teorema de taylor

Aproximación de una función mediante una serie de potencias truncadas

La función exponencial (rojo) y el polinomio de Taylor correspondiente de grado cuatro (verde discontinuo) alrededor del origen. ${\textstyle y=e^{x}}$

En cálculo , el teorema de Taylor da una aproximación de una función diferenciable alrededor de un punto dado mediante un polinomio de grado , llamado polinomio de Taylor de orden ésimo . Para una función suave , el polinomio de Taylor es el truncamiento en el orden de la serie de Taylor de la función. El polinomio de Taylor de primer orden es la aproximación lineal de la función, y el polinomio de Taylor de segundo orden a menudo se denomina aproximación cuadrática . ^[1] Hay varias versiones del teorema de Taylor, algunas de las cuales dan estimaciones explícitas del error de aproximación de la función por su polinomio de Taylor. ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$

El teorema de Taylor lleva el nombre del matemático Brook Taylor , quien estableció una versión del mismo en 1715, ^{[2] aunque} James Gregory ya mencionó una versión anterior del resultado en 1671 . ^[3]

El teorema de Taylor se enseña en cursos de cálculo de nivel introductorio y es una de las herramientas elementales centrales en el análisis matemático . Proporciona fórmulas aritméticas simples para calcular con precisión los valores de muchas funciones trascendentales , como la función exponencial y las funciones trigonométricas . Es el punto de partida del estudio de funciones analíticas , y es fundamental en diversas áreas de las matemáticas, así como en el análisis numérico y la física matemática . El teorema de Taylor también se generaliza a funciones multivariadas y con valores vectoriales .

Motivación

Gráfica de (azul) con su aproximación lineal (roja) en . ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\textstyle P_{1}(x)=1+x}$ ${\textstyle a=0}$

Si una función de valor real es diferenciable en el punto , entonces tiene una aproximación lineal cerca de este punto. Esto significa que existe una función h ₁ ( x ) tal que ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$$

Aquí

$${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$$

es la aproximación lineal de x cerca del punto a , cuya gráfica es la recta tangente a la gráfica en x = a . El error en la aproximación es: ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle y=P_{1}(x)}$ ${\textstyle y=f(x)}$

$${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}$$

Cuando x tiende a  a, este error llega a cero mucho más rápido que , lo que constituye una aproximación útil. ${\displaystyle f'(a)(x{-}a)}$ ${\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}$

Gráfica de (azul) con su aproximación cuadrática (roja) en . Nótese la mejora en la aproximación. ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle P_{2}(x)=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2}}}$ ${\textstyle a=0}$

Para una mejor aproximación a , podemos ajustar un polinomio cuadrático en lugar de una función lineal: ${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}$$

En lugar de simplemente hacer coincidir una derivada de at , este polinomio tiene las mismas derivadas primera y segunda, como es evidente al realizar la diferenciación. ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle x=a}$

El teorema de Taylor asegura que la aproximación cuadrática es, en una vecindad suficientemente pequeña de , más precisa que la aproximación lineal. Específicamente, ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}$$

Aquí el error en la aproximación es

$${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}$$

que, dado el comportamiento limitante de , va a cero más rápido que cuando x tiende a  a . ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle (x-a)^{2}}$

Aproximación de (azul) por sus polinomios de orden de Taylor centrados en (rojo) y (verde). Las aproximaciones no mejoran en absoluto fuera y , respectivamente. ${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ ${\textstyle P_{k}}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle x=1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$

De manera similar, podríamos obtener aproximaciones aún mejores a f si usamos polinomios de mayor grado, ya que entonces podemos hacer coincidir aún más derivadas con f en el punto base seleccionado.

En general, el error al aproximar una función mediante un polinomio de grado k irá a cero mucho más rápido que cuando x tiende a  a . Sin embargo, hay funciones, incluso las infinitamente diferenciables, para las cuales aumentar el grado del polinomio de aproximación no aumenta la precisión de la aproximación: decimos que tal función no es analítica en x = a : no está (localmente) determinada por sus derivados en este punto. ${\displaystyle (x-a)^{k}}$

