En matemáticas , la geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución de hiperplano en el paquete tangente que satisface una condición llamada "no integrabilidad completa". De manera equivalente, tal distribución puede darse (al menos localmente) como el núcleo de una forma única diferencial, y la condición de no integrabilidad se traduce en una condición máxima de no degeneración en la forma. Estas condiciones son opuestas a dos condiciones equivalentes para la ' integrabilidad completa ' de una distribución de hiperplano, es decir, que sea tangente a una foliación de codimensión una en la variedad, cuya equivalencia es el contenido del teorema de Frobenius .
La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensiones impares de la geometría simpléctica , una estructura en ciertas variedades de dimensiones pares. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fases de dimensión par de un sistema mecánico o la hipersuperficie de energía constante, que, al ser de codimensión uno, tiene una dimensión impar.
Al igual que la geometría simpléctica, la geometría de contacto tiene amplias aplicaciones en física , por ejemplo, óptica geométrica , mecánica clásica , termodinámica , cuantificación geométrica , sistemas integrables y teoría de control . La geometría de contacto también tiene aplicaciones en topología de baja dimensión ; por ejemplo, Kronheimer y Mrowka lo han utilizado para demostrar la conjetura de la propiedad P , Michael Hutchings para definir una invariante de tres variedades suaves y Lenhard Ng para definir invariantes de nudos. También fue utilizado por Yakov Eliashberg para derivar una caracterización topológica de variedades de Stein de dimensión al menos seis.
La geometría de contacto se ha utilizado para describir la corteza visual . [1]
Una estructura de contacto en una variedad de dimensiones impares es una familia de subespacios de codimensión uno que varían suavemente de cada espacio tangente de la variedad, lo que satisface una condición de no integrabilidad. La familia puede describirse como una sección de un paquete de la siguiente manera:
Dada una variedad suave de n dimensiones M y un punto p ∈ M , un elemento de contacto de M con el punto de contacto p es un subespacio lineal ( n − 1)-dimensional del espacio tangente a M en p . [2] [3] Un elemento de contacto puede estar dado por el núcleo de una función lineal en el espacio tangente a M en p . Sin embargo, si un subespacio está dado por el núcleo de una función lineal ω, entonces también estará dado por los ceros de λω donde λ ≠ 0 es cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, todos los núcleos de { λω : λ ≠ 0 } dan el mismo elemento de contacto. De ello se deduce que el espacio de todos los elementos de contacto de M puede identificarse con un cociente del haz cotangente T* M (sin la sección cero ), [2] a saber:
Una estructura de contacto en una variedad de dimensiones impares M , de dimensión 2 k + 1 , es una distribución suave de elementos de contacto, denotada por ξ , que es genérica en cada punto. [2] [3] La condición de genericidad es que ξ no sea integrable .
Supongamos que tenemos una distribución suave de los elementos de contacto, ξ , dada localmente por un diferencial de 1 forma α ; es decir, una sección suave del haz cotangente. La condición de no integrabilidad se puede dar explícitamente como: [2]
Observe que si ξ está dada por la forma diferencial 1 α , entonces la misma distribución está dada localmente por β = ƒ⋅ α , donde ƒ es una función suave distinta de cero . Si ξ es coorientable, entonces α se define globalmente.
Del teorema de Frobenius sobre integrabilidad se deduce que el campo de contacto ξ es completamente no integrable . Esta propiedad del campo de contacto es aproximadamente lo opuesto a ser un campo formado por planos tangentes a una familia de hipersuperficies no superpuestas en M. En particular, no se puede encontrar una hipersuperficie en M cuyos espacios tangentes concuerden con ξ , ni siquiera localmente. De hecho, no existe ninguna subvariedad de dimensión mayor que k cuyos espacios tangentes se encuentren en ξ .
