En geometría proyectiva , la dualidad o dualidad de planos es una formalización de la sorprendente simetría de los papeles desempeñados por puntos y líneas en las definiciones y teoremas de los planos proyectivos . Hay dos enfoques para el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (§ Principio de dualidad) y el otro un enfoque más funcional a través de aplicaciones especiales . Estas son completamente equivalentes y cualquiera de los tratamientos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías en consideración. En el enfoque funcional hay una aplicación entre geometrías relacionadas que se llama dualidad . Tal aplicación se puede construir de muchas maneras. El concepto de dualidad de planos se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá de eso a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.
Un plano proyectivo C puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos , un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran sobre qué líneas. Estos conjuntos pueden utilizarse para definir una estructura dual de plano .
Intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en
Para obtener la estructura dual
donde I ∗ es la relación inversa de I . C ∗ es también un plano proyectivo, llamado plano dual de C .
Si C y C ∗ son isomorfos, entonces C se llama autodual . Los planos proyectivos PG(2, K ) para cualquier cuerpo (o, más generalmente, para cada anillo de división (skewfield) isomorfo a su dual) K son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes .
En un plano proyectivo, un enunciado que implica puntos, líneas e incidencia entre ellos, que se obtiene a partir de otro enunciado de este tipo intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado dual plano del primero. El enunciado dual plano de "Dos puntos están en una única línea" es "Dos líneas se encuentran en un único punto". La formación del dual plano de un enunciado se conoce como dualización del enunciado.
Si una proposición es verdadera en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de esa proposición debe ser verdadero en el plano dual C ∗ . Esto se deduce porque al dualizar cada proposición en la prueba "en C " se obtiene una proposición correspondiente de la prueba "en C ∗ ".
El principio de dualidad plana dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C. [1 ]
Los conceptos anteriores se pueden generalizar para hablar de dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las líneas siguen siendo líneas). Esto conduce al principio de dualidad espacial . [1]
Estos principios proporcionan una buena razón para preferir utilizar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto se encuentra sobre una línea", se debería decir "un punto es incidente con una línea", ya que dualizar esta última sólo implica intercambiar punto y línea ("una línea es incidente con un punto"). [2]
La validez del principio de dualidad de planos se desprende de la definición axiomática de un plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición pueden escribirse de modo que sean enunciados autoduales, lo que implica que el dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El dual de un enunciado verdadero en un plano proyectivo es, por tanto, un enunciado verdadero en el plano proyectivo dual y la implicación es que, para los planos autoduales, el dual de un enunciado verdadero en ese plano es también un enunciado verdadero en ese plano. [3]
Como el plano proyectivo real , PG(2, R ) es autodual, hay varios pares de resultados conocidos que son duales entre sí. Algunos de ellos son:
No sólo los enunciados, sino también los sistemas de puntos y líneas pueden dualizarse.
Un conjunto de m puntos y n líneas se denomina configuración ( m c , n d ) si c de las n líneas pasan por cada punto y d de los m puntos se encuentran en cada línea. El dual de una configuración ( m c , n d ) es una configuración ( n d , m c ) . Por lo tanto, el dual de un cuadrángulo, una configuración (4 3 , 6 2 ) de cuatro puntos y seis líneas, es un cuadrilátero, una configuración (6 2 , 4 3 ) de seis puntos y cuatro líneas. [4]
El conjunto de todos los puntos de una recta, llamado recorrido proyectivo , tiene como dual un lápiz de rectas , el conjunto de todas las rectas sobre un punto, en dos dimensiones, o un lápiz de hiperplanos en dimensiones superiores. Un segmento de recta sobre una recta proyectiva tiene como dual la forma barrida por estas rectas o hiperplanos, una cuña doble . [5]
Una dualidad plana es una función de un plano proyectivo C = ( P , L , I) a su plano dual C ∗ = ( L , P , I ∗ ) (véase § Principio de dualidad arriba) que preserva la incidencia . Es decir, una dualidad plana σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P σ = L y L σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ) entonces Q I m ⇔ m σ I ∗ Q σ . Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación . [6] La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es autodual .