El teorema de Taylor es de naturaleza asintótica: solo nos dice que el error en una aproximación mediante un polinomio de Taylor de orden P _k tiende a cero más rápido que cualquier polinomio de grado distinto de cero como . No nos dice qué tan grande es el error en cualquier vecindad concreta del centro de expansión, pero para este propósito existen fórmulas explícitas para el término restante (que se dan a continuación) que son válidas bajo algunos supuestos de regularidad adicionales en f . Estas versiones mejoradas del teorema de Taylor generalmente conducen a estimaciones uniformes para el error de aproximación en una vecindad pequeña del centro de expansión, pero las estimaciones no necesariamente son válidas para vecindades que son demasiado grandes, incluso si la función f es analítica . En esa situación, es posible que sea necesario seleccionar varios polinomios de Taylor con diferentes centros de expansión para tener aproximaciones de Taylor confiables de la función original (ver animación a la derecha). ${\textstyle R_{k}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle x\to a}$

Hay varias maneras en que podríamos usar el término restante:

1. Estimar el error para un polinomio P _k ( x ) de grado k estimando en un intervalo dado ( a – r , a + r ). (Dado el intervalo y el grado, encontramos el error). ${\textstyle f(x)}$
2. Encuentre el grado más pequeño k para el cual el polinomio P _k ( x ) se aproxima dentro de una tolerancia de error dada en un intervalo dado ( a − r , a + r ). (Dado el intervalo y la tolerancia al error, encontramos el grado). ${\textstyle f(x)}$
3. Encuentre el intervalo más grande ( a − r , a + r ) en el cual P _k ( x ) se aproxima dentro de una tolerancia de error dada. (Dado el grado y la tolerancia al error, encontramos el intervalo). ${\textstyle f(x)}$

Teorema de Taylor en una variable real

Declaración del teorema

El enunciado preciso de la versión más básica del teorema de Taylor es el siguiente:

Teorema de Taylor ^{[4] [5] [6]}  —  Sea k  ≥ 1 un número entero y sea la función f :  R → R k veces diferenciable en el punto a ∈ R . Entonces existe una función h _k  : R → R tal que

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}$$

y

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

Esto se llama forma de Peano del resto .

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor es el polinomio de Taylor de -ésimo orden. ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

de la función f en el punto a . El polinomio de Taylor es el único polinomio de "mejor ajuste asintótico" en el sentido de que si existe una función h _k  : R → R y un polinomio de orden p tal que ${\textstyle k}$

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

entonces p  =  P _k . El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término restante

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

que es el error de aproximación al aproximar f con su polinomio de Taylor. Usando la notación o pequeña , el enunciado del teorema de Taylor se lee como

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

Fórmulas explícitas para el resto

Bajo supuestos de regularidad más estrictos sobre f , existen varias fórmulas precisas para el término restante R _k del polinomio de Taylor, siendo las más comunes las siguientes.

Formas de valor medio del resto  :  Sea f  : R → R k  + 1 veces diferenciable en el intervalo abierto con f ^{( k )} continua en el intervalo cerrado entre y . ^[7] Entonces ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$$

para algún número real entre y . Esta es la forma de Lagrange ^[8] del resto. ${\textstyle \xi _{L}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Similarmente,

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)}$$

para algún número real entre y . Esta es la forma Cauchy ^[9] del resto. ${\textstyle \xi _{C}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Ambos pueden considerarse como casos específicos del siguiente resultado: considere ${\displaystyle p>0}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{S})}{k!}}(x-\xi _{S})^{k+1-p}{\frac {(x-a)^{p}}{p}}}$$

para algún número real entre y . Ésta es la forma Schlömilch del resto (a veces llamada Schlömilch- Roché ). La elección es la forma de Lagrange, mientras que la elección es la forma de Cauchy. ${\textstyle \xi _{S}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle p=k+1}$ ${\textstyle p=1}$

Estos refinamientos del teorema de Taylor generalmente se prueban utilizando el teorema del valor medio , de ahí el nombre. Además, observe que este es precisamente el teorema del valor medio cuando . También se pueden encontrar otras expresiones similares. Por ejemplo, si G ( t ) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con una derivada que no desaparece en el intervalo abierto entre y , entonces ${\textstyle k=0}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

para algún número entre y . Esta versión cubre las formas de Lagrange y Cauchy del resto como casos especiales, y se demuestra a continuación utilizando el teorema del valor medio de Cauchy . La forma de Lagrange se obtiene tomando y la forma de Cauchy se obtiene tomando . ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$ ${\displaystyle G(t)=t-a}$

El enunciado para la forma integral del resto es más avanzado que los anteriores y requiere la comprensión de la teoría de la integración de Lebesgue en su totalidad. Sin embargo, también se cumple en el sentido de la integral de Riemann siempre que la ( k  + 1)ésima derivada de f sea continua en el intervalo cerrado [ a , x ].