Una consecuencia de la definición es que la restricción de la forma 2 ω = dα a un hiperplano en ξ es una forma 2 no degenerada. Esta construcción proporciona a cualquier colector de contacto M un haz simpléctico natural de rango uno más pequeño que la dimensión de M. Tenga en cuenta que un espacio vectorial simpléctico siempre es de dimensión par, mientras que las variedades de contacto deben ser de dimensión impar.
El paquete cotangente T * N de cualquier variedad N de n dimensiones es en sí misma una variedad (de dimensión 2 n ) y soporta naturalmente una estructura simpléctica exacta ω = dλ . (Esta forma 1 λ a veces se denomina forma de Liouville ). Hay varias formas de construir una variedad de contactos asociada, algunas de dimensión 2 n - 1, algunas de dimensión 2 n + 1.
Sea M la proyectivización del fibrado cotangente de N : así M es un fibrado sobre N cuya fibra en un punto x es el espacio de líneas en T* N , o, de manera equivalente, el espacio de hiperplanos en T N. La forma 1 λ no desciende a una forma 1 genuina en M . Sin embargo, es homogéneo de grado 1, por lo que define una forma 1 con valores en el haz de líneas O(1), que es el dual del haz de líneas tautológico de fibras de M. El núcleo de esta forma 1 define una distribución de contactos.
Supongamos que H es una función suave sobre T* N , que E es un valor regular para H , de modo que el conjunto de niveles es una subvariedad suave de codimensión 1. Un campo vectorial Y se llama campo vectorial de Euler (o Liouville) si es transversal a L y conformemente simpléctica, lo que significa que la derivada de Lie de dλ con respecto a Y es un múltiplo de dλ en una vecindad de L.
Entonces la restricción de to L es un formulario de contacto en L .
Esta construcción tiene su origen en la mecánica hamiltoniana , donde H es un hamiltoniano de un sistema mecánico con el espacio de configuración N y el espacio de fases T * N , y E es el valor de la energía.
Elija una métrica de Riemann en la variedad N y sea H la energía cinética asociada. Entonces, el conjunto de niveles H = 1/2 es el paquete cotangente unitario de N , una variedad suave de dimensión 2 n − 1 que se forma sobre N y las fibras son esferas. Entonces la forma de Liouville restringida al paquete cotangente unitario es una estructura de contacto. Esto corresponde a un caso especial de la segunda construcción, donde el flujo del campo vectorial de Euler Y corresponde al escalamiento lineal de los momentos p s , dejando q s fijo. El campo vectorial R , definido por las igualdades
Se llama campo vectorial de Reeb y genera el flujo geodésico de la métrica de Riemann. Más precisamente, utilizando la métrica de Riemann, se puede identificar cada punto del paquete cotangente de N con un punto del paquete tangente de N , y luego el valor de R en ese punto del paquete cotangente (unitario) es el correspondiente (unitario). ) vector paralelo a N .
Por otro lado, se puede construir una variedad de contactos M de dimensión 2 n + 1 considerando el primer haz de chorros de funciones con valores reales en N. Este paquete es isomorfo a T * N × R usando la derivada exterior de una función. Con coordenadas ( x , t ), M tiene una estructura de contacto
Por el contrario, dada cualquier variedad de contacto M , el producto M × R tiene una estructura natural de una variedad simpléctica. Si α es un formulario de contacto en M , entonces
es una forma simpléctica en M × R , donde t denota la variable en la dirección R. Esta nueva variedad se llama simplificación (a veces simplificación en la literatura) de la variedad de contacto M.
Como buen ejemplo, considere R 3 , dotado de coordenadas ( x , y , z ) y la forma única dz − y dx . El plano de contacto ξ en un punto ( x , y , z ) está atravesado por los vectores X 1 = ∂ y y X 2 = ∂ x + y ∂ z .
Al reemplazar las variables individuales x e y con las multivariables x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n , se puede generalizar este ejemplo a cualquier R 2 n +1 . Según un teorema de Darboux , cada estructura de contacto en una variedad se parece localmente a esta estructura de contacto particular en el espacio vectorial (2 n + 1) -dimensional.
