La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura ) es una geometría sin el uso de coordenadas . Se basa en el método axiomático para demostrar todos los resultados a partir de unas pocas propiedades básicas llamadas inicialmente postulados y en la actualidad axiomas .
El término "geometría sintética" fue acuñado recién después del siglo XVII, y de la introducción por René Descartes del método de coordenadas, que se denominó geometría analítica . Así pues, el término "geometría sintética" se introdujo para referirse a los métodos más antiguos que, antes de Descartes, eran los únicos conocidos.
Según Felix Klein
La geometría sintética es la que estudia las figuras como tales, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica utiliza sistemáticamente fórmulas que pueden escribirse tras la adopción de un sistema de coordenadas apropiado. [1]
El primer enfoque sistemático para la geometría sintética son los Elementos de Euclides . Sin embargo, a finales del siglo XIX se demostró que los postulados de Euclides no eran suficientes para caracterizar la geometría. El primer sistema axiomático completo para la geometría fue propuesto recién a finales del siglo XIX por David Hilbert . Al mismo tiempo, se demostró que tanto los métodos sintéticos como los analíticos podían utilizarse para construir la geometría. El hecho de que los dos enfoques sean equivalentes ha sido demostrado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica .
Debido a esta equivalencia, la distinción entre geometría sintética y analítica ya no se utiliza, excepto en el nivel elemental o para geometrías que no están relacionadas con ningún tipo de números, como algunas geometrías finitas y geometrías no desarguesianas . [ cita requerida ]
El proceso de síntesis lógica comienza con un punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivos y axiomas sobre estos primitivos:
A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis se lleva a cabo como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando se demuestra rigurosamente un resultado significativo, se convierte en un teorema .
No existe un conjunto fijo de axiomas para la geometría, ya que se puede elegir más de un conjunto consistente . Cada uno de estos conjuntos puede conducir a una geometría diferente, aunque también hay ejemplos de conjuntos diferentes que dan la misma geometría. Con esta plétora de posibilidades, ya no es apropiado hablar de "geometría" en singular.
Históricamente, el postulado de las paralelas de Euclides ha resultado ser independiente de los demás axiomas. Su simple eliminación da como resultado la geometría absoluta , mientras que su negación da como resultado la geometría hiperbólica . Otros conjuntos de axiomas consistentes pueden dar como resultado otras geometrías, como la geometría proyectiva , la elíptica , la esférica o la afín .
Los axiomas de continuidad e “intermediación” también son opcionales, por ejemplo, se pueden crear geometrías discretas descartándolos o modificándolos.
Siguiendo el programa Erlangen de Klein , la naturaleza de cualquier geometría dada puede verse como la conexión entre la simetría y el contenido de las proposiciones, más que el estilo de desarrollo.
El tratamiento original de Euclides permaneció indiscutido durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas por Gauss , Bolyai , Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar las suposiciones subyacentes de Euclides. [3]
Uno de los primeros analistas franceses resumió la geometría sintética de esta manera:
El apogeo de la geometría sintética puede considerarse el siglo XIX, cuando los métodos analíticos basados en coordenadas y cálculo fueron ignorados por algunos geómetras como Jakob Steiner , en favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva . Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo a partir de axiomas de incidencia es en realidad una teoría más amplia (con más modelos ) que la que se encuentra a partir de un espacio vectorial de dimensión tres. La geometría proyectiva tiene de hecho la expresión sintética más simple y elegante de cualquier geometría. [5]
En su programa de Erlangen , Felix Klein minimizó la tensión entre los métodos sintéticos y analíticos:
El estudio axiomático minucioso de la geometría euclidiana condujo a la construcción del cuadrilátero de Lambert y del cuadrilátero de Saccheri . Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana , donde se niega el axioma de las paralelas de Euclides. Gauss , Bolyai y Lobachevski construyeron de forma independiente la geometría hiperbólica , donde las líneas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se volvió ampliamente accesible a través del modelo del disco de Poincaré , donde los movimientos están dados por las transformaciones de Möbius . De manera similar, Riemann , un estudiante de Gauss, construyó la geometría de Riemann , de la cual la geometría elíptica es un caso particular.
Otro ejemplo se refiere a la geometría inversa propuesta por Ludwig Immanuel Magnus , que puede considerarse sintética en su espíritu. La operación de reciprocidad, estrechamente relacionada con ella , expresa el análisis del plano.
Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la adición y la multiplicación, eran de hecho consecuencias de la incidencia de las líneas en las configuraciones geométricas . David Hilbert demostró [7] que la configuración de Desargues desempeñaba un papel especial. Ruth Moufang y sus estudiantes realizaron trabajos posteriores . Los conceptos han sido uno de los motivadores de la geometría de incidencia .
Cuando se toman como primarias las líneas paralelas , la síntesis produce geometría afín . Aunque la geometría euclidiana es tanto una geometría afín como métrica , en general, los espacios afines pueden carecer de una métrica. La flexibilidad adicional que esto permite hace que la geometría afín sea apropiada para el estudio del espacio-tiempo , como se analiza en la historia de la geometría afín .
En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley lanzaron una nota nostálgica sobre la geometría sintética:
Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal , topología y teoría de grafos , donde el tema se desarrolla a partir de los primeros principios y las proposiciones se deducen mediante pruebas elementales . Esperar reemplazar la geometría sintética por la analítica conduce a la pérdida de contenido geométrico. [8]
El estudiante de geometría actual tiene a su disposición otros axiomas además del de Euclides: véanse los axiomas de Hilbert y los axiomas de Tarski .
Ernst Kötter publicó un informe (en alemán) en 1901 sobre "El desarrollo de la geometría sintética desde Monge hasta Staudt (1847)" ; [9]
Las demostraciones sintéticas de teoremas geométricos hacen uso de construcciones auxiliares (como líneas auxiliares ) y conceptos como igualdad de lados o ángulos y semejanza y congruencia de triángulos. Se pueden encontrar ejemplos de tales demostraciones en los artículos Teorema de la mariposa , Teorema de la bisectriz de un ángulo , Teorema de Apolonio , Teorema de la bandera británica , Teorema de Ceva , Teorema de los círculos inscritos iguales , Teorema de la media geométrica , Fórmula de Herón , Teorema del triángulo isósceles , Ley de los cosenos y otros que están vinculados aquí .
Junto con la geometría computacional se ha fundado una geometría sintética computacional que tiene una estrecha relación, por ejemplo, con la teoría de matroides . La geometría diferencial sintética es una aplicación de la teoría de topos a los fundamentos de la teoría de variedades diferenciables .