Forma integral del resto ^[10]  —  Sea absolutamente continuo en el intervalo cerrado entre y . Entonces ${\textstyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}$$

Debido a la continuidad absoluta de f ^{( k )} en el intervalo cerrado entre y , su derivada f ^{( k +1)} existe como una función L ¹ , y el resultado se puede probar mediante un cálculo formal utilizando el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes . ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Estimaciones para el resto

En la práctica suele resultar útil poder estimar el término restante que aparece en la aproximación de Taylor, en lugar de tener una fórmula exacta para él. Supongamos que f es ( k + 1) veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a . Supongamos que existen constantes reales q y Q tales que

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

a lo largo de yo . Entonces el término restante satisface la desigualdad ^[11]

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

si x > a , y una estimación similar si x < a . Ésta es una simple consecuencia de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

en un intervalo I = ( a − r , a + r ) con algunos , entonces ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

para todo x ∈( a − r , a + r ). La segunda desigualdad se llama estimación uniforme , porque se cumple uniformemente para todo x en el intervalo ( a − r , a + r ).

Ejemplo

Aproximación de (azul) por sus polinomios de orden de Taylor centrados en (rojo). ${\textstyle e^{x}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ ${\textstyle x=0}$

Supongamos que deseamos encontrar el valor aproximado de la función en el intervalo asegurando que el error en la aproximación no sea mayor que 10 ⁻⁵ . En este ejemplo pretendemos que sólo conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial: ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\textstyle [-1,1]}$

De estas propiedades se deduce que para todos y en particular, . Por lo tanto, el polinomio de Taylor de -ésimo orden de at y su término restante en la forma de Lagrange están dados por ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle 0}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

donde es algún número entre 0 y x . Dado que e ^x aumenta en ( ★ ), simplemente podemos usar for para estimar el resto en el subintervalo . Para obtener un límite superior para el resto de , utilizamos la propiedad para estimar ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle e^{x}\leq 1}$ ${\textstyle x\in [-1,0]}$ ${\displaystyle [-1,0]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ ${\textstyle 0<\xi <x}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

utilizando la expansión de Taylor de segundo orden. Luego resolvemos para e ^x para deducir que

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador . Combinando estas estimaciones para e ^x vemos que

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

por lo que ciertamente se alcanza la precisión requerida, cuando

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(Ver factorial o calcular a mano los valores y .) Como conclusión, el teorema de Taylor conduce a la aproximación ${\textstyle 9!=362880}$ ${\textstyle 10!=3628800}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

Por ejemplo, esta aproximación proporciona una expresión decimal con corrección de hasta cinco decimales. ${\displaystyle e\approx 2.71828}$

Relación con la analiticidad

Expansiones de Taylor de funciones analíticas reales

Sea I ⊂ R un intervalo abierto . Por definición, una función f  : I → R es analítica real si está definida localmente por una serie de potencias convergentes . Esto significa que para cada a  ∈  I existe algún r  > 0 y una secuencia de coeficientes c _k  ∈  R tal que ( a − r , a + r ) ⊂ I y

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

En general, el radio de convergencia de una serie de potencias se puede calcular a partir de la fórmula de Cauchy-Hadamard.

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

Este resultado se basa en la comparación con una serie geométrica , y el mismo método muestra que si la serie de potencias basada en a converge para algún b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado , donde . Aquí sólo se considera la convergencia de la serie de potencias, y bien podría ser que ( a − R , a + R ) se extienda más allá del dominio I de f . ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$

Los polinomios de Taylor de la función analítica real f en a son simplemente los truncamientos finitos

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

de sus series de potencias que se definen localmente, y los términos restantes correspondientes están dados localmente por las funciones analíticas

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

Aquí las funciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

También son analíticos, ya que sus series de potencias definitorias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Suponiendo que [ a − r , a + r ] ⊂ I y r  <  R , todas estas series convergen uniformemente en ( a − r , a + r ) . Naturalmente, en el caso de funciones analíticas se puede estimar el término restante mediante la cola de la secuencia de las derivadas f′ ( a ) en el centro de la expansión, pero utilizando análisis complejos también surge otra posibilidad, que se describe a continuación. ${\textstyle R_{k}(x)}$

Teorema de Taylor y convergencia de la serie de Taylor.

