre . ^[6]

Ecuación que involucra el campo E

La ley de Gauss se puede expresar utilizando el campo eléctrico E o el campo de desplazamiento eléctrico D. Esta sección muestra algunas de las formas con E ; la forma con D está debajo, al igual que otras formas con E.

forma integral

El flujo eléctrico a través de una superficie arbitraria es proporcional a la carga total encerrada por la superficie.

La esfera no encierra ninguna carga. El flujo eléctrico a través de su superficie es cero.

La ley de Gauss se puede expresar como: ^[6]

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

donde Φ _E es el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada S que encierra cualquier volumen V , Q es la carga total encerrada dentro de V y ε ₀ es la constante eléctrica . El flujo eléctrico Φ _E se define como una integral de superficie del campo eléctrico:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle _{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

donde E es el campo eléctrico, d A es un vector que representa un elemento infinitesimal del área de la superficie, ^{[nota 2]} y · representa el producto escalar de dos vectores.

En un espacio-tiempo curvo, el flujo de un campo electromagnético a través de una superficie cerrada se expresa como

${\displaystyle \Phi _{E}=c}$ ${\displaystyle \scriptstyle _{S}}$ ${\displaystyle F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa }}$

¿ Dónde está la velocidad de la luz ? denota los componentes de tiempo del tensor electromagnético ; es el determinante del tensor métrico ; es un elemento ortonormal de la superficie bidimensional que rodea la carga ; índices y no coinciden entre sí. ^[8] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F^{\kappa 0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle i,j,\kappa =1,2,3}$

Dado que el flujo se define como una integral del campo eléctrico, esta expresión de la ley de Gauss se llama forma integral .

Una pequeña caja de Gauss cuyos lados son perpendiculares a la superficie de un conductor se utiliza para encontrar la carga superficial local una vez que se calculan el potencial eléctrico y el campo eléctrico resolviendo la ecuación de Laplace. El campo eléctrico es perpendicular, localmente, a la superficie equipotencial del conductor y cero en el interior; su flujo πa ² · E , según la ley de Gauss es igual a πa ² · σ / ε ₀ . Por tanto, σ = ε ₀ E .

En problemas que involucran conductores colocados a potenciales conocidos, el potencial alejado de ellos se obtiene resolviendo la ecuación de Laplace , ya sea analítica o numéricamente. Luego se calcula el campo eléctrico como el gradiente negativo del potencial. La ley de Gauss permite encontrar la distribución de la carga eléctrica: la carga en cualquier región dada del conductor se puede deducir integrando el campo eléctrico para encontrar el flujo a través de una pequeña caja cuyos lados son perpendiculares a la superficie del conductor y observando que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y cero dentro del conductor.

El problema inverso, cuando se conoce la distribución de la carga eléctrica y se debe calcular el campo eléctrico, es mucho más difícil. El flujo total a través de una superficie dada proporciona poca información sobre el campo eléctrico y puede entrar y salir de la superficie en patrones arbitrariamente complicados.

Una excepción es si hay cierta simetría en el problema, lo que exige que el campo eléctrico pase a través de la superficie de manera uniforme. Entonces, si se conoce el flujo total, se puede deducir el campo mismo en cada punto. Ejemplos comunes de simetrías que se prestan a la ley de Gauss incluyen: simetría cilíndrica, simetría plana y simetría esférica. Consulte el artículo Superficie gaussiana para ver ejemplos en los que se aprovechan estas simetrías para calcular campos eléctricos.

forma diferencial

Según el teorema de la divergencia , la ley de Gauss se puede escribir alternativamente en forma diferencial :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}$$

donde ∇ · E es la divergencia del campo eléctrico, ε ₀ es la permitividad del vacío , es la permitividad relativa y ρ es la densidad de carga volumétrica (carga por unidad de volumen). ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

Equivalencia de formas integrales y diferenciales.

Las formas integral y diferencial son matemáticamente equivalentes, según el teorema de la divergencia. Aquí está el argumento más específicamente.

Esquema de la prueba

La forma integral de la ley de Gauss es:

${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ ${\displaystyle ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

para cualquier superficie cerrada S que contenga carga Q . Según el teorema de la divergencia, esta ecuación es equivalente a:

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

para cualquier volumen V que contenga carga Q. Por la relación entre carga y densidad de carga, esta ecuación equivale a:

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}$$

para cualquier volumen V . Para que esta ecuación sea simultáneamente cierta para cada volumen V posible , es necesario (y suficiente) que los integrandos sean iguales en todas partes. Por tanto, esta ecuación es equivalente a:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

Por tanto, las formas integral y diferencial son equivalentes.

Ecuación que involucra el campo D

Cargo gratuito, consolidado y total

La carga eléctrica que surge en las situaciones más simples de los libros de texto se clasificaría como "carga libre": por ejemplo, la carga que se transfiere en electricidad estática o la carga en una placa de condensador . Por el contrario, la "carga unida" surge sólo en el contexto de materiales dieléctricos (polarizables). (Todos los materiales son polarizables hasta cierto punto). Cuando dichos materiales se colocan en un campo eléctrico externo, los electrones permanecen unidos a sus respectivos átomos, pero se desplazan una distancia microscópica en respuesta al campo, de modo que están más en un lado. del átomo que el otro. Todos estos desplazamientos microscópicos se suman para dar una distribución de carga neta macroscópica, y esto constituye la "carga unida".

