serie de taylor

Aproximación matemática de una función.

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se acerca a la función correcta. Esta imagen muestra sen x y sus aproximaciones de Taylor mediante polinomios de grado 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 y 13 en x = 0 .

En matemáticas , la serie de Taylor o expansión de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un solo punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor llevan el nombre de Brook Taylor , quien las introdujo en 1715. Una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin cuando 0 es el punto donde se consideran las derivadas, en honor a Colin Maclaurin , quien hizo un uso extensivo de este caso especial de series de Taylor en el siglo XVIII.

La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina n- ésimo polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que generalmente se vuelven más precisas a medida que n aumenta. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas del error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente , su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo ) que contenga x . Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Definición

La serie de Taylor de una función f  ( x ) real o de valor complejo , que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a , es la serie de potencias

$${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$$

norte !factorialnf ^{( n )} ( a )enésimadepunto aff( x − a ) ⁰0. ambos están definidos como 1notación sigma^[1]a = 0^[2]

$${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

Ejemplos

La serie de Taylor de cualquier polinomio es el polinomio mismo.

La serie Maclaurin de1/1- xes la serie geométrica

$${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$$

Entonces, al sustituir x por 1 − x , la serie de Taylor de1/Xen a = 1 es

$${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$$

Al integrar la serie de Maclaurin anterior, encontramos la serie de Maclaurin de ln(1 − x ) , donde ln denota el logaritmo natural :

$${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$$

La serie de Taylor correspondiente de ln x en a = 1 es

$${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$$

y de manera más general, la correspondiente serie de Taylor de ln x en un punto arbitrario distinto de cero a es:

$${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$$

La serie de Maclaurin de la función exponencial e ^x es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

La expansión anterior se cumple porque la derivada de e ^x con respecto a x también es e ^x y e ⁰ es igual a 1. Esto deja los términos ( x − 0) ⁿ en el numerador y n ! en el denominador de cada término de la suma infinita.

Historia

El antiguo filósofo griego Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo rechazó como una imposibilidad; ^[3] el resultado fue la paradoja de Zenón . Más tarde, Aristóteles propuso una resolución filosófica de la paradoja, pero el contenido matemático aparentemente quedó sin resolver hasta que Arquímedes lo retomó , como lo había sido antes de Aristóteles por el atomista presocrático Demócrito . Fue mediante el método de agotamiento de Arquímedes que se pudo realizar un número infinito de subdivisiones progresivas para lograr un resultado finito. ^[4] Liu Hui empleó de forma independiente un método similar unos siglos más tarde. ^[5]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos de series específicas de Taylor (pero no del método general) fueron dados por el matemático indio Madhava de Sangamagrama . ^[6] Aunque no sobrevive ningún registro de su trabajo, los escritos de sus seguidores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala sugieren que encontró la serie de Taylor para las funciones trigonométricas de seno , coseno y arcotangente (ver serie Madhava ). Durante los dos siglos siguientes, sus seguidores desarrollaron nuevas expansiones de series y aproximaciones racionales.

A finales de 1670, a James Gregory se le mostraron en una carta de John Collins varias series de Maclaurin ( ${\textstyle \sin x,}$ y ) derivadas de Isaac Newton , y se le dijo que Newton había desarrollado un método general para expandir funciones en serie. De hecho, Newton había utilizado un método engorroso que implicaba una larga división de series y una integración término por término, pero Gregory no lo sabía y se propuso descubrir un método general por sí mismo. A principios de 1671, Gregory descubrió algo parecido a la serie general de Maclaurin y envió una carta a Collins incluyendo series para (la integral de ), (la integral de sec , la función gudermanniana inversa ) y (la función gudermanniana). Sin embargo, pensando que simplemente había redesarrollado un método de Newton, Gregory nunca describió cómo obtuvo estas series, y sólo se puede inferir que entendió el método general examinando los borradores que había garabateado en el reverso de otra carta de 1671. ^[7] ${\textstyle \cos x,}$ ${\textstyle \arcsin x,}$ ${\textstyle x\cot x}$ ${\textstyle \arctan x,}$ ${\textstyle \tan x,}$ ${\textstyle \sec x,}$ ${\textstyle \ln \,\sec x}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\textstyle \ln \,\tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}}$ ${\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},}$ ${\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }$