La serie de Taylor de f convergerá en algún intervalo en el que todas sus derivadas estén acotadas y no crezcan demasiado rápido cuando k tiende a infinito. (Sin embargo, incluso si la serie de Taylor converge, es posible que no converja a f , como se explica más adelante; entonces se dice que f no es analítica ).

Se podría pensar en la serie de Taylor.

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

de una función infinitamente diferenciable f  : R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en a . Ahora las estimaciones para el resto implican que si, para cualquier r , se sabe que las derivadas de f están acotadas en ( a  −  r , a  +  r ), entonces para cualquier orden k y para cualquier r  > 0 existe una constante M _k,r > 0 tal que

para cada x  ∈ ( a  −  r , a  +  r ). A veces, las constantes M _k,r se pueden elegir de tal manera que M _k,r esté acotado arriba, para r fijo y todo k . Entonces la serie de Taylor de f converge uniformemente a alguna función analítica

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(También se obtiene convergencia incluso si M _k,r no está acotado por encima siempre que crezca lo suficientemente lento).

La función límite T _f es por definición siempre analítica, pero no es necesariamente igual a la función original f , incluso si f es infinitamente diferenciable. En este caso, decimos que f es una función suave no analítica , por ejemplo una función plana :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Usando la regla de la cadena repetidamente por inducción matemática , se muestra que para cualquier orden  k ,

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

para algún polinomio p _k de grado 2( k − 1). La función tiende a cero más rápido que cualquier polinomio como , por lo que f es infinitamente diferenciable y f ^{( k )} (0) = 0 para cada entero positivo k . Todos los resultados anteriores son válidos en este caso: ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$ ${\textstyle x\to 0}$

• La serie de Taylor de f converge uniformemente a la función cero T _f ( x ) = 0, que es analítica con todos los coeficientes iguales a cero.
• La función f es desigual a esta serie de Taylor y, por tanto, no analítica.
• Para cualquier orden k  ∈  N y radio r  > 0 existe M _k,r  > 0 que satisface el límite del resto ( ★★ ) anterior.

Sin embargo, a medida que k aumenta para r fijo , el valor de M _k,r crece más rápidamente que r ^k y el error no llega a cero .

El teorema de Taylor en análisis complejo

El teorema de Taylor se generaliza a funciones f  : C → C que son diferenciables complejas en un subconjunto abierto U  ⊂  C del plano complejo . Sin embargo, su utilidad queda eclipsada por otros teoremas generales en análisis complejos . Es decir, se pueden deducir versiones más sólidas de resultados relacionados para funciones diferenciables complejas f  :  U  →  C utilizando la fórmula integral de Cauchy de la siguiente manera.

Sea r  > 0 tal que el disco cerrado B ( z ,  r ) ∪  S ( z ,  r ) esté contenido en U . Entonces la fórmula integral de Cauchy con una parametrización positiva γ ( t ) = z + re ^it del círculo S ( z , r ) con da ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

Aquí todos los integrandos son continuos en el círculo S ( z ,  r ), lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral. En particular, si f es una vez complejamente diferenciable en el conjunto abierto U , entonces en realidad es infinitamente complejamente diferenciable en U. También se obtienen las estimaciones de Cauchy ^[12]

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

para cualquier z  ∈  U y r  > 0 tal que B ( z ,  r ) ∪  S ( c ,  r ) ⊂  U . Estas estimaciones implican que la compleja serie de Taylor

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

de f converge uniformemente en cualquier disco abierto con alguna función T _f . Además, utilizando las fórmulas integrales de contorno para las derivadas f ^{( k )} ( c ), ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ ${\textstyle S(c,r)\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}}$$

entonces cualquier función compleja diferenciable f en un conjunto abierto U  ⊂  C es de hecho analítica compleja . Todo lo que se dice aquí para funciones analíticas reales es válido también para funciones analíticas complejas con el intervalo abierto I reemplazado por un subconjunto abierto U  ∈  C y intervalos centrados en a ( a  −  r ,  a  +  r ) reemplazados por discos centrados en c B ( c ,  r ). En particular, la expansión de Taylor se cumple en la forma

