Lema de Borel

Resultado utilizado en la teoría de expansiones asintóticas y ecuaciones diferenciales parciales.

En matemáticas , el lema de Borel , que lleva el nombre de Émile Borel , es un resultado importante utilizado en la teoría de expansiones asintóticas y ecuaciones diferenciales parciales .

Declaración

Supongamos que U es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ , y supongamos que f ₀ , f ₁ , ... es una secuencia de funciones suaves en U.

Si I es cualquier intervalo abierto en R que contiene 0 (posiblemente I = R ), entonces existe una función suave F ( t , x ) definida en I × U , tal que

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}\right|_{(0,x)}=f_{k}(x),}$

para k ≥ 0 y x en U .

Prueba

Se pueden encontrar pruebas del lema de Borel en muchos libros de texto sobre análisis, incluidos Golubitsky y Guillemin (1974) y Hörmander (1990), de los cuales se ha tomado la prueba siguiente.

Tenga en cuenta que es suficiente probar el resultado para un intervalo pequeño I = (− ε , ε ), ya que si ψ ( t ) es una función de tope suave con soporte compacto en (− ε , ε ) igual idénticamente a 1 cerca de 0, entonces ψ ( t ) ⋅ F ( t , x ) da una solución en R × U. De manera similar, utilizando una partición suave de la unidad en R ⁿ subordinada a una cubierta por bolas abiertas con centros en δ ⋅ Z ⁿ , se puede suponer que todos los f _m tienen soporte compacto en alguna bola cerrada fija C . Para cada m , sea

${\displaystyle F_{m}(t,x)={t^{m} \over m!}\cdot \psi \left({t \over \varepsilon _{m}}\right)\cdot f_{m}(x),}$

donde ε _m se elige lo suficientemente pequeño como para

${\displaystyle \|\partial ^{\alpha }F_{m}\|_{\infty }\leq 2^{-m}}$

para | α | < metro . Estas estimaciones implican que cada suma

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}}$

es uniformemente convergente y por lo tanto que

${\displaystyle F=\sum _{m\geq 0}F_{m}}$

es una función suave con

${\displaystyle \partial ^{\alpha }F=\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}.}$

Por construcción

${\displaystyle \partial _{t}^{m}F(t,x)|_{t=0}=f_{m}(x).}$

Nota: Se puede aplicar exactamente la misma construcción, sin el espacio auxiliar U , para producir una función suave en el intervalo I para la cual las derivadas en 0 forman una secuencia arbitraria.

Ver también

• Función suave no analítica § Aplicación a la serie de Taylor

Referencias

• Erdélyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Publicaciones de Dover, págs. 22-25, ISBN 0486603180
• Golubitsky, M .; Guillemin, V. (1974), Mapeos estables y sus singularidades , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 14, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90072-1
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 3-540-52343-X

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