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Dimensión de la cubierta de Lebesgue

En matemáticas , la dimensión de cobertura de Lebesgue o dimensión topológica de un espacio topológico es una de varias formas diferentes de definir la dimensión del espacio de una manera topológicamente invariante . [1] [2]

Discusión informal

Para los espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de recubrimiento de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para los puntos, uno para las líneas, dos para los planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .

En general, un espacio topológico X puede ser cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tales que X se encuentre dentro de su unión . La dimensión de recubrimiento es el número más pequeño n tal que para cada recubrimiento, hay un refinamiento en el que cada punto en X se encuentra en la intersección de no más de n  + 1 conjuntos de recubrimiento. Esta es la esencia de la definición formal a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un entero ) que describa el espacio y no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que sea invariante bajo homeomorfismos .

La idea general se ilustra en los diagramas siguientes, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.

Definición formal

Henri Lebesgue utilizó "ladrillos" cerrados para estudiar la dimensión del recubrimiento en 1921. [3]

La primera definición formal de dimensión de cobertura fue dada por Eduard Čech , basándose en un resultado anterior de Henri Lebesgue . [4]

Una definición moderna es la siguiente. Una cubierta abierta de un espacio topológico X es una familia de conjuntos abiertos U α tales que su unión es todo el espacio, U α = X . El orden o capa de una cubierta abierta = { U α } es el número más pequeño m (si existe) para el cual cada punto del espacio pertenece a como máximo m conjuntos abiertos en la cubierta: en otras palabras U α 1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U α m +1 = para α 1 , ..., α m +1 distinto. Un refinamiento de una cubierta abierta = { U α } es otra cubierta abierta = { V β }, tal que cada V β está contenido en algún U α . La dimensión de cubierta de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n tal que cada cubierta abierta finita de X tiene un refinamiento abierto con orden n  + 1. El refinamiento siempre se puede elegir para que sea finito. [5] Por lo tanto, si n es finito, V β 1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V β n +2 = para β 1 ​​, ..., β n +2 distinto. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Como caso especial, un espacio topológico no vacío es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura si cada cobertura abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos , lo que significa que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de este refinamiento.

Ejemplos

El conjunto vacío tiene dimensión de cobertura -1: para cualquier cobertura abierta del conjunto vacío, cada punto del conjunto vacío no está contenido en ningún elemento de la cobertura, por lo que el orden de cualquier cobertura abierta es 0.

Cualquier cubierta abierta dada del círculo unitario tendrá un refinamiento que consistirá en una colección de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier cubierta de este tipo puede refinarse aún más hasta el punto en que un punto x dado del círculo esté contenido en, como máximo, dos arcos abiertos. Es decir, cualquiera sea la colección de arcos con la que comencemos, algunos pueden descartarse o reducirse, de modo que el resto aún cubra el círculo, pero con superposiciones simples.

De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional puede refinarse de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos en general no son suficientes. La dimensión de la cubierta del disco es, por lo tanto, dos.

De manera más general, el espacio euclidiano n -dimensional tiene una dimensión de cobertura n .

Propiedades

Relaciones con otras nociones de dimensión

Véase también

Notas

  1. ^ Lebesgue, Henri (1921). "Sur les correspondencias entre les point de deux espaces" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 2 : 256–285. doi :10.4064/fm-2-1-256-285.
  2. ^ Duda, R. (1979). "Los orígenes del concepto de dimensión". Colloquium Mathematicum . 42 : 95–110. doi : 10.4064/cm-42-1-95-110 . MR  0567548.
  3. ^ Lebesgue 1921.
  4. ^ Kuperberg, Krystyna , ed. (1995), Obras completas de Witold Hurewicz, American Mathematical Society, Serie de obras completas, vol. 4, American Mathematical Society, pág. xxiii, nota al pie 3, ISBN 9780821800119El descubrimiento de Lebesgue condujo posteriormente a la introducción por E. Čech de la dimensión de recubrimiento ..
  5. ^ Proposición 1.6.9 de Engelking, Ryszard (1978). Teoría de la dimensión (PDF) . North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3.Sr. 0482697  .
  6. ^ Ostrand 1971.
  7. ^ Proposición 3.2.2 de Engelking, Ryszard (1978). Teoría de la dimensión (PDF) . North-Holland Mathematical Library. Vol. 19. Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3.Sr. 0482697  .
  8. ^ Godement 1973, II.5.12, pág. 236

Referencias

Lectura adicional

Histórico

Moderno

Enlaces externos