Teorema del hexágono de Pappus

Teorema de geometría

Teorema del hexágono de Pappus: los puntos X , Y y Z son colineales en la recta de Pappus. El hexágono es AbCaBc .

Teorema de Pappus: forma afín
${\displaystyle Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC}$

En matemáticas, el teorema del hexágono de Pappus (atribuido a Pappus de Alejandría ) establece que

• dado un conjunto de puntos colineales y otro conjunto de puntos colineales, entonces los puntos de intersección de los pares de líneas y y son colineales y se encuentran en la línea de Pappus . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono . ${\displaystyle A,B,C,}$ ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle aB,Ac}$ ${\displaystyle aC,Bc}$ ${\displaystyle bC}$ ${\displaystyle AbCaBc}$

Se mantiene en un plano proyectivo sobre cualquier campo, pero falla en planos proyectivos sobre cualquier anillo de división no conmutativo . ^[1] Los planos proyectivos en los que el "teorema" es válido se denominan planos papianos .

Si se restringe el plano proyectivo de modo que la línea de Pappus sea la línea en el infinito, se obtiene la versión afín del teorema de Pappus que se muestra en el segundo diagrama. ${\displaystyle u}$

Si la recta de Pappus y las rectas tienen un punto en común, se obtiene la llamada versión pequeña del teorema de Pappus. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,h}$

El dual de este teorema de incidencia establece que dado un conjunto de líneas concurrentes y otro conjunto de líneas concurrentes , entonces las líneas definidas por pares de puntos resultantes de pares de intersecciones y y y son concurrentes. ( Concurrente significa que las líneas pasan por un punto). ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle A\cap b}$ ${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$ ${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$ ${\displaystyle b\cap C}$

El teorema de Pappus es un caso especial del teorema de Pascal para una cónica: el caso límite cuando la cónica degenera en 2 líneas rectas. El teorema de Pascal es a su vez un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .

La configuración de Pappus es la configuración de 9 líneas y 9 puntos que ocurre en el teorema de Pappus, donde cada línea se encuentra con 3 de los puntos y cada punto se encuentra con 3 líneas. En general, la recta de Pappus no pasa por el punto de intersección de y . ^[3] Esta configuración es auto dual . Dado que, en particular, las rectas tienen las propiedades de las rectas del teorema dual, y la colinealidad de es equivalente a la concurrencia de , el teorema dual es, por tanto, exactamente igual que el teorema mismo. El gráfico de Levi de la configuración de Pappus es el gráfico de Pappus , un gráfico bipartito de distancia regular con 18 vértices y 27 aristas. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$

Prueba: forma afín

Teorema de Pappus: prueba

Si se puede probar la forma afín del enunciado, entonces se prueba la forma proyectiva del teorema de Pappus, ya que la extensión de un plano papiano a un plano proyectivo es única.

Debido al paralelismo en un plano afín hay que distinguir dos casos: y . La clave para una demostración sencilla es la posibilidad de introducir un sistema de coordenadas "adecuado": ${\displaystyle g\not \parallel h}$ ${\displaystyle g\parallel h}$

Caso 1: Las líneas se cruzan en el punto . En este caso se introducen coordenadas tales que (ver diagrama). tienes las coordenadas ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle S=g\cap h}$
${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$

De la paralelidad de las rectas se obtiene y la paralelidad de las rectas produce . Por tanto, la recta tiene pendiente y es paralela . ${\displaystyle Bc,\;Cb}$ ${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$ ${\displaystyle Ab,Ba}$ ${\displaystyle a=(\delta ,0)}$ ${\displaystyle Ca}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Ac}$

Caso 2: (pequeño teorema). En este caso las coordenadas se eligen de manera que . De la paralelidad de y se obtiene y , respectivamente, y al menos la paralelidad . ${\displaystyle g\parallel h\ }$
${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$ ${\displaystyle Ab\parallel Ba}$ ${\displaystyle cB\parallel bC}$ ${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$ ${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$ ${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$

Prueba con coordenadas homogéneas.

Elija coordenadas homogéneas con

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

Sobre las rectas dadas por , tome los puntos para ser ${\displaystyle AC,Ac,AX}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$ ${\displaystyle B,Y,b}$

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

para algunos . Las tres rectas son , por lo que pasan por el mismo punto si y sólo si . La condición para que las tres rectas y con ecuaciones pasen por el mismo punto es . Entonces, este último conjunto de tres líneas es concurrente si los otros ocho conjuntos lo son porque la multiplicación es conmutativa, entonces . De manera equivalente, son colineales. ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle XB,CY,cb}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle rqp=1}$ ${\displaystyle Cb,cB}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle rpq=1}$ ${\displaystyle pq=qp}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

La prueba anterior también muestra que para que el teorema de Pappus sea válido para un espacio proyectivo sobre un anillo de división es suficiente y necesario que el anillo de división sea un campo (conmutativo). El matemático alemán Gerhard Hessenberg demostró que el teorema de Pappus implica el teorema de Desargues . ^{[4] [5]} En general, el teorema de Pappus es válido para algún plano proyectivo si y sólo si es un plano proyectivo sobre un campo conmutativo. Los planos proyectivos en los que el teorema de Pappus no se cumple son los planos proyectivos desarguesianos sobre anillos de división no conmutativos y los planos no desarguesianos .