En 1691-1692, Isaac Newton escribió una declaración explícita de la serie de Taylor y Maclaurin en una versión inédita de su obra De Quadratura Curvarum . Sin embargo, este trabajo nunca se completó y las secciones relevantes se omitieron en las partes publicadas en 1704 bajo el título Tractatus de Quadratura Curvarum .

No fue hasta 1715 que Brook Taylor ^[8] finalmente publicó un método general para construir estas series para todas las funciones para las que existen , de quien ahora reciben el nombre las series.

La serie Maclaurin lleva el nombre de Colin Maclaurin , un profesor de Edimburgo, que publicó el caso especial del resultado de Taylor a mediados del siglo XVIII.

Funciones analíticas

La función e ^{(−1/ x 2 )} no es analítica en x = 0 : la serie de Taylor es idénticamente 0, aunque la función no lo es.

Si f  ( x ) está dada por una serie de potencias convergentes en un disco abierto centrado en b en el plano complejo (o un intervalo en la recta real), se dice que es analítica en esta región. Así, para x en esta región, f está dada por una serie de potencias convergentes

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$$

Diferenciando por x la fórmula anterior n veces, luego estableciendo x = b se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$$

y por tanto el desarrollo de la serie de potencias concuerda con la serie de Taylor. Por tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en b si y sólo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto del disco.

Si f  ( x ) es igual a la suma de su serie de Taylor para todo x en el plano complejo, se llama entero . Los polinomios, la función exponencial e ^x y las funciones trigonométricas seno y coseno son ejemplos de funciones completas. Ejemplos de funciones que no son completas incluyen la raíz cuadrada , el logaritmo , la función trigonométrica tangente y su inversa, arctan . Para estas funciones las series de Taylor no convergen si x está lejos de b . Es decir, la serie de Taylor diverge en x si la distancia entre x y b es mayor que el radio de convergencia . La serie de Taylor se puede utilizar para calcular el valor de una función completa en cada punto, si el valor de la función y de todas sus derivadas se conocen en un solo punto.

Los usos de la serie de Taylor para funciones analíticas incluyen:

1. Las sumas parciales (los polinomios de Taylor ) de la serie se pueden utilizar como aproximaciones de la función. Estas aproximaciones son buenas si se incluyen suficientes términos.
2. La diferenciación e integración de series de potencias se puede realizar término por término y, por tanto, es particularmente sencilla.
3. Una función analítica se extiende únicamente a una función holomorfa en un disco abierto en el plano complejo . Esto pone a disposición la maquinaria de análisis complejos .
4. La serie (truncada) se puede utilizar para calcular valores de funciones numéricamente (a menudo reformulando el polinomio a la forma de Chebyshev y evaluándolo con el algoritmo de Clenshaw ).
5. Las operaciones algebraicas se pueden realizar fácilmente en la representación de series de potencias; por ejemplo, la fórmula de Euler se deriva de expansiones en series de Taylor para funciones trigonométricas y exponenciales. Este resultado es de fundamental importancia en campos como el análisis armónico .
6. Las aproximaciones que utilizan los primeros términos de una serie de Taylor pueden hacer posibles problemas que de otro modo serían irresolubles para un dominio restringido; Este enfoque se utiliza a menudo en física.

Error de aproximación y convergencia.

La función seno (azul) se aproxima estrechamente mediante su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un período completo centrado en el origen.

Los polinomios de Taylor para ln(1 + x ) solo proporcionan aproximaciones precisas en el rango −1 < x ≤ 1 . Para x > 1 , los polinomios de Taylor de mayor grado proporcionan peores aproximaciones.

