Medida Peano-Jordan

En matemáticas , la medida de Peano-Jordan (también conocida como contenido de Jordan ) es una extensión de la noción de tamaño ( longitud , área , volumen ) a formas más complicadas que, por ejemplo, un triángulo , un disco o un paralelepípedo .

Resulta que para que un conjunto tenga medida de Jordan debería comportarse bien en un cierto sentido restrictivo. Por esta razón, ahora es más común trabajar con la medida de Lebesgue , que es una extensión de la medida de Jordan a una clase más grande de conjuntos. Históricamente hablando, la medida de Jordan llegó primero, hacia fines del siglo XIX. Por razones históricas, el término medida de Jordan ahora está bien establecido para esta función de conjunto , a pesar del hecho de que no es una verdadera medida en su definición moderna, ya que los conjuntos medibles de Jordan no forman un σ-álgebra . Por ejemplo, los conjuntos singleton en cada uno tienen una medida de Jordan de 0, mientras que , una unión contable de ellos, no es medible de Jordan. ^[1] Por esta razón, algunos autores ^[2] prefieren usar el término contenido de Jordan . ${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$

La medida de Peano-Jordan debe su nombre a sus creadores, el matemático francés Camille Jordan y el matemático italiano Giuseppe Peano . ^[3]

Medida de Jordan de "conjuntos simples"

Un conjunto simple es, por definición, una unión de rectángulos (posiblemente superpuestos).

El conjunto simple de arriba se descompone como una unión de rectángulos no superpuestos.

Consideremos el espacio euclidiano . La medida de Jordan se define primero sobre productos cartesianos de intervalos semiabiertos acotados que están cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha con todos los puntos finales y números reales finitos (los intervalos semiabiertos son una elección técnica; como vemos a continuación, se pueden usar intervalos cerrados o abiertos si se prefiere). Un conjunto de este tipo se llamará rectángulo -dimensional o simplemente rectángulo . La medida de Jordan de un rectángulo de este tipo se define como el producto de las longitudes de los intervalos: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ $${\displaystyle C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).}$$

A continuación, se consideran conjuntos simples , a veces llamados polirectángulos , que son uniones finitas de rectángulos, para cualquier $${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}}$$ ${\displaystyle k\geq 1.}$

No se puede definir la medida de Jordan como simplemente la suma de las medidas de los rectángulos individuales, porque dicha representación está lejos de ser única y podría haber superposiciones significativas entre los rectángulos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Afortunadamente, cualquier conjunto tan simple puede reescribirse como una unión de otra familia finita de rectángulos, rectángulos que esta vez son mutuamente disjuntos , y entonces se define la medida de Jordan como la suma de las medidas de los rectángulos disjuntos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m(S)}$

Se puede demostrar que esta definición de la medida de Jordan de es independiente de la representación de como una unión finita de rectángulos disjuntos. Es en el paso de "reescritura" donde se utiliza el supuesto de que los rectángulos están formados por intervalos semiabiertos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Extensión a conjuntos más complicados

Un conjunto (representado en la imagen por la región dentro de la curva azul) es medible según Jordan si y solo si puede aproximarse bien tanto desde el interior como desde el exterior mediante conjuntos simples (sus límites se muestran en verde oscuro y rosa oscuro respectivamente).

Obsérvese que un conjunto que es un producto de intervalos cerrados no es un conjunto simple, como tampoco lo es una bola . Por lo tanto, hasta ahora el conjunto de conjuntos medibles según Jordan sigue siendo muy limitado. El paso clave es entonces definir un conjunto acotado como medible según Jordan si se aproxima bien mediante conjuntos simples, exactamente de la misma manera que una función es integrable según Riemann si se aproxima bien mediante funciones constantes por partes. $${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$

Formalmente, para un conjunto acotado se define su ${\displaystyle B,}$Jordania interior mide como y su $${\displaystyle m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)}$$Medida de Jordania exterior como donde elínfimoyel supremose toman sobre conjuntos simples.el conjuntoes un $${\displaystyle m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)}$$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle B}$Conjunto medible de Jordan si la medida interna dees igual a la medida externa. El valor común de las dos medidas se denomina entonces simplementemedida de Jordan de. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$La medida de Jordan es lafunción de conjuntoque envía conjuntos medibles de Jordan a su medida de Jordan.