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

donde el término restante R _k es analítico complejo. Los métodos de análisis complejo proporcionan algunos resultados poderosos con respecto a las expansiones de Taylor. Por ejemplo, utilizando la fórmula integral de Cauchy para cualquier curva de Jordan orientada positivamente que parametriza el límite de una región , se obtienen expresiones para las derivadas f ^{( j )} ( c ) como arriba, y modificando ligeramente el cálculo para T _f ( z ) = f. ( z ) , se llega a la fórmula exacta ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \partial W\subset U}$ ${\textstyle W\subset U}$

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

La característica importante aquí es que la calidad de la aproximación mediante un polinomio de Taylor en la región está dominada por los valores de la propia función f en la frontera . De manera similar, aplicando las estimaciones de Cauchy a la expresión de la serie para el resto, se obtienen estimaciones uniformes ${\textstyle W\subset U}$ ${\textstyle \partial W\subset U}$

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

Ejemplo

Trama compleja de . El módulo se muestra por elevación y argumento coloreando: cian =  , azul =  , violeta =  , rojo =  , amarillo =  , verde =  . ${\textstyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{3}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{3}}}$ ${\textstyle {\frac {5\pi }{3}}}$

La función

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

es analítica real , es decir, determinada localmente por su serie de Taylor. Esta función se trazó arriba para ilustrar el hecho de que algunas funciones elementales no pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor en vecindades del centro de expansión que son demasiado grandes. Este tipo de comportamiento se comprende fácilmente en el marco de un análisis complejo. Es decir, la función f se extiende a una función meromórfica

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

en el plano complejo compactado. Tiene polos simples en y y es analítico en otros lugares. Ahora su serie de Taylor centrada en z ₀ converge en cualquier disco B ( z ₀ , r ) con r < | z  −  z ₀ |, donde la misma serie de Taylor converge en z  ∈  C . Por lo tanto, la serie de Taylor de f centrada en 0 converge en B (0, 1) y no converge para ningún z ∈ C con | z | > 1 debido a los polos en i y − i . Por la misma razón, la serie de Taylor de f centrada en 1 converge y no converge para cualquier z  ∈  C con . ${\textstyle z=i}$ ${\textstyle z=-i}$ ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$

Generalizaciones del teorema de Taylor

Diferenciabilidad de orden superior

Una función f : R ⁿ → R es diferenciable en a ∈ R ⁿ si y sólo si existe un funcional lineal L  : R ⁿ → R y una función h  : R ⁿ → R tal que

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

Si este es el caso, entonces es el diferencial (definido de forma única) de f en el punto a . Además, entonces las derivadas parciales de f existen en a y el diferencial de f en a está dado por ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

Introducir la notación multiíndice

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$$

para α ∈ N ^norte y x ∈ R ^norte . Si todas las derivadas parciales de orden ésimo de f  : R ⁿ → R son continuas en a ∈ R ⁿ , entonces, según el teorema de Clairaut , se puede cambiar el orden de las derivadas mixtas en a , por lo que la notación ${\textstyle k}$

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}$$

para las derivadas parciales de orden superior está justificado en esta situación. Lo mismo es cierto si todas las derivadas parciales de f de ( k − 1 ) orden existen en alguna vecindad de a y son diferenciables en a . ^[13] Entonces decimos que f es k veces diferenciable en el punto  a .

Teorema de Taylor para funciones multivariadas

Usando las notaciones de la sección anterior, se tiene el siguiente teorema.

Versión multivariada del teorema de Taylor ^[14]  —  Sea f  : R ⁿ → R una función k veces continuamente diferenciable en el punto a ∈ R ⁿ . Entonces existen funciones h _α  : R ⁿ → R , donde tales que ${\displaystyle |\alpha |=k,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}}$$

Si la función f  : R ⁿ → R es k + 1 veces continuamente diferenciable en una bola cerrada para algunos , entonces se puede derivar una fórmula exacta para el resto en términos de ( k +1 ) derivadas parciales de orden de f en este vecindario. ^[15] Es decir, ${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}$$

En este caso, debido a la continuidad de las derivadas parciales de ( k +1 ) orden en el conjunto compacto B , se obtienen inmediatamente las estimaciones uniformes.