Una clase importante de variedades de contacto está formada por variedades Sasakianas .
Los subespacios más interesantes de una variedad de contacto son sus subvariedades Legendrianas. La no integrabilidad del campo del hiperplano de contacto en una variedad de dimensiones (2 n + 1) significa que ninguna subvariedad de dimensiones 2 n lo tiene como su paquete tangente, ni siquiera localmente. Sin embargo, en general es posible encontrar subvariedades n-dimensionales (incrustadas o sumergidas) cuyos espacios tangentes se encuentran dentro del campo de contacto: se denominan subvariedades Legendrianas .
Las subvariedades legendrianas son análogas a las subvariedades lagrangianas de variedades simplécticas. Existe una relación precisa: la elevación de una subvariedad Legendriana en una simplificación de una variedad de contacto es una subvariedad Lagrangiana.
El ejemplo más simple de subvariedades Legendrianas son los nudos Legendrianos dentro de una variedad triple de contacto. Los nudos legendrianos no equivalentes pueden ser equivalentes a nudos lisos; es decir, hay nudos que son suavemente isotópicos donde no se puede elegir la isotopía para que sea un camino de nudos legendrianos.
Las subvariedades legendarias son objetos muy rígidos; Por lo general, hay infinitas clases de incrustaciones de isotopías legendrianas que son todas suavemente isotópicas. La teoría de campos simpléctica proporciona invariantes de subvariedades de Legendrian llamadas homología de contacto relativa que a veces pueden distinguir subvariedades de Legendrian distintas que son topológicamente idénticas (es decir, suavemente isotópicas).
Si α es una forma de contacto para una estructura de contacto dada, el campo vectorial de Reeb R puede definirse como el elemento único del núcleo (unidimensional) de dα tal que α( R ) = 1. Si una variedad de contacto surge como una hipersuperficie de energía constante dentro de una variedad simpléctica, entonces el campo vectorial de Reeb es la restricción a la subvariedad del campo vectorial hamiltoniano asociado a la función de energía. (La restricción produce un campo vectorial en la hipersuperficie de contacto porque el campo vectorial hamiltoniano preserva los niveles de energía).
La dinámica del campo de Reeb se puede utilizar para estudiar la estructura de la variedad de contacto o incluso la variedad subyacente utilizando técnicas de homología de Floer como la teoría de campos simpléctica y, en tres dimensiones, la homología de contacto integrada . Diferentes formas de contacto cuyos núcleos dan la misma estructura de contacto producirán diferentes campos vectoriales Reeb, cuyas dinámicas son en general muy diferentes. Los diversos tipos de homología de contacto dependen a priori de la elección de una forma de contacto y construyen estructuras algebraicas con las trayectorias cerradas de sus campos vectoriales Reeb; sin embargo, estas estructuras algebraicas resultan ser independientes de la forma de contacto, es decir, son invariantes de la estructura de contacto subyacente, de modo que, al final, la forma de contacto puede verse como una elección auxiliar. En el caso de homología de contacto integrada, se obtiene una invariante de la triple variedad subyacente, es decir, la homología de contacto integrada es independiente de la estructura del contacto; esto permite obtener resultados válidos para cualquier campo vectorial de Reeb en la variedad.
El campo Reeb lleva el nombre de Georges Reeb .
Las raíces de la geometría de contacto aparecen en el trabajo de Christiaan Huygens , Isaac Barrow e Isaac Newton . La teoría de las transformaciones de contacto (es decir, transformaciones que preservan una estructura de contacto) fue desarrollada por Sophus Lie , con el doble objetivo de estudiar ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la transformación de Legendre o transformación canónica ) y describir el "cambio de elemento espacial", familiar de la dualidad proyectiva. .
El primer uso conocido del término "colector de contactos" aparece en un artículo de 1958 [4] [5] [6]
