integral de riemann

En la rama de las matemáticas conocida como análisis real , la integral de Riemann , creada por Bernhard Riemann , fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo . Fue presentada a la facultad de la Universidad de Göttingen en 1854, pero no se publicó en una revista hasta 1868. ^[1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede evaluarse mediante el teorema fundamental del cálculo o aproximarse mediante integración numérica. , o simulado utilizando la integración de Monte Carlo .

Descripción general

Sea $f una función de valor$ real no negativo en el intervalo $[a, b]$ , y sea $S$ la región del plano bajo la gráfica de la función $f$ y por encima del intervalo $[a, b]$ . Vea la figura en la parte superior derecha. Esta región se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como

S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.

Estamos interesados en medir el área de $S$ . Una vez que la hayamos medido, denotaremos el área de la forma habitual por

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

La idea básica de la integral de Riemann es utilizar aproximaciones muy simples para el área de $S.$ Tomando cada vez mejores aproximaciones, podemos decir que "en el límite" obtenemos exactamente el área de $S$ bajo la curva.

Cuando $f (x)$ puede tomar valores negativos, la integral es igual al área con signo entre la gráfica de $f$ y el eje $x$ : es decir, el área sobre el eje $x$ menos el área debajo del eje $x$ .

Definición

Particiones de un intervalo

Una partición de un intervalo $[a, b]$ es una secuencia finita de números de la forma

a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b

Cada $[x i, x i + 1]$ se denomina subintervalo de la partición. La malla o norma de una partición se define como la longitud del subintervalo más largo, es decir,

\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].

Una partición etiquetada $P (x, t)$ de un intervalo $[a, b]$ es una partición junto con una elección de un punto de muestra dentro de cada subintervalo: es decir, números $t 0, ..., t n - 1$ con $t i \in [x i, x i + 1]$ para cada $i$ . La malla de una partición etiquetada es la misma que la de una partición ordinaria.

Supongamos que dos particiones $P (x, t)$ y $Q (y, s)$ son particiones del intervalo $[a, b]$ . Decimos que $Q (y, s)$ es un refinamiento de $P (x, t)$ si para cada entero $i$ , con $i \in [0, n]$ , existe un entero $r (i)$ tal que $x i = y r (i)$ y tal que $t i = s j$ para algún $j$ con $j \in [r (i), r (i + 1)]$ . Es decir, una partición etiquetada divide algunos de los subintervalos y agrega puntos de muestra cuando es necesario, "refinando" la precisión de la partición.

Podemos convertir el conjunto de todas las particiones etiquetadas en un conjunto dirigido diciendo que una partición etiquetada es mayor o igual que otra si la primera es un refinamiento de la segunda.

suma de riemann

Sea $f$ una función de valor real definida en el intervalo $[a, b]$ . La suma de Riemann de $f$ con respecto a la partición etiquetada $x 0, ..., x n$ junto con $t 0, ..., t n - 1$ es ^[2]

\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).

Cada término de la suma es el producto del valor de la función en un punto dado y la duración de un intervalo. En consecuencia, cada término representa el área (con signo) de un rectángulo con altura $f (t i)$ y ancho $x i + 1 - x i$ . La suma de Riemann es el área (con signo) de todos los rectángulos.

Conceptos estrechamente relacionados son las sumas de Darboux superior e inferior . Son similares a las sumas de Riemann, pero las etiquetas se reemplazan por el mínimo y el supremo (respectivamente) de $f$ en cada subintervalo:

{\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}

Si $f$ es continua, entonces las sumas de Darboux inferior y superior para una partición sin etiquetar son iguales a la suma de Riemann para esa partición, donde las etiquetas se eligen para que sean el mínimo o el máximo (respectivamente) de $f$ en cada subintervalo. (Cuando $f$ es discontinua en un subintervalo, es posible que no haya una etiqueta que alcance el mínimo o el supremo en ese subintervalo). La integral de Darboux , que es similar a la integral de Riemann pero basada en sumas de Darboux, es equivalente a la integral de Riemann.