El plano proyectivo C en esta definición no necesita ser un plano desarguesiano . Sin embargo, si lo es, es decir, C = PG(2, K ) con K un anillo de división (skewfield), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales , da una dualidad de planos en C que satisface la definición anterior.
Una dualidad δ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de PG( n , K ) (también denotado por K P n ) con K un cuerpo (o más generalmente un campo sesgado ( anillo de división )) que invierte la inclusión, [7] es decir:
En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n − 1 − r ( = codimensión r + 1 ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente.
El dual V ∗ de un espacio vectorial (derecho) de dimensión finita V sobre un cuerpo oblicuo K puede considerarse como un espacio vectorial (derecho) de la misma dimensión sobre el cuerpo oblicuo opuesto K o . Por lo tanto, existe una biyección de inclusión-inversión entre los espacios proyectivos PG( n , K ) y PG( n , K o ) . Si K y K o son isomorfos, entonces existe una dualidad en PG( n , K ) . Por el contrario, si PG( n , K ) admite una dualidad para n > 1 , entonces K y K o son isomorfos.
Sea π una dualidad de PG( n , K ) para n > 1 . Si π está compuesta con el isomorfismo natural entre PG( n , K ) y PG( n , K o ) , la composición θ es una biyección que preserva la incidencia entre PG( n , K ) y PG( n , K o ) . Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva θ es inducida por una función semilineal T : V → V ∗ con isomorfismo asociado σ : K → K o , que puede verse como un antiautomorfismo de K . En la literatura clásica, π se llamaría una reciprocidad en general, y si σ = id se llamaría una correlación (y K sería necesariamente un cuerpo ). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a θ una dualidad. [9] Cuando se hace esto, una dualidad puede considerarse como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se denomina reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad , se denomina correlación.
Sea T w = T ( w ) la función lineal de V ∗ asociada al vector w en V . Defina la forma φ : V × V → K por:
φ es una forma sesquilínea no degenerada con antiautomorfismo acompañante σ .
Cualquier dualidad de PG( n , K ) para n > 1 es inducida por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.
Las coordenadas homogéneas se pueden utilizar para dar una descripción algebraica de las dualidades. Para simplificar esta discusión, supondremos que K es un cuerpo , pero todo se puede hacer de la misma manera cuando K es un cuerpo asimétrico, siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no tiene por qué ser una operación conmutativa .
Los puntos de PG( n , K ) pueden tomarse como vectores distintos de cero en el espacio vectorial de dimensión ( n + 1 ) sobre K , donde identificamos dos vectores que difieren en un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo de dimensión n son los subespacios vectoriales de dimensión 1 , que pueden visualizarse como las líneas que pasan por el origen en K n +1 . [10] Además, los subespacios de dimensión n (vectorial) de K n +1 representan los hiperplanos de dimensión ( n − 1 ) (geométricos) del espacio proyectivo de dimensión n sobre K , es decir, PG( n , K ) .
Un vector distinto de cero u = ( u 0 , u 1 , ..., u n ) en K n +1 también determina un subespacio (hiperplano) geométrico de ( n − 1) dimensiones H u , por
Cuando se utiliza un vector u para definir un hiperplano de esta manera, se denotará por u H , mientras que si está designando un punto utilizaremos u P . Se denominan coordenadas de punto o coordenadas de hiperplano respectivamente (en el importante caso bidimensional, las coordenadas de hiperplano se denominan coordenadas de línea ). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo las coordenadas del hiperplano como vectores horizontales (fila) mientras que las coordenadas de punto se escriben como vectores verticales (columna). Por lo tanto, si u es un vector columna tendríamos u P = u mientras que u H = u T . En términos del producto escalar habitual , H u = { x P : u H ⋅ x P = 0} . Como K es un campo, el producto escalar es simétrico, lo que significa que u H ⋅ x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1 + ... + x n u n = x H ⋅ u P .
Se puede dar una reciprocidad simple (en realidad una correlación) mediante u P ↔ u H entre puntos e hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de esos hiperplanos, y así sucesivamente.
En concreto, en el plano proyectivo , PG(2, K ) , con K un cuerpo, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c ) ↔ rectas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En un espacio proyectivo, PG(3, K ) , una correlación viene dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c , d ) ↔ planos con ecuaciones ax + by + cz + dw = 0 . Esta correlación también mapearía una línea determinada por dos puntos ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) y ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) a la línea que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 w = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0 .