Las aproximaciones de Taylor para ln(1 + x ) (negro). Para x > 1 , las aproximaciones divergen.

En la imagen se muestra una aproximación precisa de sen x alrededor del punto x = 0 . La curva rosa es un polinomio de grado siete:

$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$$

El error en esta aproximación no es más que | x | ^9/9  ! . Para un ciclo completo centrado en el origen ( −π < x < π ) el error es menor que 0,08215. En particular, para −1 < x < 1 , el error es menor que 0,000003.

Por el contrario, también se muestra una imagen de la función logaritmo natural ln(1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de a = 0 . Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región −1 < x ≤ 1 ; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado son peores aproximaciones de la función.

El error incurrido al aproximar una función por su polinomio de Taylor de enésimo grado se llama resto o residual y se denota por la función R _n ( x ) . El teorema de Taylor se puede utilizar para obtener un límite del tamaño del resto .

En general, las series de Taylor no necesitan ser convergentes en absoluto. Y de hecho el conjunto de funciones con serie de Taylor convergente es un conjunto exiguo en el espacio de Fréchet de funciones suaves . E incluso si la serie de Taylor de una función f converge, su límite no tiene por qué ser igual al valor de la función f  ( x ) . Por ejemplo, la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

es infinitamente diferenciable en x = 0 y tiene todas las derivadas cero allí. En consecuencia, la serie de Taylor de f  ( x ) alrededor de x = 0 es idénticamente cero. Sin embargo, f  ( x ) no es la función cero, por lo que no es igual a su serie de Taylor alrededor del origen. Por tanto, f  ( x ) es un ejemplo de función suave no analítica .

En análisis real , este ejemplo muestra que existen funciones infinitamente diferenciables f  ( x ) cuyas series de Taylor no son iguales a f  ( x ) incluso si convergen. Por el contrario, las funciones holomorfas estudiadas en análisis complejo siempre poseen una serie de Taylor convergente, e incluso la serie de Taylor de funciones meromórficas , que podrían tener singularidades, nunca convergen a un valor diferente de la función misma. Sin embargo, la función compleja e ^{−1/ z 2} no tiende a 0 cuando z tiende a 0 a lo largo del eje imaginario, por lo que no es continua en el plano complejo y su serie de Taylor no está definida en 0.

De manera más general, toda secuencia de números reales o complejos puede aparecer como coeficientes en la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable definida sobre la recta real, consecuencia del lema de Borel . Como resultado, el radio de convergencia de una serie de Taylor puede ser cero. Incluso hay funciones infinitamente diferenciables definidas sobre la recta real cuyas series de Taylor tienen un radio de convergencia 0 en todas partes. ^[9]

Una función no se puede escribir como una serie de Taylor centrada en una singularidad ; en estos casos, a menudo todavía se puede lograr una expansión en serie si se permiten también potencias negativas de la variable x ; ver serie de Laurent . Por ejemplo, f  ( x ) = e ^{−1/ x 2} se puede escribir como una serie de Laurent.

Generalización

La generalización de la serie de Taylor converge al valor de la función misma para cualquier función continua acotada en (0,∞) , y esto se puede hacer usando el cálculo de diferencias finitas . Específicamente, el siguiente teorema, debido a Einar Hille , que para cualquier t > 0 , ^[10]

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$

Aquí Δ^norte
_hes el enésimo operador de diferencias finitas con tamaño de paso h . La serie es precisamente la serie de Taylor, excepto que en lugar de diferenciación aparecen diferencias divididas: la serie es formalmente similar a la serie de Newton . Cuando la función f es analítica en a , los términos de la serie convergen a los términos de la serie de Taylor y, en este sentido, generaliza la serie de Taylor habitual.