integral de riemann

En términos generales, la integral de Riemann es el límite de las sumas de Riemann de una función a medida que las particiones se vuelven más finas. Si el límite existe, entonces se dice que la función es integrable (o más específicamente integrable de Riemann ). La suma de Riemann se puede acercar tanto como se desee a la integral de Riemann haciendo la partición lo suficientemente fina. ^[3]

Un requisito importante es que la malla de las particiones debe ser cada vez más pequeña, de modo que tenga el límite cero. Si esto no fuera así, entonces no estaríamos obteniendo una buena aproximación a la función en ciertos subintervalos. De hecho, esto es suficiente para definir una integral. Para ser específicos, decimos que la integral de Riemann de $f$ existe y es igual $a s$ si se cumple la siguiente condición:

Para todo $ε > 0$ , existe $δ > 0$ tal que para cualquier partición etiquetada $x 0, ..., x n$ y $t 0, ..., t n - 1$ cuya malla sea menor que $δ$ , tenemos
$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$

Desafortunadamente, esta definición es muy difícil de utilizar. Sería útil desarrollar una definición equivalente de la integral de Riemann con la que sea más fácil trabajar. Desarrollamos esta definición ahora, seguida de una prueba de equivalencia. Nuestra nueva definición dice que la integral de Riemann de $f$ existe y es igual $a s$ si se cumple la siguiente condición:

Para todo $ε > 0$ , existe una partición etiquetada $y 0, ..., y m$ y $r 0, ..., r m - 1$ tal que para cualquier partición etiquetada $x 0, ..., x n$ y $t 0, ..., t n - 1$ que es un refinamiento de $y 0, ..., y m$ y $r 0, ..., r m - 1$ , tenemos
$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$

Ambos significan que eventualmente, la suma de Riemann de $f$ con respecto a cualquier partición queda atrapada cerca de $s$ . Como esto es cierto sin importar qué tan cerca exijamos que queden atrapadas las sumas, decimos que las sumas de Riemann convergen a $s$ . Estas definiciones son en realidad un caso especial de un concepto más general, una red .

Como dijimos anteriormente, estas dos definiciones son equivalentes. En otras palabras, $s$ funciona en la primera definición si y sólo si $s$ funciona en la segunda definición. Para demostrar que la primera definición implica la segunda, comience con un $ε$ y elija un $δ$ que satisfaga la condición. Elija cualquier partición etiquetada cuya malla sea menor que $δ$ . Su suma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ , y cualquier refinamiento de esta partición también tendrá una malla menor que $δ$ , por lo que la suma de Riemann del refinamiento también estará dentro de $ε$ de $s$ .

Para demostrar que la segunda definición implica la primera, lo más fácil es utilizar la integral de Darboux . Primero, se muestra que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para esto ver el artículo integral de Darboux . Ahora demostraremos que una función integrable de Darboux satisface la primera definición. Fije $ε$ y elija una partición $y 0, ..., y m$ tal que las sumas de Darboux inferior y superior con respecto a esta partición estén dentro de $ε /2$ del valor $s$ de la integral de Darboux. Dejar

r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.

Si $r = 0$ , entonces $f$ es la función cero, que es claramente integrable tanto por Darboux como por Riemann con la integral cero. Por tanto, asumiremos que $r > 0$ . Si $m > 1$ , entonces elegimos $δ$ tal que

\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}

Si $m = 1$ , entonces elegimos que $δ$ sea menor que uno. Elija una partición etiquetada $x 0, ..., x n$ y $t 0, ..., t n - 1$ con una malla menor que $δ$ . Debemos demostrar que la suma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ .

$Para ver esto ,$ elija un intervalo $[xi, xi + 1]$ . Si este intervalo está contenido dentro de algún $[y j, y j + 1]$ , entonces

m_{j}<f(t_{i})<M_{j}

m j

M j

[y j, y j + 1]

s

m = 1

Por tanto, podemos suponer que $m > 1$ . En este caso, es posible que uno de los $[x i, x i + 1]$ no esté contenido en ningún $[y j, y j + 1]$ . En cambio, puede extenderse a lo largo de dos de los intervalos determinados por $y 0, ..., y m$ . (No puede cumplir con tres intervalos porque se supone que $δ$ es menor que la longitud de cualquier intervalo). En símbolos, puede suceder que

y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.

