En geometría proyectiva , el teorema de Pascal (también conocido como teorema hexagrammum mysticum , hexagrama místico en latín ) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse , parábola o hipérbola en un plano afín apropiado ) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono ( extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Lleva el nombre de Blaise Pascal .
El teorema también es válido en el plano euclidiano , pero es necesario ajustar el enunciado para abordar los casos especiales en los que los lados opuestos son paralelos.
Este teorema es una generalización del teorema de Pappus (hexágono) , que es el caso especial de una cónica degenerada de dos rectas con tres puntos en cada recta.
El entorno más natural para el teorema de Pascal es un plano proyectivo , ya que dos rectas cualesquiera se encuentran y no es necesario hacer excepciones para las rectas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.
Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinada por los dos puntos de intersección es paralela a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay una línea de Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea de Pascal de el hexágono).
El teorema de Pascal es el dual polar recíproco y proyectivo del teorema de Brianchon . Fue formulado por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639 cuando tenía 16 años y publicada al año siguiente como una andanada titulada "Essay pour les coniques. Par BP" [1]
El teorema de Pascal es un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .
Es interesante un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos); dados los puntos ABCD en una cónica Γ , la intersección de lados alternos, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto con la intersección de tangentes en vértices opuestos ( A , C ) y ( B , D ) son colineales en cuatro puntos; las tangentes son 'lados' degenerados, tomadas en dos posibles posiciones en el 'hexágono' y la correspondiente línea de Pascal que comparte cualquiera de las intersecciones degeneradas. Esto se puede probar de forma independiente utilizando una propiedad de polo-polar . Si la cónica es un círculo, entonces otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne , son colineales.
Seis es el número mínimo de puntos de una cónica sobre los que se pueden hacer afirmaciones especiales, ya que cinco puntos determinan una cónica .
Lo contrario es el teorema de Braikenridge-Maclaurin , llamado así por los matemáticos británicos del siglo XVIII William Braikenridge y Colin Maclaurin (Mills 1984), que establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que pasan por lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea , entonces los seis vértices del hexágono se encuentran sobre una cónica; la cónica puede estar degenerada, como en el teorema de Pappus. [2] El teorema de Braikenridge-Maclaurin puede aplicarse en la construcción de Braikenridge-Maclaurin , que es una construcción sintética de la cónica definida por cinco puntos, variando el sexto punto.
El teorema fue generalizado por August Ferdinand Möbius en 1847, de la siguiente manera: supongamos que un polígono con 4 n + 2 lados está inscrito en una sección cónica y los pares de lados opuestos se extienden hasta que se encuentran en 2 n + 1 puntos. Entonces, si 2 n de esos puntos se encuentran en una línea común, el último punto también estará en esa línea.
Si se dan seis puntos desordenados en una sección cónica, se pueden conectar formando un hexágono de 60 maneras diferentes, lo que da como resultado 60 casos diferentes del teorema de Pascal y 60 líneas de Pascal diferentes. Esta configuración de 60 líneas se llama Hexagrammum Mysticum . [3] [4]
Como demostró Thomas Kirkman en 1849, estas 60 líneas se pueden asociar con 60 puntos de tal manera que cada punto esté en tres líneas y cada línea contenga tres puntos. Los 60 puntos formados de esta manera ahora se conocen como puntos de Kirkman . [5] Las líneas de Pascal también pasan, de tres en tres, por 20 puntos de Steiner . Hay 20 líneas Cayley que constan de un punto Steiner y tres puntos Kirkman. Los puntos Steiner también se encuentran, de cuatro en cuatro, en 15 líneas de Plücker . Además, las 20 líneas Cayley pasan de cuatro en cuatro a través de 15 puntos conocidos como puntos Salmon . [6]
La nota original de Pascal [1] no tiene prueba, pero existen varias pruebas modernas del teorema.
Es suficiente demostrar el teorema cuando la cónica es un círculo, porque cualquier cónica (no degenerada) puede reducirse a un círculo mediante una transformación proyectiva. Pascal se dio cuenta de esto, cuyo primer lema establece el teorema de un círculo. Su segundo lema establece que lo que es verdadero en un plano sigue siendo verdadero en la proyección a otro plano. [1] Las cónicas degeneradas siguen por continuidad (el teorema es cierto para las cónicas no degeneradas y, por lo tanto, se cumple en el límite de la cónica degenerada).
Van Yzeren (1993) encontró una breve prueba elemental del teorema de Pascal en el caso de un círculo, basándose en la prueba de (Guggenheimer 1967). Esta prueba prueba el teorema del círculo y luego lo generaliza a cónicas.
Stefanovic (2010) encontró una breve prueba computacional elemental en el caso del plano proyectivo real.