En general, para cualquier secuencia infinita a _i , se cumple la siguiente identidad de serie de potencias:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$

Entonces en particular,

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

La serie de la derecha es el valor esperado de f  ( a + X ) , donde X es una variable aleatoria distribuida por Poisson que toma el valor jh con probabilidad e ^{− t / h} ·( t / h ) ^j/j !. Por eso,

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

La ley de los grandes números implica que la identidad se mantiene. ^[11]

Lista de series de Maclaurin de algunas funciones comunes

Siguen varias expansiones importantes de la serie Maclaurin. Todas estas expansiones son válidas para argumentos complejos x .

Funcion exponencial

La función exponencial e ^x (en azul) y la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de Taylor en 0 (en rojo).

La función exponencial (con base e ) tiene serie de Maclaurin ^[12] ${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$

x

La función generadora exponencial de los números de Bell es la función exponencial del predecesor de la función exponencial:

$${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

Logaritmo natural

El logaritmo natural (con base e ) tiene la serie de Maclaurin ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

La última serie se conoce como Serie Mercator , llamada así en honor a Nicholas Mercator (ya que fue publicada en su tratado Logarithmotechnia de 1668 ). ^[14] Ambas series convergen para . (Además, la serie de ln(1 − x ) converge para x = −1 , y la serie de ln(1 + x ) converge para x = 1. ) ^[13] ${\displaystyle |x|<1}$

Series geométricas

La serie geométrica y sus derivadas tienen serie de Maclaurin.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

Todos son convergentes para . Estos son casos especiales de la serie binomial que se presentan en la siguiente sección. ${\displaystyle |x|<1}$

Serie binomial

La serie binomial es la serie de potencias.

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados ^[15]

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

(Si n = 0 , este producto es un producto vacío y tiene valor 1). Converge para cualquier número real o complejo α . ${\displaystyle |x|<1}$

Cuando α = −1 , esta es esencialmente la serie geométrica infinita mencionada en la sección anterior. Los casos especiales α =1/2y α = −1/2dar la función de raíz cuadrada y su inversa : ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

Cuando solo se retiene el término lineal , esto se simplifica a la aproximación binomial .

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas habituales y sus inversas tienen la siguiente serie de Maclaurin: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

Todos los ángulos se expresan en radianes . Los números B _k que aparecen en las expansiones de tan x son los números de Bernoulli . Los E _k en la expansión de sec x son números de Euler . ^[18]

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen series de Maclaurin estrechamente relacionadas con las series de las funciones trigonométricas correspondientes: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

Los números B _k que aparecen en la serie de tanh x son los números de Bernoulli . ^[19]

Funciones polilogarítmicas

Los polilogaritmos tienen estas identidades definitorias:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$

Las funciones chi de Legendre se definen de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

Y las fórmulas que se presentan a continuación se llaman integrales tangentes inversas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

En termodinámica estadística estas fórmulas son de gran importancia.

Funciones elípticas

Las integrales elípticas completas de primer tipo K y de segundo tipo E se pueden definir de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Las funciones theta de Jacobi describen el mundo de las funciones modulares elípticas y tienen estas series de Taylor:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}$$

La secuencia de números de partición regular P(n) tiene esta función generadora:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$

La secuencia numérica de partición estricta Q(n) tiene esa función generadora:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$$

Cálculo de la serie de Taylor.

Existen varios métodos para el cálculo de series de Taylor de un gran número de funciones. Se puede intentar utilizar la definición de la serie de Taylor, aunque esto a menudo requiere generalizar la forma de los coeficientes según un patrón fácilmente aparente. Alternativamente, se pueden utilizar manipulaciones como sustitución, multiplicación o división, suma o resta de series de Taylor estándar para construir la serie de Taylor de una función, en virtud de que la serie de Taylor es una serie de potencias. En algunos casos, también se puede derivar la serie de Taylor aplicando repetidamente la integración por partes . Particularmente conveniente es el uso de sistemas de álgebra computacional para calcular series de Taylor.