(Podemos suponer que todas las desigualdades son estrictas porque, de lo contrario, estamos en el caso anterior por nuestra suposición sobre la longitud de $δ$ ). Esto puede suceder como máximo $m - 1$ veces.

Para manejar este caso, estimaremos la diferencia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux subdividiendo la partición $x 0, ..., x n$ en $y j + 1$ . El término $f (t i)(x i + 1 - x i)$ en la suma de Riemann se divide en dos términos:

f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).

Supongamos, sin pérdida de generalidad , que $t i \in [y j, y j + 1]$ . Entonces

m_{j}<f(t_{i})<M_{j},

y j

x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},

De ello se deduce que, para algunos (de hecho, cualquiera) $t * i \in [y j + 1, x yo + 1]$ ,

\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.

Dado que esto sucede como máximo $m - 1$ veces, la distancia entre la suma de Riemann y una suma de Darboux es como máximo $ε /2$ . Por lo tanto, la distancia entre la suma de Riemann y $s$ es como máximo $ε$ .

Ejemplos

Sea la función que toma el valor 1 en cada punto. Cualquier suma de Riemann de $f$ en $[0, 1]$ tendrá el valor 1, por lo tanto la integral de Riemann de $f$ en $[0, 1]$ es 1. $f:[0,1]\to \mathbb {R}$

Sea la función indicadora de los números racionales en $[0, 1]$ ; es decir, toma el valor 1 en números racionales y 0 en números irracionales. Esta función no tiene integral de Riemann. Para demostrar esto, mostraremos cómo construir particiones etiquetadas cuyas sumas de Riemann se acerquen arbitrariamente tanto a cero como a uno. $I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$ $I_{\mathbb {Q} }$

Para empezar, sea $x 0, ..., x n$ y $t 0, ..., t n - 1$ una partición etiquetada (cada $ti$ $está$ entre $x i$ y $x i + 1$ ). Elija $ε > 0$ . El $t i$ ya ha sido elegido y no podemos cambiar el valor de $f$ en esos puntos. Pero si cortamos la partición en pedazos pequeños alrededor de cada $ti$ $,$ podemos minimizar el efecto de $la$ $ti$ . Luego, al elegir cuidadosamente las nuevas etiquetas, podemos hacer que el valor de la suma de Riemann esté dentro de $ε$ de cero o uno.

Nuestro primer paso es cortar la partición. Hay $n$ de $ti y queremos que$ su efecto total sea menor que $ε$ . Si confinamos cada uno de ellos a un intervalo de longitud menor que $ε / n$ , entonces la contribución de cada $ti$ $a$ la suma de Riemann será al menos $0 \cdot ε / n$ y como máximo $1 \cdot ε / n$ . Esto hace que la suma total sea al menos cero y como máximo $ε$ . Entonces, sea $δ$ un número positivo menor que $ε / n$ . Si sucede que dos de los $t i$ están dentro de $δ$ entre sí, elija $δ$ más pequeño. Si sucede que algún $ti$ $está$ dentro de $δ$ de algún $x j$ , y $ti$ no es igual a $x$ $j$ $,$ elija $δ$ más pequeño. Dado que sólo hay un número finito $de$ $ti$ y $x j$ , siempre podemos elegir $δ$ lo suficientemente pequeño.

Ahora agregamos dos cortes a la partición para $cada$ $ti$ . Uno de los cortes será en $t i - δ /2$ y el otro será en $t i + δ /2$ . Si uno de estos sale del intervalo [0, 1], lo omitimos. $t i$ será la etiqueta correspondiente al subintervalo

\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].

Si $ti está$ directamente encima de uno de $x j$ , entonces dejamos $que t i$ sea la etiqueta para ambos intervalos:

\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].

Todavía tenemos que elegir etiquetas para los otros subintervalos. Los elegiremos de dos formas diferentes. La primera forma es elegir siempre un punto racional , de modo que la suma de Riemann sea lo más grande posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea al menos $1 - ε$ . La segunda forma es elegir siempre un punto irracional, de modo que la suma de Riemann sea lo más pequeña posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea como máximo $ε$ .

