Función plana

Función cuyas derivadas se anulan en un punto

La función es plana en . ${\displaystyle y(x\neq 0)=e^{-1/x^{2}},}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$

En matemáticas , especialmente en análisis real , una función real es plana si todas sus derivadas existen y son iguales a 0 . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Una función que es plana en no es analítica en a menos que sea constante en un entorno de (ya que una función analítica debe ser igual a la suma de su serie de Taylor ). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Un ejemplo de una función plana en 0 es la función tal que y para ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\textstyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$

La función no necesita ser plana en un solo punto. Trivialmente, las funciones constantes en son planas en todas partes. Pero también hay otros ejemplos menos triviales; por ejemplo, la función tal que para y para ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\textstyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle x>0.}$

Ejemplo

La función definida por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

es plana en . Por lo tanto, este es un ejemplo de una función suave no analítica . La naturaleza patológica de este ejemplo se ilustra parcialmente por el hecho de que su extensión a los números complejos , de hecho, no es diferenciable . ${\displaystyle x=0}$

Referencias

• Glaister, P. (diciembre de 1991), Una función plana con algunas propiedades interesantes y una aplicación , The Mathematical Gazette, vol. 75, núm. 474, págs. 438-440, JSTOR  3618627