También podemos inferir la prueba de la existencia de conjugados isogonales . Si vamos a demostrar que X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA son colineales para ABCDEF concíclico , entonces observe que △ EYB y △ CYF son similares, y que X y Z corresponderán a las isogonales conjugar si superponemos los triángulos semejantes. Esto significa que ∠ CYX = ∠ CYZ , por lo que XYZ es colineal.
Se puede construir una prueba breve utilizando la preservación de razones cruzadas. Proyectando la tétrada ABCE desde D sobre la línea AB , obtenemos la tétrada ABPX , y proyectando la tétrada ABCE desde F sobre la línea BC , obtenemos la tétrada QBCY . Por lo tanto, esto significa que R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , donde uno de los puntos de las dos tétradas se superpone, lo que significa que otras líneas que conectan los otros tres pares deben coincidir para preservar la relación cruzada. Por tanto, XYZ son colineales.
Otra prueba del teorema de Pascal para un círculo utiliza repetidamente el teorema de Menelao .
Dandelin , el geómetra que descubrió las célebres esferas de Dandelin , ideó una hermosa prueba utilizando la técnica de "levantamiento 3D" que es análoga a la prueba 3D del teorema de Desargues . La prueba hace uso de la propiedad de que para cada sección cónica podemos encontrar un hiperboloide de una hoja que pasa por la cónica.
También existe una prueba sencilla del teorema de Pascal para un círculo utilizando la ley de los senos y la semejanza .
El teorema de Pascal tiene una breve demostración utilizando el teorema de Cayley-Bacharach de que, dados 8 puntos cualesquiera en posición general, existe un noveno punto único tal que todas las cúbicas que pasan por los primeros 8 también pasan por el noveno punto. En particular, si 2 cúbicas generales se cruzan en 8 puntos, entonces cualquier otra cúbica que pase por los mismos 8 puntos se encuentra con el noveno punto de intersección de las dos primeras cúbicas. El teorema de Pascal se sigue tomando los 8 puntos como los 6 puntos en el hexágono y dos de los puntos (digamos, M y N en la figura) en la posible línea de Pascal, y el noveno punto como el tercer punto ( P en el cifra). Las dos primeras cúbicas son dos conjuntos de 3 rectas que pasan por los 6 puntos del hexágono (por ejemplo, el conjunto AB, CD, EF y el conjunto BC, DE, FA ), y la tercera cúbica es la unión de la cónica y la línea MN . Aquí la "novena intersección" P no puede estar en la cónica por genereidad y, por tanto, está en MN .
El teorema de Cayley-Bacharach también se utiliza para demostrar que la operación de grupo en curvas elípticas cúbicas es asociativa. La misma operación de grupo se puede aplicar sobre una cónica si elegimos un punto E en la cónica y una recta MP en el plano. La suma de A y B se obtiene encontrando primero el punto de intersección de la recta AB con MP , que es M. Luego A y B se suman hasta el segundo punto de intersección de la cónica con la recta EM , que es D. Así, si Q es el segundo punto de intersección de la cónica con la recta EN , entonces
Por tanto, la operación de grupo es asociativa. Por otro lado, el teorema de Pascal se deriva de la fórmula de asociatividad anterior y, por tanto, de la asociatividad de la operación grupal de curvas elípticas a modo de continuidad.
Supongamos que f es el polinomio cúbico que desaparece en las tres rectas que pasan por AB, CD, EF y g es el polinomio cúbico que desaparece en las otras tres rectas BC, DE, FA . Elija un punto genérico P en la cónica y elija λ para que la cúbica h = f + λg desaparezca en P. Entonces h = 0 es una cúbica que tiene 7 puntos A, B, C, D, E, F, P en común con la cónica. Pero según el teorema de Bézout , una cúbica y una cónica tienen como máximo 3 × 2 = 6 puntos en común, a menos que tengan un componente común. Entonces la cúbica h = 0 tiene un componente en común con la cónica que debe ser la propia cónica, por lo que h = 0 es la unión de la cónica y una recta. Ahora es fácil comprobar que esta línea es la línea de Pascal.
Nuevamente dado el hexágono sobre una cónica del teorema de Pascal con la notación anterior para puntos (en la primera figura), tenemos [7]
Existen casos degenerados del teorema de Pascal de 5 puntos, 4 puntos y 3 puntos. En un caso degenerado, dos puntos de la figura previamente conectados coincidirán formalmente y la línea de conexión se convierte en la tangente en el punto fusionado. Vea los casos degenerados que se dan en el esquema agregado y el enlace externo sobre geometrías circulares . Si se eligen líneas adecuadas de las figuras de Pascal como líneas en el infinito, se obtienen muchas figuras interesantes sobre parábolas e hipérbolas .