Primer ejemplo

Para calcular el polinomio de Maclaurin de séptimo grado para la función

$${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$

primero se puede reescribir la función como

$${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$

la composición de dos funciones y la serie de Taylor para el logaritmo natural es (usando notación O grande ) ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$

y para la función coseno

$${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

Los primeros términos de la segunda serie se pueden sustituir en cada término de la primera serie. Debido a que el primer término de la segunda serie tiene grado 2, tres términos de la primera serie son suficientes para dar un polinomio de séptimo grado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}\!}$$

Como el coseno es una función par , los coeficientes de todas las potencias impares son cero.

Segundo ejemplo

Supongamos que queremos la serie de Taylor en 0 de la función

$${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$$

La serie de Taylor para la función exponencial es

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$

y la serie del coseno es

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

Supongamos que la serie de su cociente es

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$

Multiplicar ambos lados por el denominador y luego expandirlo como una serie produce ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

Comparando los coeficientes de con los coeficientes de ${\displaystyle g(x)\cos x}$ ${\displaystyle e^{x},}$

$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

De este modo , los coeficientes de la serie para se pueden calcular uno a la vez, lo que equivale a una división larga de la serie para y : ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

Tercer ejemplo

Aquí empleamos un método llamado "expansión indirecta" para expandir la función dada. Este método utiliza la conocida expansión de Taylor de la función exponencial. Para expandir (1 + x ) e ^x como una serie de Taylor en x , usamos la serie de Taylor conocida de la función e ^x :

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$$

De este modo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

Serie de Taylor como definiciones

Clásicamente, las funciones algebraicas se definen mediante una ecuación algebraica, y las funciones trascendentales (incluidas las analizadas anteriormente) se definen mediante alguna propiedad que se cumple para ellas, como una ecuación diferencial . Por ejemplo, la función exponencial es la función que es igual a su propia derivada en todas partes y asume el valor 1 en el origen. Sin embargo, también se puede definir una función analítica por su serie de Taylor.

Las series de Taylor se utilizan para definir funciones y " operadores " en diversas áreas de las matemáticas. En particular, esto es cierto en áreas donde las definiciones clásicas de funciones fallan. Por ejemplo, utilizando series de Taylor, se pueden extender funciones analíticas a conjuntos de matrices y operadores, como la matriz exponencial o la matriz logaritmo .

En otras áreas, como el análisis formal, es más conveniente trabajar directamente con las propias series de potencias . Así, se puede definir una solución de una ecuación diferencial como una serie de potencias que, como se espera demostrar, es la serie de Taylor de la solución deseada.

Serie de Taylor en varias variables.

La serie de Taylor también se puede generalizar a funciones de más de una variable con ^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, para una función que depende de dos variables, x e y , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto ( a , b ) es ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales .

Serie de Taylor de segundo orden en varias variables

Una expansión en serie de Taylor de segundo orden de una función con valores escalares de más de una variable se puede escribir de forma compacta como

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$

donde D f  ( a ) es el gradiente de f evaluado en x = a y D ² f  ( a ) es la matriz de Hesse . Aplicando la notación de índices múltiples, la serie de Taylor para varias variables se convierte en

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$$

que debe entenderse como una versión aún más abreviada de múltiples índices de la primera ecuación de este párrafo, con una analogía completa con el caso de una sola variable.

Ejemplo

Aproximación en serie de Taylor de segundo orden (en naranja) de una función f  ( x , y ) = e ^x ln(1 + y ) alrededor del origen.

Para calcular una expansión de la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto ( a , b ) = (0, 0) de la función

$${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$

Primero se calculan todas las derivadas parciales necesarias:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

La evaluación de estas derivadas en el origen da los coeficientes de Taylor.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estos valores en la fórmula general.