Dado que comenzamos desde una partición arbitraria y terminamos tan cerca como queríamos de cero o uno, es falso decir que finalmente quedamos atrapados cerca de algún número $s$ , por lo que esta función no es integrable de Riemann. Sin embargo, es integrable de Lebesgue . En el sentido de Lebesgue su integral es cero, ya que la función es cero en casi todas partes . Pero este es un hecho que está fuera del alcance de la integral de Riemann.

Hay ejemplos aún peores. es equivalente (es decir, igual en casi todas partes) a una función integrable de Riemann, pero hay funciones acotadas integrables no de Riemann que no son equivalentes a ninguna función integrable de Riemann. Por ejemplo, sea $C$ el conjunto de Smith-Volterra-Cantor y sea $I$ $C$ su función indicadora. Debido a que $C$ no es medible por Jordan , $I$ $C$ no es integrable por Riemann. Además, ninguna función $g$ equivalente a $I$ $C$ es integrable con Riemann: $g$ , como $I$ $C$ , debe ser cero en un conjunto denso, de modo que, como en el ejemplo anterior, cualquier suma de Riemann de $g$ tiene un refinamiento que está dentro de $ε$ de 0 para cualquier número positivo $ε$ . Pero si existe la integral de Riemann de $g$ , entonces debe ser igual a la integral de Lebesgue de $I$ $C$ , que es $1/2$ . Por tanto, $g$ no es integrable de Riemann. $I_{\mathbb {Q} }$

Conceptos similares

Es popular definir la integral de Riemann como integral de Darboux . Esto se debe a que la integral de Darboux es técnicamente más simple y a que una función es integrable en Riemann si y sólo si es integrable en Darboux.

Algunos libros de cálculo no utilizan particiones etiquetadas generales, sino que se limitan a tipos específicos de particiones etiquetadas. Si el tipo de partición se limita demasiado, algunas funciones no integrables pueden parecer integrables.

Una restricción popular es el uso de sumas de Riemann de "mano izquierda" y "derecha". En una suma de Riemann de la izquierda, $t i = x i$ para todo $i$ , y en una suma de Riemann de la derecha, $t i = x i + 1$ para todo $i$ . Por sí sola, esta restricción no impone un problema: podemos refinar cualquier partición de una manera que la convierta en una suma por la izquierda o por la derecha subdividiéndola en $cada$ $ti$ . En un lenguaje más formal, el conjunto de todas las sumas de Riemann del lado izquierdo y el conjunto de todas las sumas de Riemann del lado derecho es cofinal en el conjunto de todas las particiones etiquetadas.

Otra restricción popular es el uso de subdivisiones regulares de un intervalo. Por ejemplo, la $enésima$ subdivisión regular de $[0, 1]$ consta de los intervalos

\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].

Nuevamente, esta restricción por sí sola no impone un problema, pero el razonamiento requerido para ver este hecho es más difícil que en el caso de las sumas de Riemann de lado izquierdo y derecho.

Sin embargo, es peligroso combinar estas restricciones, de modo que se utilicen sólo sumas de Riemann de lado izquierdo o derecho en intervalos divididos regularmente. Si se sabe de antemano que una función es integrable de Riemann, entonces esta técnica dará el valor correcto de la integral. Pero bajo estas condiciones la función indicadora parecerá integrable en $[0, 1]$ con integral igual a uno: cada punto final de cada subintervalo será un número racional, por lo que la función siempre se evaluará en números racionales y, por lo tanto, parece ser siempre igual a uno. El problema con esta definición se hace evidente cuando intentamos dividir la integral en dos partes. La siguiente ecuación debería ser válida: $I_{\mathbb {Q} }$

\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.

Si usamos subdivisiones regulares y sumas de Riemann de la izquierda o de la derecha, entonces los dos términos de la izquierda son iguales a cero, ya que todos los extremos excepto 0 y 1 serán irracionales, pero como hemos visto, el término de la derecha será igual 1.

Como se definió anteriormente, la integral de Riemann evita este problema al negarse a integrar. La integral de Lebesgue se define de tal manera que todas estas integrales son 0. $I_{\mathbb {Q} }.$

Propiedades

Linealidad

La integral de Riemann es una transformación lineal; es decir, si $f$ y $g$ son integrables de Riemann en $[a, b]$ y $α$ y $β$ son constantes, entonces

\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.