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}$$

Ejemplo en dos dimensiones

Por ejemplo, el polinomio de Taylor de tercer orden de una función suave es, que denota , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

Pruebas

Prueba del teorema de Taylor en una variable real

Vamos ^[16]

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

donde, como en el enunciado del teorema de Taylor,

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Es suficiente demostrar que

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

La prueba aquí se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital . Tenga en cuenta que, para cada , . Por lo tanto, cada una de las primeras derivadas del numerador en desaparece en , y lo mismo ocurre con el denominador. Además, dado que la condición de que la función sea multiplicable en un punto requiere diferenciabilidad hasta el orden en una vecindad de dicho punto (esto es cierto, porque la diferenciabilidad requiere que una función se defina en toda una vecindad de un punto), el numerador y sus derivadas son diferenciables en una vecindad de . Claramente, el denominador también satisface dicha condición y, además, no desaparece a menos que , por lo tanto se cumplen todas las condiciones necesarias para la regla de L'Hôpital y se justifica su uso. Entonces ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ ${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$ ${\textstyle k-1}$ ${\displaystyle h_{k}(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k-1}$ ${\textstyle k-2}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

donde la penúltima igualdad sigue por la definición de la derivada en . ${\textstyle x=a}$

Prueba alternativa del teorema de Taylor en una variable real

Sea cualquier función continua de valor real que se aproxima mediante el polinomio de Taylor. ${\displaystyle f(x)}$

Paso 1: funciones Let y Be. Establecer y ser ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

Paso 2: Propiedades de y : ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

Similarmente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

Paso 3: utilice el teorema del valor medio de Cauchy

Sean y sean funciones continuas en . Desde entonces podemos trabajar con el intervalo . Sea y sea diferenciable en . Asume para todos . Entonces existe tal que ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<x<b}$ ${\displaystyle [a,x]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle (a,x)}$ ${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

Nota: en y así ${\displaystyle G'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(a),G(a)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

para algunos . ${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

Esto también se puede realizar para : ${\displaystyle (a,c_{1})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

para algunos . Esto puede continuar hasta . ${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$ ${\displaystyle c_{n}}$

Esto da una partición en : ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

con

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}$$

Colocar : ${\displaystyle c=c_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}}$$

Paso 4: sustituir de nuevo

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}}$$

Por la regla de la potencia, derivadas repetidas de , , entonces: ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ ${\displaystyle G^{(n)}(c)=n(n-1)...1}$

$${\displaystyle {\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)\cdots 1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}.}$$

Esto lleva a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.}$$

Reordenando obtenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},}$$

o porque eventualmente: ${\displaystyle c_{n}=a}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Derivación de las formas de valor medio del resto

Sea G cualquier función de valor real, continua en el intervalo cerrado entre y y diferenciable con una derivada que no desaparece en el intervalo abierto entre y , y defina ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.}$$

Para . Entonces, según el teorema del valor medio de Cauchy , ${\displaystyle t\in [a,x]}$

para algunos en el intervalo abierto entre y . Tenga en cuenta que aquí el numerador es exactamente el resto del polinomio de Taylor para . Calcular ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ ${\textstyle y=f(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}}$$

conéctelo a ( ★★★ ) y reorganice los términos para encontrar que

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.}$$

Esta es la forma del término restante mencionado después del enunciado real del teorema de Taylor con el resto en forma de valor medio. La forma de Lagrange del resto se encuentra eligiendo y la forma de Cauchy eligiendo . ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$ ${\displaystyle G(t)=t-a}$

Observación. Usando este método también se puede recuperar la forma integral del resto eligiendo

$${\displaystyle G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,}$$

pero los requisitos para f necesarios para el uso del teorema del valor medio son demasiado estrictos, si uno pretende probar la afirmación en el caso de que f ^{( k )} sea sólo absolutamente continua . Sin embargo, si se utiliza la integral de Riemann en lugar de la integral de Lebesgue , los supuestos no pueden debilitarse.

Derivación para la forma integral del resto.

