En geometría proyectiva , el teorema de Desargues , que lleva el nombre de Girard Desargues , establece:
Denota los tres vértices de un triángulo por a , b y c , y los del otro por A , B y C. La perspectiva axial significa que las líneas ab y AB se encuentran en un punto, las líneas ac y AC se encuentran en un segundo punto y las líneas bc y BC se encuentran en un tercer punto, y que estos tres puntos se encuentran en una línea común llamada eje de perspectiva. . La perspectiva central significa que las tres líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes, en un punto llamado centro de perspectiva .
Este teorema de intersección es cierto en el plano euclidiano habitual , pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" retrocede hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano sumando puntos en el infinito, siguiendo a Jean-Victor Poncelet . Esto da como resultado un plano proyectivo .
El teorema de Desargues es válido para el plano proyectivo real y para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente a partir de un campo o anillo de división ; que incluye cualquier espacio proyectivo de dimensión mayor que dos o en el que se cumple el teorema de Pappus . Sin embargo, hay muchos " planos no desarguesianos " en los que el teorema de Desargues es falso.
Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para usar la perspectiva ( Manière Universelle de M. Desargues pour practiquer la outlook ) de un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648. [1] por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602-1676). [2]
La importancia del teorema de Desargues en la geometría proyectiva abstracta se debe especialmente al hecho de que un espacio proyectivo satisface ese teorema si y sólo si es isomorfo a un espacio proyectivo definido sobre un campo o anillo de división.
En un espacio afín como el plano euclidiano una afirmación similar es cierta, pero sólo si se enumeran varias excepciones que involucran líneas paralelas. El teorema de Desargues es, por tanto, uno de los teoremas geométricos más simples cuyo hogar natural es un espacio proyectivo en lugar de afín.
Por definición, dos triángulos son perspectiva si y sólo si están en perspectiva central (o, de manera equivalente según este teorema, en perspectiva axial). Tenga en cuenta que los triángulos en perspectiva no tienen por qué ser similares .
Bajo la dualidad estándar de la geometría proyectiva plana (donde los puntos corresponden a líneas y la colinealidad de puntos corresponde a la concurrencia de líneas), el enunciado del teorema de Desargues es autodual: la perspectiva axial se traduce en perspectiva central y viceversa. La configuración de Desargues (abajo) es una configuración autodual. [3]
Esta autodualidad en el enunciado se debe a la forma moderna habitual de escribir el teorema. Históricamente, el teorema solo decía: "En un espacio proyectivo, un par de triángulos con perspectiva central es perspectiva axial" y el dual de esta afirmación se llamaba lo contrario del teorema de Desargues y siempre se le conocía con ese nombre. [4]
El teorema de Desargues es válido para espacios proyectivos de cualquier dimensión sobre cualquier campo o anillo de división, y también es válido para espacios proyectivos abstractos de dimensión al menos 3. En la dimensión 2, los planos para los que se cumple se denominan planos desarguesianos y son los mismos que los planos que Se pueden dar coordenadas sobre un anillo de división. También hay muchos planos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no se cumple.
El teorema de Desargues es válido para cualquier espacio proyectivo de dimensión al menos 3 y, de manera más general, para cualquier espacio proyectivo que pueda incrustarse en un espacio de dimensión al menos 3.
El teorema de Desargues se puede enunciar de la siguiente manera:
Los puntos A , B , a y b son coplanares (se encuentran en el mismo plano) debido a la supuesta concurrencia de Aa y Bb . Por tanto, las rectas AB y ab pertenecen al mismo plano y deben cruzarse. Además, si los dos triángulos se encuentran en planos diferentes, entonces el punto AB ∩ ab pertenece a ambos planos. Por un argumento simétrico, los puntos AC ∩ ac y BC ∩ bc también existen y pertenecen a los planos de ambos triángulos. Dado que estos dos planos se cruzan en más de un punto, su intersección es una línea que contiene los tres puntos.
Esto prueba el teorema de Desargues si los dos triángulos no están contenidos en el mismo plano. Si están en el mismo plano, el teorema de Desargues se puede demostrar eligiendo un punto que no esté en el plano, usándolo para levantar los triángulos fuera del plano para que el argumento anterior funcione y luego proyectándolos nuevamente hacia el plano. El último paso de la prueba falla si el espacio proyectivo tiene una dimensión menor que 3, ya que en este caso no es posible encontrar un punto que no esté en el plano.
El teorema de Monge también afirma que tres puntos se encuentran en una línea y tiene una prueba usando la misma idea de considerarla en tres dimensiones en lugar de dos y escribir la línea como una intersección de dos planos.
Como hay planos proyectivos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no es verdadero, [5] es necesario cumplir algunas condiciones adicionales para poder demostrarlo. Estas condiciones generalmente toman la forma de asumir la existencia de suficientes colineaciones de un cierto tipo, lo que a su vez lleva a mostrar que el sistema de coordenadas algebraicas subyacente debe ser un anillo de división (campo sesgado). [6]
El teorema del hexágono de Pappus establece que, si un hexágono AbCaBc se dibuja de tal manera que los vértices a , byc se encuentran en una línea y los vértices A , B y C se encuentran en una segunda línea, entonces cada dos lados opuestos del hexágono se encuentran en dos rectas que se cruzan en un punto y los tres puntos así construidos son colineales. Un plano en el que el teorema de Pappus es universalmente cierto se denomina papiano . Hessenberg (1905) [7] demostró que el teorema de Desargues puede deducirse de tres aplicaciones del teorema de Pappus. [8]
Lo contrario de este resultado no es cierto, es decir, no todos los planos desarguesianos son papios. Satisfacer universalmente el teorema de Pappus equivale a que el sistema de coordenadas subyacente sea conmutativo . Por tanto, un plano definido sobre un anillo de división no conmutativo (un anillo de división que no es un campo) sería desarguesiano pero no papiano. Sin embargo, debido al pequeño teorema de Wedderburn , que establece que todos los anillos de división finitos son campos, todos los planos desarguesianos finitos son papianos. No se conoce ninguna prueba completamente geométrica de este hecho, aunque Bamberg y Penttila (2015) dan una prueba que utiliza sólo hechos algebraicos "elementales" (en lugar de toda la fuerza del pequeño teorema de Wedderburn).
Las diez líneas involucradas en el teorema de Desargues (seis lados de triángulos, las tres líneas Aa , Bb y Cc , y el eje de perspectiva) y los diez puntos involucrados (los seis vértices, los tres puntos de intersección en el eje de perspectiva, y el centro de perspectiva) están dispuestos de tal manera que cada una de las diez líneas pasa por tres de los diez puntos, y cada uno de los diez puntos se encuentra en tres de las diez líneas. Esos diez puntos y diez líneas conforman la configuración de Desargues , un ejemplo de configuración proyectiva . Aunque el teorema de Desargues elige diferentes roles para estas diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede ser elegido como centro de perspectiva, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de perspectiva.
Esta versión restringida establece que si dos triángulos están en perspectiva desde un punto en una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se encuentran en esta línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se encuentran en la línea. Por tanto, se trata de la especialización del teorema de Desargues sólo en los casos en los que el centro de la perspectiva se encuentra en el eje de la perspectiva.
Un plano de Moufang es un plano proyectivo en el que el pequeño teorema de Desargues es válido para cada recta.