La prueba no es válida si resulta ser colineal. En ese caso se puede proporcionar una prueba alternativa, por ejemplo, utilizando una referencia proyectiva diferente. ${\displaystyle C,c,X}$

Teorema dual

Debido al principio de dualidad para planos proyectivos, el teorema dual de Pappus es verdadero:

Si se eligen alternativamente 6 líneas de dos lápices con centros , las líneas ${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$ ${\displaystyle G,H}$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

son concurrentes, es decir: tienen un punto en común. El diagrama de la izquierda muestra la versión proyectiva, el de la derecha una versión afín, donde los puntos son puntos en el infinito. Si el punto está en la recta, se obtiene el "pequeño teorema dual" del teorema de Pappus. ${\displaystyle U}$
${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle GH}$

• 
  teorema dual: forma proyectiva
• 
  teorema dual: forma afín

Si en la versión afín del dual "pequeño teorema" el punto también es un punto en el infinito, se obtiene el teorema de Thomsen , una afirmación sobre 6 puntos en los lados de un triángulo (ver diagrama). La figura de Thomsen juega un papel esencial en la coordinación de un plano proyectivo definido axiomático. ^[6] La prueba del cierre de la figura de Thomsen está cubierta por la prueba del "pequeño teorema", dada anteriormente. Pero también existe una prueba directa simple: ${\displaystyle U}$

Debido a que el enunciado del teorema de Thomsen (el cierre de la figura) utiliza sólo los términos conectar, intersectar y paralelo , el enunciado es afínmente invariante y se pueden introducir coordenadas tales que (ver diagrama de la derecha). El punto inicial de la secuencia de cuerdas es Se comprueban fácilmente las coordenadas de los puntos que aparecen en el diagrama, que muestra: el último punto coincide con el primer punto. ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$ ${\displaystyle (0,\lambda ).}$

• 
  Figura de Thomsen (puntos del triángulo ) como teorema dual del pequeño teorema de Pappus (¡ también está en el infinito!). ${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$ ${\displaystyle PQR}$ ${\displaystyle U}$
• 
  Figura de Thomsen: prueba

Otros enunciados del teorema

Los triángulos y son perspectiva desde y , y por tanto, también desde . ${\displaystyle XcC}$ ${\displaystyle BbY}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$

Además de las caracterizaciones anteriores del teorema de Pappus y su dual, las siguientes son afirmaciones equivalentes:

• Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente en dos rectas, entonces los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son colineales. ^[7]
• Organizados en una matriz de nueve puntos (como en la figura y descripción anteriores) y considerados como una evaluación permanente , si las dos primeras filas y las seis tríadas "diagonales" son colineales, entonces la tercera fila es colineal.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

Es decir, si son rectas, entonces el teorema de Pappus establece que debe ser una recta. Además, tenga en cuenta que la misma formulación matricial se aplica a la forma dual del teorema cuando etc. son triples de líneas concurrentes. ^[8] ${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$ ${\displaystyle XYZ}$ ${\displaystyle (A,B,C)}$

• Dados tres puntos distintos en cada una de dos líneas distintas, empareje cada punto en una de las líneas con uno de la otra línea, luego las uniones de los puntos no emparejados se encontrarán en pares (opuestos) en puntos a lo largo de una línea. ^[9]
• Si dos triángulos tienen perspectiva de al menos dos maneras diferentes, entonces tienen perspectiva de tres maneras. ^[4]
• Si y son concurrentes y y son concurrentes, entonces y son concurrentes. ^[8] ${\displaystyle \;AB,CD,\;}$ ${\displaystyle EF}$ ${\displaystyle DE,FA,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AD,BE,}$ ${\displaystyle CF}$

Orígenes

En su forma más antigua conocida, el teorema de Pappus son las proposiciones 138, 139, 141 y 143 del Libro VII de la Colección de Pappus . ^[10] Estos son los Lemas XII, XIII, XV y XVII en la parte del Libro VII que consta de lemas del primero de los tres libros de los Porismos de Euclides .

Los lemas se demuestran en términos de lo que hoy se conoce como razón cruzada de cuatro puntos colineales. Se utilizan tres lemas anteriores. El primero de ellos, el Lema III, tiene el siguiente diagrama (que utiliza las letras de Pappus, con G para Γ, D para Δ, J para Θ y L para Λ).