Debido a que la integral de Riemann de una función es un número, esto hace que la integral de Riemann sea una funcional lineal en el espacio vectorial de funciones integrables de Riemann.

Integrabilidad

Una función acotada en un intervalo compacto $[a, b]$ es integrable de Riemann si y sólo si es continua en casi todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero , en el sentido de la medida de Lebesgue ). Este es elTeorema de Lebesgue-Vitali (de caracterización de las funciones integrables de Riemann). Ha sido probado de forma independiente porGiuseppe VitaliyHenri Lebesgueen 1907, y utiliza la noción demedida cero, pero no utiliza ni la medida general ni la integral de Lebesgue.

La condición de integrabilidad se puede demostrar de varias maneras, ^[4]^[5]^[6]^[7] una de las cuales se esquematiza a continuación.

En particular, cualquier conjunto que sea como mucho contable tiene medida de Lebesgue cero y, por tanto, una función acotada (en un intervalo compacto) con sólo un número finito o contable de discontinuidades es integrable de Riemann. Otro criterio suficiente para la integrabilidad de Riemann sobre $[a, b]$ , pero que no involucra el concepto de medida, es la existencia de un límite por la derecha (o por la izquierda) en cada punto en $[a, b)$ (o $(a, b]$ ⁾ .

Una función indicadora de un conjunto acotado es integrable en Riemann si y sólo si el conjunto es medible por Jordan . La integral de Riemann se puede interpretar teóricamente como la integral con respecto a la medida de Jordan.

Si una función de valor real es monótona en el intervalo $[a, b]$ es integrable de Riemann, ya que su conjunto de discontinuidades es como máximo contable y, por tanto, de medida de Lebesgue cero. Si una función de valor real en $[a, b]$ es integrable de Riemann, es integrable de Lebesgue . Es decir, la integrabilidad de Riemann es una condición más fuerte (es decir, más difícil de satisfacer) que la integrabilidad de Lebesgue. Lo contrario no se cumple; No todas las funciones integrables de Lebesgue son integrables de Riemann.

El teorema de Lebesgue-Vitali no implica que todo tipo de discontinuidades tengan el mismo peso en la obstrucción de que una función acotada de valor real sea integrable de Riemann en $[a, b]$ . De hecho, ciertas discontinuidades no tienen absolutamente ningún papel en la integrabilidad de Riemann de la función, una consecuencia de la clasificación de las discontinuidades de una función. ^{[ cita necesaria ]}

Si $f n$ es una secuencia uniformemente convergente en $[a, b]$ con límite $f$ , entonces la integrabilidad de Riemann de todos $f n$ implica integrabilidad de Riemann de $f$ , y

\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.

Sin embargo, el teorema de convergencia monótona de Lebesgue (en un límite puntual monótono) no se cumple para las integrales de Riemann. Por tanto, en la integración de Riemann, tomar límites bajo el signo integral es mucho más difícil de justificar lógicamente que en la integración de Lebesgue. ^[11]

Generalizaciones

Es fácil extender la integral de Riemann a funciones con valores en el espacio vectorial euclidiano para cualquier $n$ . La integral se define por componentes; en otras palabras, si $f$ $= ($ $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $n$ $)$ entonces $\mathbb {R} ^{n}$

\int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).

En particular, dado que los números complejos son un espacio vectorial real , esto permite la integración de funciones con valores complejos.

La integral de Riemann sólo se define en intervalos acotados y no se extiende bien a intervalos ilimitados. La extensión más simple posible es definir dicha integral como límite , en otras palabras, como una integral impropia :

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Esta definición conlleva algunas sutilezas, como el hecho de que no siempre es equivalente calcular el valor principal de Cauchy.

\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.

