En geometría , el teorema de Brianchon es un teorema que establece que cuando un hexágono se circunscribe alrededor de una sección cónica , sus diagonales principales (las que conectan vértices opuestos) se encuentran en un solo punto. Lleva el nombre de Charles Julien Brianchon (1783–1864).
Sea un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica . Luego, las líneas (diagonales extendidas, cada una de las cuales conecta vértices opuestos) se cruzan en un solo punto , el punto de Brianchon . [1] : pág. 218 [2]
El dual polar recíproco y proyectivo de este teorema da el teorema de Pascal .
En cuanto al teorema de Pascal, también existen degeneraciones para el teorema de Brianchon: hagan coincidir dos tangentes vecinas. Su punto de intersección se convierte en un punto de la cónica. En el diagrama coinciden tres pares de tangentes vecinas. Este procedimiento da como resultado una afirmación sobre elipses de triángulos. Desde un punto de vista proyectivo, los dos triángulos y se encuentran en perspectiva con el centro . Eso significa que existe una colineación central, que asigna uno al otro triángulo. Pero sólo en casos especiales esta colineación es una escala afín. Por ejemplo, para una elipse de Steiner, donde el punto de Brianchon es el centroide.
El teorema de Brianchon es cierto tanto en el plano afín como en el plano proyectivo real . Sin embargo, su enunciado en el plano afín es, en cierto sentido, menos informativo y más complicado que el del plano proyectivo . Consideremos, por ejemplo, cinco rectas tangentes a una parábola . Estos pueden considerarse lados de un hexágono cuyo sexto lado es la recta del infinito , pero no existe ninguna recta del infinito en el plano afín. En dos casos, una línea desde un vértice (inexistente) al vértice opuesto sería una línea paralela a una de las cinco líneas tangentes. Por lo tanto, el teorema de Brianchon expresado sólo para el plano afín tendría que expresarse de manera diferente en tal situación.
El dual proyectivo del teorema de Brianchon tiene excepciones en el plano afín pero no en el plano proyectivo.
El teorema de Brianchon puede demostrarse mediante la idea de eje radical o reciprocidad. Para demostrarlo, tome una longitud arbitraria (MN) y llévela por las tangentes comenzando desde los puntos de contacto: PL = RJ = QH = MN, etc. Dibuje círculos a, b, c tangentes a lados opuestos del hexágono en los puntos creados ( H,W), (J,V) y (L,Y) respectivamente. Se ve fácilmente que las rectas concurrentes coinciden con los ejes radicales ab, bc, ca respectivamente, de los tres círculos tomados de dos en dos. Así O coincide con el centro radical de estos tres círculos.
El teorema toma formas particulares en el caso de pentágonos circunscriptibles, por ejemplo, cuando R y Q tienden a coincidir con F, un caso en el que AFE se transforma en la tangente en F. Luego, tomando una identificación similar adicional de los puntos T, C y U, obtenemos Obtenga el teorema correspondiente para cuadrángulos.
