Álgebra geométrica es un libro escrito por Emil Artin y publicado por Interscience Publishers , Nueva York, en 1957. Fue republicado en 1988 en la serie Wiley Classics ( ISBN 0-471-60839-4 ).
En 1962, se publicó Algèbre Géométrique , una traducción al francés de Michel Lazard , por Gauthier-Villars y se reimprimió en 1996. ( ISBN 2-87647-089-6 ) En 1968, Feltrinelli publicó una traducción al italiano en Milán. [1] En 1969, Nauka publicó una traducción al ruso en Moscú [2]
Álgebra geométrica , que se esperaba desde hace tiempo como secuela de Álgebra moderna (1930), que Bartel van der Waerden publicó como su versión de las notas tomadas en un curso con Artin, es una monografía de investigación adecuada para estudiantes de posgrado que estudian matemáticas. Del prefacio:
El libro está ilustrado con seis configuraciones geométricas en el capítulo 2, que recorre el camino desde los axiomas geométricos hasta los axiomas de campo previamente explorados por Karl von Staudt y David Hilbert .
El capítulo uno se titula "Nociones preliminares". Las diez secciones explican nociones de teoría de conjuntos , espacios vectoriales , homomorfismos , dualidad , ecuaciones lineales , teoría de grupos , teoría de campos , campos ordenados y valuaciones . En la página VII Artin dice: "El capítulo I debería usarse principalmente como un capítulo de referencia para las demostraciones de ciertos teoremas aislados".
El capítulo dos se titula "Geometría afín y proyectiva". Artin plantea este desafío para generar álgebra (un cuerpo k ) a partir de axiomas geométricos:
Se recurre a la variante reflexiva del paralelismo : las líneas paralelas tienen todos sus puntos en común o ninguno de ellos. Por lo tanto, una línea es paralela a sí misma.
El axioma 1 requiere una línea única para cada par de puntos distintos y un único punto de intersección de líneas no paralelas. El axioma 2 depende de una línea y un punto; requiere una única línea paralela a la línea y que pase por el punto. El axioma 3 requiere tres puntos no colineales. El axioma 4a requiere una traslación para mover cualquier punto a cualquier otro. El axioma 4b requiere una dilatación en P para mover Q a R cuando los tres puntos son colineales .
Artin escribe la línea que pasa por P y Q como P + Q . Para definir una dilatación escribe: "Sean dos puntos distintos P y Q y sus imágenes P ′ y Q ′". Para sugerir el papel de la incidencia en geometría, una dilatación se especifica mediante esta propiedad: "Si l ′ es la línea paralela a P + Q que pasa por P ′, entonces Q ′ se encuentra en l ′". Por supuesto, si P ′ ≠ Q ′, entonces esta condición implica que P + Q es paralelo a P ′ + Q ′, de modo que la dilatación es una transformación afín .
Las dilataciones sin puntos fijos son traslaciones y se demuestra que el grupo de traslaciones T es un subgrupo invariante del grupo de dilataciones. Para una dilatación σ y un punto P , la traza es P + σP . Las aplicaciones T → T que son homomorfismos que preservan la traza son los elementos de k . Primero se demuestra que k es un anillo asociativo con 1 , luego un cuerpo sesgado .
Por el contrario, existe una geometría afín basada en cualquier cuerpo oblicuo k . Los axiomas 4a y 4b son equivalentes al teorema de Desargues . Cuando el teorema del hexágono de Pappus se cumple en la geometría afín, k es conmutativo y, por lo tanto, un cuerpo.
El capítulo tres se titula "Geometría simpléctica y ortogonal". Comienza con estructuras métricas en espacios vectoriales antes de definir la geometría simpléctica y ortogonal y describir sus características comunes y especiales. Hay secciones sobre geometría en cuerpos finitos y en cuerpos ordenados.
El capítulo cuatro trata de los grupos lineales generales . En primer lugar, se presenta la teoría de determinantes sobre "cuerpos no conmutativos" ( anillos de división ) de Jean Dieudonné . Artin describe la estructura del grupo GL( n, k ). Se ofrecen más detalles sobre los espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.
El capítulo cinco es "La estructura de los grupos simpléticos y ortogonales". Incluye secciones sobre espacios elípticos , álgebra de Clifford y norma espinorial.
Alice T. Schafer escribió: "Los matemáticos encontrarán en muchas páginas amplia evidencia de la capacidad del autor para penetrar en un tema y presentar el material de una manera particularmente elegante". Señala la superposición entre el texto de Artin y Álgebra lineal y geometría proyectiva de Baer o La geometría de los grupos clásicos de Dieudonné . [3]
Jean Dieudonné reseñó el libro para Mathematical Reviews y lo colocó al mismo nivel que los Grundlagen der Geometrie de Hilbert . [4]