La forma sesquilínea asociada para esta correlación es:
donde el antiautomorfismo acompañante σ = id . Por lo tanto, se trata de una forma bilineal (nótese que K debe ser un cuerpo). Esto se puede escribir en forma matricial (con respecto a la base estándar) como:
donde G es la matriz identidad ( n + 1) × ( n + 1) , utilizando la convención de que u H es un vector fila y x P es un vector columna.
La correlación viene dada por:
Esta correlación en el caso de PG(2, R ) puede describirse geométricamente utilizando el modelo del plano proyectivo real que es una "esfera unitaria con antípodas [11] identificadas", o equivalentemente, el modelo de líneas y planos que pasan por el origen del espacio vectorial R 3 . Asocie a cualquier línea que pase por el origen el único plano que pase por el origen que sea perpendicular (ortogonal) a la línea. Cuando, en el modelo, estas líneas se consideran los puntos y los planos las líneas del plano proyectivo PG(2, R ) , esta asociación se convierte en una correlación (en realidad una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene intersectando las líneas y planos que pasan por el origen con una esfera unitaria centrada en el origen. Las líneas se encuentran con la esfera en puntos antípodas que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en círculos máximos que son, por lo tanto, las líneas del plano proyectivo.
El hecho de que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente en el modelo de líneas y planos. Un punto que incide en una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea que pasa por el origen y que se encuentra en un plano que pasa por el origen en el modelo. Al aplicar la asociación, el plano se convierte en una línea que pasa por el origen perpendicular al plano con el que está asociado. Esta línea imagen es perpendicular a todas las líneas del plano que pasan por el origen, en particular a la línea original (punto del plano proyectivo). Todas las líneas que son perpendiculares a la línea original en el origen se encuentran en el único plano que es ortogonal a la línea original, es decir, el plano imagen bajo la asociación. Por lo tanto, la línea imagen se encuentra en el plano imagen y la asociación preserva la incidencia.
Como en el ejemplo anterior, las matrices se pueden utilizar para representar dualidades. Sea π una dualidad de PG( n , K ) para n > 1 y sea φ la forma sesquilineal asociada (con antiautomorfismo acompañante σ ) en el espacio vectorial subyacente de dimensión ( n + 1 ) V . Dada una base { e i } de V , podemos representar esta forma mediante:
donde G es una matriz no singular ( n + 1) × ( n + 1) sobre K y los vectores se escriben como vectores columna. La notación x σ significa que el antiautomorfismo σ se aplica a cada coordenada del vector x .
Ahora defina la dualidad en términos de coordenadas de puntos mediante:
Una dualidad que es una involución (tiene orden dos) se llama polaridad . Es necesario distinguir entre polaridades de espacios proyectivos generales y aquellas que surgen de la definición ligeramente más general de dualidad plana. También es posible dar afirmaciones más precisas en el caso de una geometría finita , por lo que enfatizaremos los resultados en planos proyectivos finitos.
Si π es una dualidad de PG( n , K ) , con K un campo sesgado, entonces una notación común se define por π ( S ) = S ⊥ para un subespacio S de PG( n , K ) . Por lo tanto, una polaridad es una dualidad para la cual S ⊥⊥ = S para cada subespacio S de PG( n , K ) . También es común omitir la mención del espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilineal asociada:
Una forma sesquilínea φ es reflexiva si φ ( u , x ) = 0 implica φ ( x , u ) = 0 .
Una dualidad es una polaridad si y sólo si la forma sesquilínea (no degenerada) que la define es reflexiva. [12]
Las polaridades han sido clasificadas, un resultado de Birkhoff & von Neumann (1936) que ha sido refutado varias veces. [12] [13] [14] Sea V un espacio vectorial (izquierdo) sobre el campo oblicuo K y φ una forma sesquilínea no degenerada reflexiva sobre V con antiautomorfismo acompañante σ . Si φ es la forma sesquilínea asociada con una polaridad, entonces:
Un punto P de PG( n , K ) es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad ⊥ si P I P ⊥ . De manera similar, un hiperplano H es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si H ⊥ I H . Expresado en otros términos, un punto x es un punto absoluto de polaridad π con forma sesquilínea asociada φ si φ ( x , x ) = 0 y si φ se escribe en términos de la matriz G , x T G x σ = 0 .
Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. Nuevamente, restringimos la discusión al caso en que K es un campo. [16]
Al componerse consigo misma, la correlación φ ( x P ) = x H (en cualquier dimensión) produce la función identidad , por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:
Los puntos que se encuentran en este conjunto de puntos dependen del cuerpo K. Si K = R , entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otra parte, si K = C, el conjunto de puntos absolutos forma una cuádrica no degenerada (una cónica en el espacio bidimensional). Si K es un cuerpo finito de característica impar , los puntos absolutos también forman una cuádrica, pero si la característica es par, los puntos absolutos forman un hiperplano (este es un ejemplo de pseudopolaridad).
Bajo cualquier dualidad, el punto P se llama polo del hiperplano P ⊥ , y este hiperplano se llama polar del punto P . Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que son incidentes con sus polares y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que son incidentes con sus polos.
Por el teorema de Wedderburn, todo campo oblicuo finito es un cuerpo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) sólo puede existir en un cuerpo finito cuyo orden sea un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general para los planos desarguesianos finitos . Tenemos: [17]
Si π es una polaridad del plano proyectivo desarguesiano finito PG(2, q ) donde q = p e para algún primo p , entonces el número de puntos absolutos de π es q + 1 si π es ortogonal o q 3/2 + 1 si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si p es impar o forman una línea si p = 2 . El caso unitario solo puede ocurrir si q es un cuadrado; los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital .
En el caso general del plano proyectivo donde dualidad significa dualidad plana , las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.
Sea P un plano proyectivo de orden n . Contando argumentos se puede establecer que para una polaridad π de P : [17]
El número de puntos (líneas) no absolutos incidentes con una línea (punto) no absoluto es par.
Además, [18]
La polaridad π tiene al menos n + 1 puntos absolutos y si n no es un cuadrado, exactamente n + 1 puntos absolutos. Si π tiene exactamente n + 1 puntos absolutos entonces;
Seib [19] dio un límite superior para el número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer: [20]
Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s 2 tiene como máximo s 3 + 1 puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es s 3 + 1 , entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital (es decir, cada línea del plano se encuentra con este conjunto de puntos absolutos en 1 o s + 1 puntos). [21]
Un método que puede utilizarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene como punto de partida una construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano .
En el plano euclidiano, fijemos un círculo C con centro O y radio r . Para cada punto P distinto de O, definamos un punto imagen Q de modo que OP ⋅ OQ = r 2 . La aplicación definida por P → Q se denomina inversión con respecto al círculo C. La línea p que pasa por Q y que es perpendicular a la línea OP se denomina polar [22] del punto P con respecto al círculo C.
Sea q una línea que no pasa por O . Tracemos una perpendicular desde O a q , que corte a q en el punto P (este es el punto de q que está más cercano a O ). La imagen Q de P bajo inversión con respecto a C se llama polo [22] de q . Si un punto M está en una línea q (que no pasa por O ), entonces el polo de q se encuentra en el polar de M y viceversa. El proceso de preservación de la incidencia, en el que los puntos y las líneas se transforman en sus polares y polos con respecto a C se llama reciprocidad . [23]
Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) necesita ser expandido al plano euclidiano extendido agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea. En este plano expandido, definimos la polar del punto O como la línea en el infinito (y O es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas a través de O son los puntos del infinito donde, si una línea tiene pendiente s (≠ 0) su polo es el punto infinito asociado a la clase paralela de líneas con pendiente −1/ s . El polo del eje x es el punto del infinito de las líneas verticales y el polo del eje y es el punto del infinito de las líneas horizontales.
La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dada anteriormente se puede generalizar utilizando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.
Describiremos esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que C sea el círculo unitario (es decir, r = 1 ) centrado en el origen.
Un punto afín P , distinto del origen, con coordenadas cartesianas ( a , b ) tiene como inverso en la circunferencia unitaria el punto Q con coordenadas,
La recta que pasa por Q y que es perpendicular a la recta OP tiene ecuación ax + by = 1 .