Aquí tres rectas concurrentes, AB, AG y AD, están cruzadas por dos rectas, JB y JE, que concurren en J. También KL se traza paralela a AZ. Entonces

KJ: JL:: (KJ: AG y AG: JL) :: (JD: GD y BG: JB).

Estas proporciones podrían escribirse hoy como ecuaciones: ^[11]

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

La última relación compuesta (es decir, JD: GD y BG: JB) es lo que hoy se conoce como la relación cruzada de los puntos colineales J, G, D y B en ese orden; hoy se denota por (J, G; D, B). Entonces hemos demostrado que esto es independiente de la elección de la línea recta particular JD que cruza las tres líneas rectas que concurren en A. En particular

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

No importa de qué lado de A caiga la recta JE. En particular, la situación puede ser como la del siguiente diagrama, que es el diagrama del Lema X.

Al igual que antes, tenemos (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Pappus no prueba esto explícitamente; pero el lema X es inverso, es decir, que si estas dos razones cruzadas son iguales y las rectas BE y DH se cruzan en A, entonces los puntos G, A y Z deben ser colineales.

Lo que mostramos originalmente se puede escribir como (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), con ∞ tomando el lugar de la (inexistente) intersección de JK y AG. Pappus muestra esto, en efecto, en el Lema XI, cuyo diagrama, sin embargo, tiene letras diferentes:

Lo que muestra Pappus es DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, que podemos escribir como

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

El diagrama del Lema XII es:

El diagrama del Lema XIII es el mismo, pero BA y DG, extendidos, se encuentran en N. En cualquier caso, considerando las rectas que pasan por G cortadas por las tres rectas que pasan por A, (y aceptando que las ecuaciones de razones cruzadas siguen siendo válidas después permutación de las entradas), tenemos por el Lema III o XI

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Considerando líneas rectas que pasan por D cortadas por las tres líneas rectas que pasan por B, tenemos

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

Por lo tanto (E, H; J, G) = (E, K; D, L), por lo que según el Lema X, los puntos H, M y K son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono ADEGBZ son colineales.

Los lemas XV y XVII son que, si el punto M se determina como la intersección de HK y BG, entonces los puntos A, M y D son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono BEKHZG son colineales.

Notas

1. Coxeter, págs. 236–7
2. Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie , BI-Taschenbuch, 1969, pág. 93
3. Sin embargo, esto ocurre cuando y están en perspectiva , es decir, y son concurrentes. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Aa,Bb}$ ${\displaystyle Cc}$
4. Coxeter 1969, pág. 238
5. Según (Dembowski 1968, pág. 159, nota al pie 1), la prueba original de Hessenberg, Hessenberg (1905), no está completa; descartó la posibilidad de que pudieran producirse algunos incidentes adicionales en la configuración de Desargues. Cronheim 1953 proporciona una prueba completa.
6. W. Blaschke: Geometría proyectiva , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3034869320 , pág.190
7. Coxeter, pag. 231
8. Coxeter, pág. 233
9. Cual, capítulo 14
10. Heath (Vol. II, p. 421) cita estas proposiciones. Los dos últimos pueden entenderse como recíprocos de los dos primeros. Kline (p. 128) cita sólo la Proposición 139. La numeración de las proposiciones es la asignada por Hultsch.
11. Una razón para utilizar la notación anterior es que, para los antiguos griegos, una proporción no es un número ni un objeto geométrico. Hoy en día podemos pensar en la razón como una clase de equivalencia de pares de objetos geométricos. Además, para los griegos la igualdad es lo que hoy podríamos llamar congruencia. En particular, distintos segmentos de línea pueden ser iguales. Las proporciones no son iguales en este sentido; pero pueden ser iguales.

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, señor  0123930
• Cronheim, A. (1953), "Una prueba del teorema de Hessenberg", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 4 (2): 219–221, doi :10.2307/2031794, JSTOR  2031794
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer-Verlag
• Heath, Thomas (1981) [1921], Una historia de las matemáticas griegas , Nueva York: Publicaciones de Dover
• Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen , Berlín / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161–172, doi :10.1007/BF01457558, ISSN  1432-1807, S2CID  120456855
• Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt , Berlín{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , Nueva York: Oxford University Press
• Pambucciano, Víctor; Schacht, Celia (2019), “El destino axiomático de los teoremas de Pappus y Desargues”, en Dani, SG; Papadopoulos, A. (eds.), Geometría en la historia , Springer, págs. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
• Whicher, Olive (1971), Geometría proyectiva , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4

enlaces externos

• Teorema del hexágono de Pappus en el corte del nudo
• Doble al teorema del hexágono de Pappus al cortar el nudo
• Teorema de Pappus: nueve demostraciones y tres variaciones