Debido a la continuidad absoluta de en el intervalo cerrado entre y su derivada existe como una función, y podemos usar el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes . Esta misma prueba se aplica a la integral de Riemann suponiendo que es continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto entre y , y esto conduce al mismo resultado que usando el teorema del valor medio. ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle f^{(k+1)}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

El teorema fundamental del cálculo establece que

$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.}$$

Ahora podemos integrar por partes y usar nuevamente el teorema fundamental del cálculo para ver que

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}}$$

que es exactamente el teorema de Taylor con resto en forma integral en el caso . El enunciado general se demuestra mediante inducción . Suponer que ${\displaystyle k=1}$

Integrando el término restante por partes llegamos a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo esto en la fórmula en ( eq1 ) se muestra que si es válido para el valor , también debe ser válido para el valor . Por lo tanto, dado que es válido para , debe serlo para todo número entero positivo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k}$

Derivación del resto de polinomios de Taylor multivariados

Probamos el caso especial, donde tiene derivadas parciales continuas hasta el orden en alguna bola cerrada con centro . La estrategia de la prueba es aplicar el caso de una variable del teorema de Taylor a la restricción de al segmento de línea contiguo a y . ^[17] Parametrizar el segmento de recta entre y por Aplicamos la versión de una variable del teorema de Taylor a la función : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})}$ ${\displaystyle g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.}$$

Aplicando la regla de la cadena para varias variables se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {u}}(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}}$$

donde está el coeficiente multinomial . Desde , obtenemos: ${\displaystyle {\tbinom {j}{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• El lema de Hadamard
• Serie de Laurent  – ​​Serie de potencias con potencias negativas
• Padé aproximante  : 'mejor' aproximación de una función mediante una función racional de orden dado
• Serie de Newton  : análogo discreto de una derivadaPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas a pie de página

1. (2013). "Aproximación lineal y cuadrática" Consultado el 6 de diciembre de 2018.
2. Taylor, arroyo (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Métodos de incremento directo e inverso ] (en latín). Londres. pag. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2).Traducido al inglés en Struik, DJ (1969). Un libro de consulta en matemáticas 1200–1800 . Cambridge, Massachusetts: Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 329–332.
3. Kline 1972, págs.442, 464.
4. Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo diferenziale e principii di calcolo integrale , (N. 67, págs. XVII-XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 maint: location (link)
5. Spivak, Michael (1994), Cálculo (3.ª ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
6. "Fórmula de Taylor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
7. La hipótesis de que f ^{( k )} sea continua en el intervalo cerrado entre y no es redundante. Aunque f siendo k  + 1 veces diferenciable en el intervalo abierto entre y implica que f ^{( k )} es continua en el intervalo abierto entre y , no implica que f ^{( k )} sea continua en el intervalo cerrado entre y , es decir no implica que f ^{( k )} sea continua en los puntos finales de ese intervalo. Considere, por ejemplo, la función f  : [0,1] → R definida para ser igual a y con . Esto no es continuo en 0 , pero sí continuo en . Además, se puede demostrar que esta función tiene una primitiva . Por lo tanto, esa antiderivada es diferenciable en , su derivada (la función f ) es continua en el intervalo abierto , pero su derivada f no es continua en el intervalo cerrado . Por tanto, el teorema no se aplicaría en este caso. ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \sin(1/x)}$ ${\displaystyle (0,1]}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$
8. Kline 1998, §20.3; Apóstol 1967, §7.7.
9. Apóstol 1967, §7.7.
10. Apóstol 1967, §7.5.
11. Apóstol 1967, §7.6
12. Rudin 1987, §10.26
13. Esto se desprende de la aplicación iterada del teorema de que si las derivadas parciales de una función f existen en una vecindad de a y son continuas en a , entonces la función es diferenciable en a . Véase, por ejemplo, Apostol 1974, Teorema 12.11.
14. Análisis de Königsberger 2, pag. 64 y sigs.
15. https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
16. Stromberg 1981
17. Hörmander 1976, págs. 12-13

Referencias

• Apostol, Tom (1967), Cálculo , Wiley, ISBN 0-471-00005-1.
• Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introducción al análisis real (4ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6.
• Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, volumen 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos, Volumen 2 , Oxford University Press.
• Kline, Morris (1998), Cálculo: un enfoque físico e intuitivo , Dover, ISBN 0-486-40453-6.
• Pedrick, George (1994), Un primer curso de análisis , Springer, ISBN 0-387-94108-8.
• Stromberg, Karl (1981), Introducción al análisis real clásico , Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
• Tao, Terence (2014), Análisis, Volumen I (3.ª ed.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9.
• Prueba del teorema de Taylor (PDF) , Universidad China de Hong Kong.

enlaces externos

• Teorema de Taylor en ProofWiki
• Aproximación de la serie de Taylor al coseno en el corte del nudo
• Subprograma demostrativo interactivo de expansión trigonométrica de Taylor
• Serie Taylor revisada en el Instituto de Métodos Numéricos Holísticos