Aunque microscópicamente todas las cargas son fundamentalmente iguales, a menudo existen razones prácticas para querer tratar la carga ligada de manera diferente que la carga libre. El resultado es que la ley de Gauss más fundamental, en términos de E (arriba), a veces se expresa en la forma equivalente a continuación, que está en términos de D y la carga libre únicamente.

forma integral

Esta formulación de la ley de Gauss establece la forma de carga total:

$${\displaystyle \Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }}$$

donde Φ _D es el flujo del campo D a través de una superficie S que encierra un volumen V , y Q _libre es la carga libre contenida en V. El flujo Φ _D se define de manera análoga al flujo Φ _E del campo eléctrico E a S :

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss, que implica únicamente carga libre, establece:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$$

donde ∇ · D es la divergencia del campo de desplazamiento eléctrico y ρ _libre es la densidad de carga eléctrica libre.

Equivalencia de declaraciones de cargos totales y gratuitos

Prueba de que las formulaciones de la ley de Gauss en términos de carga libre son equivalentes a las formulaciones que involucran carga total.

En esta prueba demostraremos que la ecuación

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

es equivalente a la ecuación

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$$

Tenga en cuenta que solo estamos tratando con las formas diferenciales, no con las formas integrales, pero eso es suficiente ya que las formas diferencial e integral son equivalentes en cada caso, según el teorema de la divergencia.

Introducimos la densidad de polarización P , que tiene la siguiente relación con E y D :

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$

y la siguiente relación con el cargo consolidado:

$${\displaystyle \rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$

Ahora, considere las tres ecuaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\mathrm {bound} }&=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )\\\rho _{\mathrm {free} }&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )\end{aligned}}}$$

La idea clave es que la suma de las dos primeras ecuaciones es la tercera ecuación. Esto completa la prueba: la primera ecuación es verdadera por definición y, por lo tanto, la segunda ecuación es verdadera si y sólo si la tercera ecuación es verdadera. Entonces la segunda y la tercera ecuaciones son equivalentes, que es lo que queríamos demostrar.

Ecuación para materiales lineales.

En materiales lineales homogéneos , isotrópicos , no dispersivos , existe una relación simple entre E y  D :

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$$

donde ε es la permitividad del material. Para el caso del vacío (también conocido como espacio libre ), ε = ε ₀ . En estas circunstancias, la ley de Gauss se modifica para

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$$

para la forma integral, y

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$$

para la forma diferencial.

Relación con la ley de Coulomb

Derivando la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

Estrictamente hablando, la ley de Gauss no puede derivarse únicamente de la ley de Coulomb, ya que la ley de Coulomb da el campo eléctrico debido únicamente a una carga puntual electrostática individual . Sin embargo, la ley de Gauss se puede demostrar a partir de la ley de Coulomb si además se supone que el campo eléctrico obedece al principio de superposición . El principio de superposición establece que el campo resultante es la suma vectorial de los campos generados por cada partícula (o la integral, si las cargas están distribuidas suavemente en el espacio).

Esquema de la prueba

La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico debido a una carga puntual estacionaria es:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$

dónde

• e _r es el vector unitario radial ,
• r es el radio, | r | ,
• ε ₀ es la constante eléctrica ,
• q es la carga de la partícula, que se supone que está ubicada en el origen .

Usando la expresión de la ley de Coulomb, obtenemos el campo total en r usando una integral para sumar el campo en r debido a la carga infinitesimal en cada uno de los otros puntos s en el espacio, para dar

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

donde ρ es la densidad de carga. Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r y usamos el teorema conocido ^[9]

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac , el resultado es

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

Usando la " propiedad de tamizado " de la función delta de Dirac, llegamos a

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

que es la forma diferencial de la ley de Gauss, como se desea.

Dado que la ley de Coulomb sólo se aplica a cargas estacionarias, no hay razón para esperar que la ley de Gauss se cumpla para cargas en movimiento basándose únicamente en esta derivación. De hecho, la ley de Gauss es válida para cargas en movimiento y, a este respecto, la ley de Gauss es más general que la ley de Coulomb.

Prueba (sin Dirac Delta)

Sea un conjunto abierto acotado y ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$$

ser el campo eléctrico, con función continua (densidad de carga). ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$

Es cierto por todo eso . ${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Consideremos ahora un conjunto compacto que tiene un límite suave por partes tal que . Se deduce que y así, para el teorema de la divergencia: ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

Pero porque , ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$

para el argumento anterior ( y luego ) ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Por lo tanto, el flujo a través de una superficie cerrada generado por alguna densidad de carga exterior (la superficie) es nulo.