Por ejemplo, considere la función de signo $f (x) = sgn(x)$ que es 0 en $x = 0$ , 1 para $x > 0$ y −1 para $x < 0$ . Por simetría,

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

un

{\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}

En general, esta integral de Riemann impropia no está definida. Incluso estandarizar una forma para que el intervalo se acerque a la línea real no funciona porque conduce a resultados inquietantemente contrarios a la intuición. Si coincidimos (por ejemplo) en que la integral impropia siempre debe ser

\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,

f (x - 1)

\infty - \infty

Desafortunadamente, la integral de Riemann impropia no es lo suficientemente poderosa. El problema más grave es que no existen teoremas de amplia aplicación para conmutar integrales de Riemann impropias con límites de funciones. En aplicaciones como las series de Fourier, es importante poder aproximar la integral de una función utilizando integrales de aproximaciones a la función. Para las integrales de Riemann adecuadas, un teorema estándar establece que si $f n$ es una secuencia de funciones que convergen uniformemente a $f$ en un conjunto compacto $[a, b]$ , entonces

\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

En intervalos no compactos como la recta real, esto es falso. Por ejemplo, tome $f n (x)$ como $n -1$ en $[0, n]$ y cero en otros lugares. Para todo $n$ tenemos:

\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.

La secuencia $(f n)$ converge uniformemente a la función cero, y claramente la integral de la función cero es cero. Como consecuencia,

\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.

Esto demuestra que para integrales en intervalos ilimitados, la convergencia uniforme de una función no es lo suficientemente fuerte como para permitir pasar un límite a través de un signo integral. Esto hace que la integral de Riemann sea inviable en aplicaciones (aunque la integral de Riemann asigna a ambos lados el valor correcto), porque no existe otro criterio general para intercambiar un límite y una integral de Riemann, y sin tal criterio es difícil aproximar integrales por aproximando sus integrandos.

Una mejor ruta es abandonar la integral de Riemann por la integral de Lebesgue . La definición de la integral de Lebesgue no es obviamente una generalización de la integral de Riemann, pero no es difícil demostrar que toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue y que los valores de las dos integrales concuerdan siempre que ambas estén definidas. Además, una función $f$ definida en un intervalo acotado es integrable en Riemann si y sólo si está acotada y el conjunto de puntos donde $f$ es discontinua tiene medida de Lebesgue cero.

Una integral que es de hecho una generalización directa de la integral de Riemann es la integral de Henstock-Kurzweil .

Otra forma de generalizar la integral de Riemann es reemplazar los factores $x k + 1 - x k$ en la definición de una suma de Riemann por algo más; En términos generales, esto le da al intervalo de integración una noción de longitud diferente. Este es el enfoque adoptado por la integral de Riemann-Stieltjes .

En cálculo multivariable , las integrales de Riemann para funciones de son integrales múltiples . $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

Comparación con otras teorías de la integración.

La integral de Riemann no es adecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann pueden remediarse con la integral de Riemann-Stieltjes , y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue , aunque esta última no tiene un tratamiento satisfactorio de las integrales impropias . La integral de calibre es una generalización de la integral de Lebesgue que está más cerca de la integral de Riemann. Estas teorías más generales permiten la integración de funciones más "irregulares" o "altamente oscilantes" cuya integral de Riemann no existe; pero las teorías dan el mismo valor que la integral de Riemann cuando existe.

En entornos educativos, la integral de Darboux ofrece una definición más simple con la que es más fácil trabajar; se puede utilizar para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que lo esté la integral de Riemann y siempre da el mismo resultado. Por el contrario, la integral de calibre es una generalización simple pero más poderosa de la integral de Riemann y ha llevado a algunos educadores a defender que debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos de introducción al cálculo. ^[12]

Ver también

Notas

^ La integral de Riemann se introdujo en el artículo de Bernhard Riemann "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica; es decir, cuándo se puede representar una función mediante una serie trigonométrica). Este artículo fue presentado a la Universidad de Göttingen en 1854 como Habilitationsschrift (calificación para convertirse en instructor) de Riemann. Fue publicado en 1868 en Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Actas de la Real Sociedad Filosófica de Göttingen), vol. 13, páginas 87-132. (Disponible en línea aquí.) Para conocer la definición de Riemann de su integral, consulte la sección 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (Sobre el concepto de integral definida y el alcance de su validez), páginas 101-103 .
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^ "Una carta abierta a los autores de libros de cálculo" . Consultado el 27 de febrero de 2014 .

Referencias

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Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley

enlaces externos

Medios relacionados con la integral de Riemann en Wikimedia Commons
"Integral de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]