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En topología , el teorema de Denjoy-Riesz establece que todo conjunto compacto de puntos totalmente desconectados en el plano euclidiano puede ser cubierto por una imagen continua del intervalo unitario , sin autointersecciones (un arco de Jordan ).
Un espacio topológico es de dimensión cero según la dimensión de recubrimiento de Lebesgue si cada recubrimiento abierto finito tiene un refinamiento que también es un recubrimiento abierto por conjuntos disjuntos. Un espacio topológico es totalmente desconectado si no tiene subconjuntos conexos no triviales; para los puntos en el plano, estar totalmente desconectado es equivalente a ser de dimensión cero. El teorema de Denjoy-Riesz establece que cada subconjunto compacto totalmente desconectado del plano es un subconjunto de un arco de Jordan. [1]
Kuratowski (1968) atribuye el resultado a las publicaciones de Frigyes Riesz en 1906 y Arnaud Denjoy en 1910, ambas en Comptes rendus de l'Académie des sciences . [2] Como describen Moore y Kline (1919), [3] Riesz en realidad dio un argumento incorrecto de que cada conjunto totalmente desconectado en el plano es un subconjunto de un arco de Jordan. Esto generalizó un resultado previo de L. Zoretti, que utilizó una clase más general de conjuntos que los arcos de Jordan, pero Zoretti encontró un fallo en la prueba de Riesz: presumía incorrectamente que las proyecciones unidimensionales de conjuntos totalmente desconectados permanecían totalmente desconectadas. Luego, Denjoy (sin citar ni a Zoretti ni a Riesz) afirmó una prueba del teorema de Riesz, con pocos detalles. Moore y Kline enunciaron y probaron una generalización que caracteriza completamente los subconjuntos del plano que pueden ser subconjuntos de los arcos de Jordan, y que incluye el teorema de Denjoy-Riesz como un caso especial. [3]
Aplicando este teorema a una versión bidimensional del conjunto Smith-Volterra-Cantor , es posible encontrar una curva de Osgood , un arco de Jordan o una curva de Jordan cerrada cuya medida de Lebesgue sea positiva. [4]
Un resultado relacionado es el teorema del viajante de comercio del analista , que describe los conjuntos de puntos que forman subconjuntos de curvas de longitud de arco finita . No todos los conjuntos compactos totalmente desconectados tienen esta propiedad, porque algunos conjuntos compactos totalmente desconectados requieren que cualquier arco que los cubra tenga una longitud infinita.