Teorema de intersección

En geometría proyectiva , un teorema de intersección o teorema de incidencia es una declaración relativa a una estructura de incidencia , que consta de puntos, líneas y posiblemente objetos de dimensiones superiores y sus incidencias, junto con un par de objetos A y B (por ejemplo, un punto y una línea). El " teorema " establece que, siempre que un conjunto de objetos satisface las incidencias ( es decir, puede identificarse con los objetos de la estructura de incidencia de tal manera que se preserve la incidencia), entonces los objetos A y B también deben ser incidentes. Un teorema de intersección no es necesariamente cierto en todas las geometrías proyectivas; es una propiedad que algunas geometrías satisfacen pero otras no.

Por ejemplo, el teorema de Desargues se puede enunciar utilizando la siguiente estructura de incidencia:

• Puntos: ${\displaystyle \{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}}$
• Líneas: ${\displaystyle \{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}}$
• Incidencias (además de las obvias como ): ${\displaystyle (A,AB)}$ ${\displaystyle \{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}}$

La implicación entonces es que el punto R incide con la línea PQ . ${\displaystyle (R,PQ)}$

Ejemplos famosos

El teorema de Desargues se cumple en un plano proyectivo P si y sólo si P es el plano proyectivo sobre algún anillo de división (campo sesgado) D — . El plano proyectivo se denomina entonces desarguesiano . Un teorema de Amitsur y Bergman establece que, en el contexto de los planos proyectivos desarguesianos, para cada teorema de intersección existe una identidad racional tal que el plano P satisface el teorema de intersección si y sólo si el anillo de división D satisface la identidad racional. ${\displaystyle P=\mathbb {P} _{2}D}$

• El teorema del hexágono de Pappus se cumple en un plano proyectivo desarguesiano si y sólo si D es un campo ; corresponde a la identidad . ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$ ${\displaystyle \forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a}$
• El axioma de Fano (que establece que no ocurre una determinada intersección ) se cumple si y sólo si D tiene característica ; corresponde a la identidad a + a = 0 . ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$ ${\displaystyle \neq 2}$

Referencias

• Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Identidades polinomiales en la teoría de anillos . Matemática Pura y Aplicada. vol. 84. Prensa académica. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6032-5. ISBN 9780125998505.
• Amitsur, SA (1966). "Identidades racionales y aplicaciones al álgebra y geometría". Revista de Álgebra . 3 (3): 304–359. doi : 10.1016/0021-8693(66)90004-4 .