Pasando a coordenadas homogéneas utilizando la incrustación ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de puntos se escriben como vectores columna y las coordenadas de línea como vectores fila, podemos expresar esta polaridad por:
de tal manera que
O, utilizando la notación alternativa, π (( x , y , z ) P ) = ( x , y , − z ) L . La matriz de la forma sesquilineal asociada (con respecto a la base estándar) es:
Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:
donde P T = ( x , y , z ) . Nótese que, restringido al plano euclidiano (es decir, establecido z = 1 ), este es simplemente el círculo unitario, el círculo de inversión.
La teoría de polos y polares de una cónica en un plano proyectivo se puede desarrollar sin el uso de coordenadas y otros conceptos métricos.
Sea C una cónica en PG(2, F ) donde F es un cuerpo que no tiene característica dos, y sea P un punto de este plano que no está en C . Dos líneas secantes distintas a la cónica, digamos AB y JK, determinan cuatro puntos en la cónica ( A , B , J , K ) que forman un cuadrángulo . El punto P es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrángulo. La polar de P con respecto a C es el lado del triángulo diagonal opuesto a P . [24]
La teoría de conjugados armónicos proyectivos de puntos en una línea también se puede utilizar para definir esta relación. Utilizando la misma notación que antes;
Si una línea variable que pasa por el punto P es una secante de la cónica C , los conjugados armónicos de P con respecto a los dos puntos de C en la secante se encuentran todos en la polar de P . [25]
Hay varias propiedades que tienen las polaridades en un plano proyectivo. [26]
Dada una polaridad π , un punto P se encuentra en la línea q , la polar del punto Q si y sólo si Q se encuentra en p , la polar de P .
Los puntos P y Q que se encuentran en esta relación se denominan puntos conjugados con respecto a π . Los puntos absolutos se denominan autoconjugados de acuerdo con esta definición, ya que inciden con sus propias polares. Las líneas conjugadas se definen dualmente.
La línea que une dos puntos autoconjugados no puede ser una línea autoconjugada.
Una línea no puede contener más de dos puntos autoconjugados.
Una polaridad induce una involución de puntos conjugados en cualquier línea que no sea autoconjugada.
Un triángulo en el que cada vértice es el polo del lado opuesto se llama triángulo autopolar .
Una correlación que asigna los tres vértices de un triángulo a sus lados opuestos respectivamente es una polaridad y este triángulo es autopolar con respecto a esta polaridad.
El principio de dualidad se debe a Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), un defensor del entonces emergente campo de la geometría analítica y fundador y editor de la primera revista dedicada enteramente a las matemáticas, Annales de mathématiques pures et appliquées . Gergonne y Charles Julien Brianchon (1785-1864) desarrollaron el concepto de dualidad plana. Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (pero "polo" se debe a F.-J. Servois ) y adoptó el estilo de escribir enunciados duales uno al lado del otro en su revista.
Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva , Traité des propriétés projectives des figures , fue un geómetra sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de polos y polares con respecto a una cónica. Poncelet sostuvo que el principio de dualidad era una consecuencia de la teoría de polos y polares.
A Julius Plücker (1801−1868) se le atribuye la extensión del concepto de dualidad a espacios proyectivos tridimensionales y de dimensiones superiores.
Poncelet y Gergonne comenzaron como rivales serios pero amistosos que presentaban sus diferentes puntos de vista y técnicas en artículos que aparecían en Annales de Gergonne . El antagonismo creció sobre la cuestión de la prioridad en la reivindicación del principio de dualidad como propio. Un joven Plücker se vio envuelto en esta disputa cuando un artículo que había enviado a Gergonne fue editado tan profundamente en el momento de su publicación que Poncelet fue engañado al creer que Plücker lo había plagiado. El ataque vitriólico de Poncelet fue contrarrestado por Plücker con el apoyo de Gergonne y, en última instancia, la responsabilidad recayó sobre Gergonne. [27] De esta disputa, Pierre Samuel [28] ha bromeado diciendo que, dado que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era un general mientras que Gergonne un mero capitán, la opinión de Poncelet prevaleció, al menos entre sus contemporáneos franceses.
Weisstein, Eric W. "Principio de dualidad". MathWorld .