Resulta que todos los rectángulos (abiertos o cerrados), así como todas las bolas, símplex , etc., son medibles según Jordan. Además, si se consideran dos funciones continuas , el conjunto de puntos entre los gráficos de esas funciones es medible según Jordan siempre que ese conjunto esté acotado y el dominio común de las dos funciones sea medible según Jordan. Cualquier unión e intersección finitas de conjuntos medibles según Jordan es medible según Jordan, así como la diferencia de conjuntos de dos conjuntos medibles según Jordan cualesquiera. Un conjunto compacto no es necesariamente medible según Jordan. Por ejemplo, el conjunto ε-Cantor no lo es. Su medida de Jordan interna se anula, ya que su complemento es denso ; sin embargo, su medida de Jordan externa no se anula, ya que no puede ser menor que (de hecho, es igual a) su medida de Lebesgue. Además, un conjunto abierto acotado no es necesariamente medible según Jordan. Por ejemplo, el complemento del conjunto gordo de Cantor (dentro del intervalo) no lo es. Un conjunto acotado es medible según el método de Jordan si y solo si su función indicadora es integrable según el método de Riemann , y el valor de la integral es su medida de Jordan.[1]

De manera equivalente, para un conjunto acotado , la medida de Jordan interna de es la medida de Lebesgue del interior topológico de y la medida de Jordan externa es la medida de Lebesgue del cierre . ^[4] De esto se deduce que un conjunto acotado es medible según Jordan si y solo si su límite topológico tiene medida de Lebesgue cero. (O equivalentemente, si el límite tiene medida de Jordan cero; la equivalencia se cumple debido a la compacidad del límite). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

La medida Lebesgue

Esta última propiedad limita en gran medida los tipos de conjuntos que son medibles según el método de Jordan. Por ejemplo, el conjunto de números racionales contenido en el intervalo [0,1] no es medible según el método de Jordan, ya que su límite es [0,1], que no tiene una medida de Jordan cero. Sin embargo, intuitivamente, el conjunto de números racionales es un conjunto "pequeño", ya que es contable , y debería tener un "tamaño" cero. Esto es cierto, pero solo si uno reemplaza la medida de Jordan por la medida de Lebesgue . La medida de Lebesgue de un conjunto es la misma que su medida de Jordan siempre que ese conjunto tenga una medida de Jordan. Sin embargo, la medida de Lebesgue se define para una clase mucho más amplia de conjuntos, como el conjunto de números racionales en un intervalo mencionado anteriormente, y también para conjuntos que pueden ser ilimitados o fractales . Además, la medida de Lebesgue, a diferencia de la medida de Jordan, es una medida verdadera , es decir, cualquier unión contable de conjuntos medibles de Lebesgue es medible de Lebesgue, mientras que las uniones contables de conjuntos medibles de Jordan no necesitan ser medibles de Jordan.

Referencias

1. Si bien un conjunto cuya medida está definida se denomina medible , no existe un término comúnmente aceptado para describir un conjunto cuyo contenido de Jordan está definido. Munkres (1991) sugiere el término "rectificable" como una generalización del uso de este término para describir curvas. Otros autores han utilizado términos como "admisible" (Lang, Zorich); "pavable" (Hubbard); "tiene contenido" (Burkill); "contento" (Loomis y Sternberg).
2. Munkres, JR (1991). Análisis de variedades . Boulder, CO: Westview Press. pág. 113. ISBN. 0-201-31596-3.
3. G. Peano, "Aplicaciones geométricas del calcolo infinitesimale", Fratelli Bocca , Torino, 1887.
4. Frink, Orrin Jr. (julio de 1933). "Medida de Jordan e integración de Riemann". Anales de Matemáticas . 2. 34 (3): 518–526. doi :10.2307/1968175. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968175.

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Análisis real . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4231-5.
• Richard Courant; Fritz John (1999). Introducción al cálculo y análisis, volumen II/1: capítulos 1-4 (Clásicos de las matemáticas) . Berlín: Springer. ISBN 3-540-66569-2.

Enlaces externos

• Derwent, John. "Medida de Jordan". MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida de Jordan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press