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$

produce

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

Dado que ln(1 + y ) es analítico en | y | < 1 , tenemos

$${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

Comparación con la serie de Fourier

La serie trigonométrica de Fourier permite expresar una función periódica (o una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] ) como una suma infinita de funciones trigonométricas ( senos y cosenos ). En este sentido, la serie de Fourier es análoga a la serie de Taylor, ya que esta última permite expresar una función como una suma infinita de potencias . Sin embargo, las dos series se diferencian entre sí en varios aspectos relevantes:

• Los truncamientos finitos de la serie de Taylor de f  ( x ) alrededor del punto x = a son todos exactamente iguales a f en a . Por el contrario, la serie de Fourier se calcula integrando en un intervalo completo, por lo que generalmente no existe un punto en el que todos los truncamientos finitos de la serie sean exactos.
• El cálculo de la serie de Taylor requiere el conocimiento de la función en una pequeña vecindad arbitraria de un punto, mientras que el cálculo de la serie de Fourier requiere conocer la función en todo su intervalo de dominio . En cierto sentido se podría decir que la serie de Taylor es "local" y la serie de Fourier es "global".
• La serie de Taylor se define para una función que tiene infinitas derivadas en un solo punto, mientras que la serie de Fourier se define para cualquier función integrable . En particular, la función no podría ser diferenciable en ninguna parte. (Por ejemplo, f  ( x ) podría ser una función de Weierstrass ).
• La convergencia de ambas series tiene propiedades muy diferentes. Incluso si la serie de Taylor tiene un radio de convergencia positivo, la serie resultante puede no coincidir con la función; pero si la función es analítica entonces la serie converge puntualmente a la función y de manera uniforme en cada subconjunto compacto del intervalo de convergencia. Con respecto a la serie de Fourier, si la función es integrable al cuadrado entonces la serie converge en media cuadrática , pero se necesitan requisitos adicionales para asegurar la convergencia puntual o uniforme (por ejemplo, si la función es periódica y de clase C ¹ entonces la convergencia es uniforme).
• Finalmente, en la práctica se quiere aproximar la función con un número finito de términos, digamos con un polinomio de Taylor o una suma parcial de la serie trigonométrica, respectivamente. En el caso de la serie de Taylor, el error es muy pequeño en las proximidades del punto donde se calcula, mientras que puede ser muy grande en un punto distante. En el caso de la serie de Fourier el error se distribuye a lo largo del dominio de la función.

Ver también

• Expansión asintótica
• función generadora
• serie laurent
• serie madhava
• Interpolación en diferencias divididas de Newton
• Padé aproximante
• serie Puiseux
• operador de turno

Notas

1. Pancarta 2007, pag. 530.
2. Thomas y Finney 1996, consulte §8.9.
3. Lindberg 2007, pág. 33.
4. Kline 1990, pag. 35–37.
5. Boyer y Merzbach 1991, pág. 202–203.
6. Dani 2012.
7. • Turnbull 1939, págs. 168-174
   • Roy 1990
   • Maleta 1993
8. • Taylor 1715, pag. 21–23, véase la Proposición VII, Thm. 3, cor. 2. Véase Struik 1969, págs. 329-332 para una traducción al inglés y Bruce 2007 para una nueva traducción.
   • Feigenbaum 1985
9. Rudin 1980, pag. 418, ver ejercicio 13.
10. • Feller 2003, pág. 230–232
    • Hille y Phillips 1957, págs. 300–327
11. Feller 2003, pag. 231.
12. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 69.
13. • Bilodeau, Thie y Keough 2010, pág. 252
    • Abramowitz y Stegun 1970, pág. 15
14. Hofmann 1939.
15. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 14.
16. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 15.
17. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 75, 81.
18. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 75.
19. Abramowitz y Stegun 1970, pág. 85.
20. • Hörmander 2002, véase la ecuación. 1.1.7 y 1.1.7′
    • Kolk y Duistermaat 2010, pág. 59–63

Referencias

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enlaces externos

• "Serie Taylor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Serie Taylor". MundoMatemático .