En geometría , la configuración de Desargues es una configuración de diez puntos y diez líneas, con tres puntos por línea y tres líneas por punto. Recibe su nombre en honor a Girard Desargues .
La configuración de Desargues se puede construir en dos dimensiones a partir de los puntos y líneas que aparecen en el teorema de Desargues , en tres dimensiones a partir de cinco planos en posición general , o en cuatro dimensiones a partir de la 5-celda , el simplex regular de cuatro dimensiones . Tiene un gran grupo de simetrías, llevando cualquier punto a cualquier otro punto y cualquier línea a cualquier otra línea. También es autodual, lo que significa que si los puntos se reemplazan por líneas y viceversa utilizando la dualidad proyectiva , resulta la misma configuración.
Los gráficos asociados con la configuración de Desargues incluyen el gráfico de Desargues (su gráfico de incidencias de puntos y líneas) y el gráfico de Petersen (su gráfico de líneas no incidentes). La configuración de Desargues es una de las diez configuraciones diferentes con diez puntos y líneas, tres puntos por línea y tres líneas por punto, nueve de las cuales se pueden realizar en el plano euclidiano .
Se dice que dos triángulos y están en perspectiva centralmente si las líneas , , y se encuentran en un punto común, llamado centro de perspectividad . Están en perspectiva axialmente si los puntos de intersección de los lados correspondientes del triángulo, , , y se encuentran todos en una línea común, el eje de perspectividad . El teorema de Desargues en geometría establece que estas dos condiciones son equivalentes: si dos triángulos están en perspectiva centralmente, entonces también deben estar en perspectiva axialmente, y viceversa. Cuando esto sucede, los diez puntos y diez líneas de las dos perspectividades (los seis vértices del triángulo, tres puntos de cruce y centro de perspectividad, y los seis lados del triángulo, tres líneas a través de pares correspondientes de vértices y eje de perspectividad) juntos forman una instancia de la configuración de Desargues. [1]
Aunque puede estar embebida en dos dimensiones, la configuración de Desargues tiene una construcción muy simple en tres dimensiones: para cualquier configuración de cinco planos en posición general en el espacio euclidiano , los diez puntos donde se encuentran tres planos y las diez líneas formadas por la intersección de dos de los planos juntos forman una instancia de la configuración. [2] Esta construcción está estrechamente relacionada con la propiedad de que todo plano proyectivo que pueda ser embebido en un espacio proyectivo tridimensional obedece al teorema de Desargues. Esta realización tridimensional de la configuración de Desargues también se denomina pentaedro completo . [2]
El pentátopo o pentátopo (un símplex regular en cuatro dimensiones) tiene cinco vértices , diez aristas , diez crestas triangulares (caras bidimensionales) y cinco facetas tetraédricas ; las aristas y las crestas se tocan entre sí en el mismo patrón que la configuración de Desargues. Extiende cada una de las aristas del pentátopo hasta la línea que lo contiene (su envoltura afín ), extiende de manera similar cada triángulo del pentátopo hasta el plano bidimensional que lo contiene e interseca estas líneas y planos mediante un hiperplano tridimensional que no contiene ni es paralelo a ninguno de ellos. Cada línea interseca el hiperplano en un punto, y cada plano interseca el hiperplano en una línea; estos diez puntos y líneas forman una instancia de la configuración de Desargues. [2]
Aunque el teorema de Desargues elige diferentes papeles para sus diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede ser elegido para ser el centro de la perspectividad, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de la perspectividad. La configuración de Desargues tiene un grupo de simetría de orden 120; es decir, hay 120 formas diferentes de permutar los puntos y líneas de la configuración de una manera que preserve sus incidencias punto-línea. [3] La construcción tridimensional de la configuración de Desargues hace que estas simetrías sean más evidentes: si la configuración se genera a partir de cinco planos en posición general en tres dimensiones, entonces cada una de las 120 permutaciones diferentes de estos cinco planos corresponde a una simetría de la configuración. [2]
La configuración de Desargues es autodual, lo que significa que es posible encontrar una correspondencia entre puntos de una configuración de Desargues y líneas de una segunda configuración, y entre líneas de la primera configuración y puntos de una segunda configuración, de tal manera que se conserven todas las incidencias de la configuración. [4]
El gráfico de Levi de la configuración de Desargues, un gráfico que tiene un vértice por cada punto o línea en la configuración, se conoce como el gráfico de Desargues . Debido a las simetrías y la autodualidad de la configuración de Desargues, el gráfico de Desargues es un gráfico simétrico . [1]
Kempe (1886) dibuja un gráfico diferente para esta configuración, con diez vértices que representan sus diez líneas, y con dos vértices conectados por una arista siempre que las dos líneas correspondientes no se encuentren en uno de los puntos de la configuración. Alternativamente, los vértices de este gráfico pueden interpretarse como que representan los puntos de la configuración de Desargues, en cuyo caso las aristas conectan pares de puntos para los cuales la línea que los conecta no es parte de la configuración. Esta publicación marca la primera aparición conocida del gráfico de Petersen en la literatura matemática, 12 años antes del uso del mismo gráfico por parte de Julius Petersen como un contraejemplo para un problema de coloración de aristas . [5]
Como configuración proyectiva, la configuración de Desargues tiene la notación (10 3 10 3 ), lo que significa que cada uno de sus diez puntos es incidente a tres líneas y cada una de sus diez líneas es incidente a tres puntos. Sus diez puntos pueden verse de una manera única como un par de pentágonos mutuamente inscritos, o como un decágono autoinscrito . [6] El grafo de Desargues , un grafo cúbico simétrico bipartito de 20 vértices , se llama así porque puede interpretarse como el grafo de Levi de la configuración de Desargues, con un vértice para cada punto y línea de la configuración y una arista para cada par punto-línea incidente. [1]
Existen también otras ocho configuraciones (10 3 10 3 ) (es decir, conjuntos de puntos y líneas en el plano euclidiano con tres líneas por punto y tres puntos por línea) que no son isomorfas en cuanto a incidencia con respecto a la configuración de Desargues, una de las cuales se muestra a la derecha. Existe una décima configuración como geometría finita abstracta , pero no se puede realizar utilizando puntos y líneas euclidianos. [7] En todas estas configuraciones, cada punto tiene otros tres puntos que no son colineales con él. Pero en la configuración de Desargues, estos tres puntos siempre son colineales entre sí (si el punto elegido es el centro de la perspectividad, entonces los tres puntos forman el eje de la perspectividad), mientras que en la otra configuración que se muestra en la ilustración estos tres puntos forman un triángulo de tres líneas. Al igual que con la configuración de Desargues, la otra configuración representada puede verse como un par de pentágonos mutuamente inscritos. [8]
