Conjunto Smith-Volterra-Cantor

Después de eliminar los intervalos negros, los puntos blancos que quedan forman un conjunto de compás 1/2 que no tiene densidad.

En matemáticas , el conjunto de Smith-Volterra-Cantor ( SVC ), conjunto ε-Cantor , ^[1] o conjunto gordo de Cantor es un ejemplo de un conjunto de puntos en la línea real que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos ), pero tiene medida positiva . El conjunto de Smith-Volterra-Cantor recibe su nombre de los matemáticos Henry Smith , Vito Volterra y Georg Cantor . En un artículo de 1875, Smith discutió un conjunto de medida positiva sin densidad en ninguna parte en la línea real, ^[2] y Volterra introdujo un ejemplo similar en 1881. ^[3] El conjunto de Cantor tal como lo conocemos hoy siguió en 1883. El conjunto de Smith-Volterra-Cantor es topológicamente equivalente al conjunto de Cantor de tercios medios .

Construcción

De manera similar a la construcción del conjunto de Cantor , el conjunto de Smith-Volterra-Cantor se construye eliminando ciertos intervalos del intervalo unitario. ${\displaystyle [0,1].}$

El proceso comienza quitando el 1/4 central del intervalo (lo mismo que quitar 1/8 a cada lado del punto medio en 1/2) de modo que el conjunto restante sea ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle \left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right].}$$

Los siguientes pasos consisten en eliminar subintervalos de ancho de la mitad de cada uno de los intervalos restantes. Así que para el segundo paso se eliminan los intervalos y , quedando ${\displaystyle 1/4^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle (5/32,7/32)}$ ${\displaystyle (25/32,27/32)}$ $${\displaystyle \left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].}$$

Continuando indefinidamente con esta eliminación, el conjunto Smith-Volterra-Cantor es entonces el conjunto de puntos que nunca se eliminan. La imagen siguiente muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso.

Cada iteración posterior en la construcción del conjunto Smith-Volterra-Cantor elimina proporcionalmente menos de los intervalos restantes. Esto contrasta con el conjunto de Cantor , donde la proporción eliminada de cada intervalo permanece constante. Por lo tanto, el conjunto Smith-Volterra-Cantor tiene medida positiva mientras que el conjunto de Cantor tiene medida cero.

Propiedades

Por construcción, el conjunto Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos y, por lo tanto, tiene el interior vacío. También es la intersección de una secuencia de conjuntos cerrados , lo que significa que es cerrado. Durante el proceso, se eliminan los intervalos de longitud total de lo que demuestra que el conjunto de los puntos restantes tiene una medida positiva de 1/2. Esto hace que el conjunto Smith-Volterra-Cantor sea un ejemplo de un conjunto cerrado cuyo límite tiene una medida de Lebesgue positiva . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$$ ${\displaystyle [0,1],}$

Otros conjuntos gordos de Cantor

En general, se puede eliminar de cada subintervalo restante en el paso n del algoritmo y terminar con un conjunto tipo Cantor. El conjunto resultante tendrá medida positiva si y solo si la suma de la secuencia es menor que la medida del intervalo inicial. Por ejemplo, supongamos que se eliminan los intervalos medios de longitud de para cada iteración n, para algún Entonces, el conjunto resultante tiene medida de Lebesgue que va de a como va de a ( es imposible en esta construcción). ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle a>1/3}$

Los productos cartesianos de los conjuntos de Smith-Volterra-Cantor se pueden utilizar para encontrar conjuntos totalmente desconectados en dimensiones superiores con medida distinta de cero. Aplicando el teorema de Denjoy-Riesz a un conjunto bidimensional de este tipo, es posible encontrar una curva de Osgood , una curva de Jordan tal que los puntos de la curva tengan área positiva. ^[4]

Véase también

• El conjunto Smith-Volterra-Cantor se utiliza en la construcción de la función de Volterra (ver enlace externo).
• El conjunto Smith-Volterra-Cantor es un ejemplo de un conjunto compacto que no es medible según el método de Jordan, véase Medida de Jordan#Extensión a conjuntos más complicados .
• La función indicadora del conjunto Smith–Volterra–Cantor es un ejemplo de una función acotada que no es integrable de Riemann en (0,1) y, además, no es igual casi en todas partes a una función integrable de Riemann, véase Integral de Riemann#Ejemplos .
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

1. Aliprantis y Burkinshaw (1981), Principios del análisis real
2. Smith, Henry JS (1874). "Sobre la integración de funciones discontinuas". Actas de la London Mathematical Society. Primera serie. 6: 140–153
3. Ponce Campuzano, Juan; Maldonado, Miguel (2015). "Construcción de Vito Volterra de una función no constante con una derivada acotada, no integrable según el método de Riemann". Boletín de la BSHM Revista de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas . 30 (2): 143–152. doi :10.1080/17498430.2015.1010771. S2CID  34546093.
4. Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. (1999), "Sobre uniones e intersecciones incontables de conjuntos mensurables", Georgian Mathematical Journal , 6 (3): 201–212, doi :10.1023/A:1022102312024, MR  1679442.