Ahora considere , y como la esfera centrada en tener como radio (existe porque es un conjunto abierto). ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$

Sea y el campo eléctrico creado dentro y fuera de la esfera respectivamente. Entonces, ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$, y ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

La última igualdad se obtiene observando eso y el argumento anterior. ${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$

El RHS es el flujo eléctrico generado por una esfera cargada, por lo que:

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$

con ${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

Donde la última igualdad se sigue por el teorema del valor medio para integrales. Usando el teorema de compresión y la continuidad de , se llega a: ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

Derivando la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss

Estrictamente hablando, la ley de Coulomb no puede derivarse únicamente de la ley de Gauss, ya que la ley de Gauss no proporciona ninguna información sobre la curvatura de E (ver descomposición de Helmholtz y ley de Faraday ). Sin embargo, la ley de Coulomb se puede demostrar a partir de la ley de Gauss si se supone, además, que el campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrico (esta suposición, como la propia ley de Coulomb, es exactamente cierta si la carga es estacionaria, y aproximadamente cierta si la carga está en movimiento).

Esquema de la prueba

Tomando S en la forma integral de la ley de Gauss como una superficie esférica de radio r , centrada en la carga puntual Q , tenemos

$${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

Según el supuesto de simetría esférica, el integrando es una constante que se puede sacar de la integral. El resultado es

$${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

donde r̂ es un vector unitario que apunta radialmente en dirección opuesta a la carga. Nuevamente por simetría esférica, E apunta en la dirección radial, por lo que obtenemos

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

que es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb. Así, la dependencia del campo eléctrico en la ley del inverso del cuadrado en la ley de Coulomb se deriva de la ley de Gauss.

Ver también

• Método de carga de imágenes.
• Teorema de unicidad de la ecuación de Poisson
• Lista de ejemplos de la ley de Stigler

Notas

1. Las otras tres ecuaciones de Maxwell son: la ley de Gauss para el magnetismo , la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampère con la corrección de Maxwell
2. Más específicamente, el área infinitesimal se considera plana y con área d N . El vector d R es normal a este elemento de área y tiene magnitud d A . ^[7]

Citas

1. Duhem, Pierre (1891). "4". Leçons sur l'électricité et le magnétisme [ Lecciones sobre electricidad y magnetismo ] (en francés). vol. 1. París Gauthier-Villars. págs. 22-23. OCLC  1048238688. OL  23310906M .Muestra que Lagrange tiene prioridad sobre Gauss. Otros, después de Gauss, también descubrieron la "ley de Gauss".
2. Lagrange, Joseph-Louis (1869) [1776]. Serret, Joseph-Alfred ; Darboux, Jean-Gaston (eds.). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" [Sobre la atracción de los esferoides elípticos]. Œuvres de Lagrange: Mémoires extraits des recueils de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin (en francés). Gauthier-Villars: 619.
3. Gauss, Carl Friedrich (1877). "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum método nova tractata" [La teoría de la atracción de cuerpos elípticos esferoidales homogéneos tratada mediante un nuevo método]. En Schering, Ernst Christian Julius ; Brendel, Martín (eds.). Carl Friedrich Gauss Werke [ Obras de Carl Friedrich Gauss ] (en latín y alemán). vol. 5 (2ª ed.). Gedruckt in der Dieterichschen Universitätsdruckerei (WF Kaestner). págs. 2–22.Gauss menciona la proposición XCI de los Principia de Newton sobre cómo encontrar la fuerza ejercida por una esfera sobre un punto en cualquier lugar a lo largo de un eje que pasa por la esfera.
4. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentos de Física . John Wiley e hijos. págs. 452–453.
5. Serway, Raymond A. (1996). Física para científicos e ingenieros con física moderna (4ª ed.). pag. 687.
6. Grant, ES; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Física de Manchester (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-92712-9.
7. Mateos, Paul (1998). Cálculo vectorial . Saltador. ISBN 3-540-76180-2.
8. Fedosin, Sergey G. (2019). "Sobre la representación covariante de ecuaciones integrales del campo electromagnético". Avances en la investigación electromagnética C. 96 : 109-122. arXiv : 1911.11138 . Código Bib : 2019arXiv191111138F. doi :10.2528/PIERC19062902. S2CID  208095922.
9. Véase, por ejemplo, Griffiths, David J. (2013). Introducción a la electrodinámica (4ª ed.). Prentice Hall. pag. 50.

Referencias

• Gauss, Carl Friedrich (1867). Trabajo Banda 5 .Versión digital
• Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.David J. Griffiths (6ª ed.)

enlaces externos

• Medios relacionados con la ley de Gauss en Wikimedia Commons
• Serie de videoconferencias del MIT (conferencias de 30 x 50 minutos): electricidad y magnetismo Impartida por el profesor Walter Lewin .
• sección sobre la ley de Gauss en un libro de texto en línea Archivado el 27 de mayo de 2010 en Wayback Machine.
• MISN-0-132 Ley de Gauss para la simetría esférica ( archivo PDF ) por Peter Signell para el Proyecto PHYSNET.
• MISN-0-133 Ley de Gauss aplicada a distribuciones de carga planas y cilíndricas (archivo PDF) por Peter Signell para el proyecto PHYSNET.