Aproximación binomial

Aproximación de potencias de algunos binomios

La aproximación binomial es útil para calcular de forma aproximada potencias de sumas de 1 y un número pequeño x . Establece que

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

Es válido cuando y donde y pueden ser números reales o complejos . ${\displaystyle |x|<1}$ ${\displaystyle |\alpha x|\ll 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$

La ventaja de esta aproximación es que se convierte de un exponente a un factor multiplicativo. Esto puede simplificar enormemente las expresiones matemáticas (como en el ejemplo siguiente) y es una herramienta común en física. ^[1] ${\displaystyle \alpha }$

La aproximación se puede demostrar de varias maneras y está estrechamente relacionada con el teorema del binomio . Por la desigualdad de Bernoulli , el lado izquierdo de la aproximación es mayor o igual que el lado derecho siempre que y . ${\displaystyle x>-1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

Derivaciones

Usando aproximación lineal

La función

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$

es una función suave para x cerca de 0. Por lo tanto, se aplican las herramientas de aproximación lineal estándar del cálculo : se tiene

${\displaystyle f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha -1}}$

y entonces

${\displaystyle f'(0)=\alpha .}$

De este modo

${\displaystyle f(x)\approx f(0)+f'(0)(x-0)=1+\alpha x.}$

Según el teorema de Taylor , el error en esta aproximación es igual a para algún valor de que se encuentre entre 0 y x . Por ejemplo, si y , el error es como máximo . En notación o minúscula , se puede decir que el error es , lo que significa que . ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}\cdot (1+\zeta )^{\alpha -2}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$ ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle o(|x|)}$ ${\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\textrm {error}}{|x|}}=0}$

Utilizando la serie de Taylor

La función

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$

donde y pueden ser reales o complejos se pueden expresar como una serie de Taylor alrededor del punto cero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

Si y , entonces los términos de la serie se vuelven progresivamente más pequeños y se puede truncar a ${\displaystyle |x|<1}$ ${\displaystyle |\alpha x|\ll 1}$

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

Este resultado de la aproximación binomial siempre se puede mejorar manteniendo términos adicionales de la serie de Taylor anterior. Esto es especialmente importante cuando comienza a acercarse a uno, o cuando se evalúa una expresión más compleja donde los dos primeros términos de la serie de Taylor se cancelan (ver ejemplo). ${\displaystyle |\alpha x|}$

A veces se afirma erróneamente que es una condición suficiente para la aproximación binomial. Un contraejemplo simple es dejar y . En este caso, pero la aproximación binomial da como resultado . Para valores pequeños pero grandes , una mejor aproximación es: ${\displaystyle |x|\ll 1}$ ${\displaystyle x=10^{-6}}$ ${\displaystyle \alpha =10^{7}}$ ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }>22,000}$ ${\displaystyle 1+\alpha x=11}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |\alpha x|}$

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}.}$

Ejemplo

La aproximación binomial para la raíz cuadrada , , se puede aplicar para la siguiente expresión, ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}}$

donde y son reales pero . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\gg b}$

La forma matemática para la aproximación binomial se puede recuperar factorizando el término grande y recordando que una raíz cuadrada es lo mismo que una potencia de la mitad. ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}-\left(1-{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)-\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {b}{2a}}-1-{\frac {b}{2a}}\right)\\&\approx -{\frac {b}{a{\sqrt {a}}}}\end{aligned}}}$

Evidentemente la expresión es lineal en cuanto a lo que de otro modo no sería obvio a partir de la expresión original. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\gg b}$

Generalización

Si bien la aproximación binomial es lineal, se puede generalizar para mantener el término cuadrático en la serie de Taylor:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x+(\alpha /2)(\alpha -1)x^{2}}$

Aplicado a la raíz cuadrada, resulta:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2-x^{2}/8.}$

Ejemplo cuadrático

Consideremos la expresión:

${\displaystyle (1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}}$

donde y . Si solo se conserva el término lineal de la aproximación binomial , la expresión se simplifica inútilmente a cero. ${\displaystyle |\epsilon |<1}$ ${\displaystyle |n\epsilon |\ll 1}$ ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx (1+n\epsilon )-(1-(-n)\epsilon )\\&\approx (1+n\epsilon )-(1+n\epsilon )\\&\approx 0.\end{aligned}}}$

Si bien la expresión es pequeña, no es exactamente cero. Por lo tanto, si mantenemos el término cuadrático:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+(-n)(-\epsilon )+{\frac {1}{2}}(-n)(-n-1)(-\epsilon )^{2}\right)\\&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\right)\\&\approx {\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}-{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}n\epsilon ^{2}((n-1)-(n+1))\\&\approx -n\epsilon ^{2}\end{aligned}}}$

Este resultado es cuadrático, por lo que no apareció cuando solo se mantuvieron los términos lineales. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Referencias

1. Por ejemplo, el cálculo de la expansión multipolar . Griffiths, D. (1999). Introducción a la electrodinámica (tercera edición). Pearson Education, Inc., págs. 146-148.