Notación multiíndice

Notación matemática

La notación de índices múltiples es una notación matemática que simplifica las fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable , las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de distribuciones , al generalizar el concepto de índice entero a una tupla ordenada de índices.

Definición y propiedades básicas.

Un índice múltiple de n dimensiones es una tupla ${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

de números enteros no negativos (es decir , un elemento del conjunto -dimensional de números naturales , denotado ). ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Para índices múltiples y , se define: ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Suma y diferencia componentes

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Orden parcial

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Suma de componentes (valor absoluto)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Factorial

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Coeficiente binomial

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Coeficiente multinomial

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$

dónde . ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Fuerza

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Derivada parcial de orden superior

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$

donde (ver también 4-gradiente ). A veces también se utiliza la notación . ^[1] ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

Algunas aplicaciones

La notación multiíndice permite la extensión de muchas fórmulas del cálculo elemental al caso multivariable correspondiente. A continuación se muestran algunos ejemplos. En todo lo siguiente, (o ), , y (o ). ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Teorema multinomial

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Teorema multibinomial

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Tenga en cuenta que, dado que x + y es un vector y α es un índice múltiple, la expresión de la izquierda es la abreviatura de ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

Fórmula de Leibniz

Para funciones fluidas y , ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

serie de taylor

Para una función analítica en variables se tiene ${\textstyle f}$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$

De hecho, para una función suficientemente suave, tenemos la expansión de Taylor similar

$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$

donde el último término (el resto) depende de la versión exacta de la fórmula de Taylor. Por ejemplo, para la fórmula de Cauchy (con resto integral), se obtiene

$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

Operador diferencial parcial lineal general

Un operador diferencial parcial lineal formal de orden ésimo en variables se escribe como ${\textstyle N}$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Integración por partes

Para funciones suaves con soporte compacto en un dominio acotado se tiene ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

Esta fórmula se utiliza para la definición de distribuciones y derivadas débiles .

Un teorema de ejemplo

Si son índices múltiples y , entonces ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Prueba

La prueba se desprende de la regla de la potencia para la derivada ordinaria ; si α y β están en , entonces ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Supongamos que , y . Entonces tenemos eso ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

Para cada in , la función solo depende de . En lo anterior, cada diferenciación parcial se reduce, por tanto, a la correspondiente diferenciación ordinaria . Por lo tanto, de la ecuación ( 1 ), se deduce que desaparece si durante al menos uno en . Si este no es el caso, es decir, si son índices múltiples, entonces ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle d/dx_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle \alpha \leq \beta }$

$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$

QED ${\displaystyle i}$

Ver también

• Notación de Einstein
• Notación de índice
• cálculo de ricci

Referencias

1. Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: análisis funcional I (edición revisada y ampliada). San Diego: Prensa académica. pag. 319.ISBN​ 0-12-585050-6.

• San Raymond, Xavier (1991). Introducción elemental a la teoría de operadores pseudodiferenciales . Capítulo 1.1. Prensa CRC. ISBN 0-8493-7158-9 

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