Cálculo diferencial

Área de las matemáticas; subárea del cálculo

La gráfica de una función, dibujada en negro, y una recta tangente a esa función, dibujada en rojo. La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función en el punto marcado.

En matemáticas , el cálculo diferencial es un subcampo del cálculo que estudia las tasas a las que cambian las cantidades. ^[1] Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, la otra es el cálculo integral , el estudio del área debajo de una curva. ^[2]

Los principales objetos de estudio en el cálculo diferencial son la derivada de una función , nociones relacionadas como la diferencial y sus aplicaciones. La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada. El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación . Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en ese punto, siempre que la derivada exista y esté definida en ese punto. Para una función de valor real de una sola variable real, la derivada de una función en un punto generalmente determina la mejor aproximación lineal a la función en ese punto.

El cálculo diferencial y el cálculo integral están conectados por el teorema fundamental del cálculo , que establece que la diferenciación es el proceso inverso a la integración .

La diferenciación tiene aplicaciones en casi todas las disciplinas cuantitativas. En física , la derivada del desplazamiento de un cuerpo en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración . La derivada del momento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la fuerza aplicada al cuerpo; reordenando esta expresión derivada se llega a la famosa ecuación F = ma asociada con la segunda ley del movimiento de Newton . La velocidad de reacción de una reacción química es una derivada. En la investigación de operaciones , las derivadas determinan las formas más eficientes de transportar materiales y diseñar fábricas.

Las derivadas se utilizan con frecuencia para hallar los máximos y mínimos de una función. Las ecuaciones que implican derivadas se denominan ecuaciones diferenciales y son fundamentales para describir fenómenos naturales . Las derivadas y sus generalizaciones aparecen en muchos campos de las matemáticas, como el análisis complejo , el análisis funcional , la geometría diferencial , la teoría de la medida y el álgebra abstracta .

Derivado

Gráfica de una función arbitraria . La línea naranja es tangente a , lo que significa que en ese punto exacto, la pendiente de la curva y la línea recta son iguales. ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

La derivada en diferentes puntos de una función diferenciable

La derivada de en el punto es la pendiente de la tangente a . ^[3] Para tener una idea intuitiva de esto, primero hay que estar familiarizado con la búsqueda de la pendiente de una ecuación lineal, escrita en la forma . La pendiente de una ecuación es su inclinación. Se puede encontrar eligiendo dos puntos cualesquiera y dividiendo el cambio en por el cambio en , lo que significa que . Para , el gráfico de tiene una pendiente de , como se muestra en el diagrama siguiente: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{slope }}={\frac {{\text{ change in }}y}{{\text{change in }}x}}}$ ${\displaystyle y=-2x+13}$ ${\displaystyle -2}$

La gráfica de ${\displaystyle y=-2x+13}$

${\displaystyle {\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {-6}{+3}}=-2}$

Para abreviar, a menudo se escribe como , siendo la letra griega delta, que significa 'cambio en'. La pendiente de una ecuación lineal es constante, lo que significa que la inclinación es la misma en todas partes. Sin embargo, muchos gráficos como varían en su inclinación. Esto significa que ya no se pueden elegir dos puntos arbitrarios y calcular la pendiente. En cambio, la pendiente del gráfico se puede calcular considerando la línea tangente, una línea que 'apenas toca' un punto particular. ^[a] La pendiente de una curva en un punto particular es igual a la pendiente de la tangente a ese punto. Por ejemplo, tiene una pendiente de en porque la pendiente de la línea tangente a ese punto es igual a : ${\displaystyle {\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle 4}$

La gráfica de , con una línea recta que es tangente a . La pendiente de la línea tangente es igual a . (Los ejes de la gráfica no utilizan una escala 1:1). ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle (2,4)}$ ${\displaystyle 4}$

La derivada de una función es entonces simplemente la pendiente de esta línea tangente. ^[b] Aunque la línea tangente solo toca un único punto en el punto de tangencia, se puede aproximar mediante una línea que pasa por dos puntos. Esto se conoce como línea secante . Si los dos puntos por los que pasa la línea secante están cerca uno del otro, entonces la línea secante se parece mucho a la línea tangente y, como resultado, su pendiente también es muy similar:

La línea de puntos pasa por los puntos y , que se encuentran en la curva . Como estos dos puntos están bastante cerca, la línea de puntos y la línea tangente tienen una pendiente similar. A medida que los dos puntos se acercan, el error producido por la línea secante se vuelve extremadamente pequeño. ${\displaystyle (2,4)}$ ${\displaystyle (3,9)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

La ventaja de utilizar una línea secante es que su pendiente se puede calcular directamente. Considere los dos puntos en el gráfico y , donde es un número pequeño. Como antes, la pendiente de la línea que pasa por estos dos puntos se puede calcular con la fórmula . Esto da ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x))}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle {\text{slope }}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\text{slope}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

A medida que se acerca cada vez más a , la pendiente de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente de la recta tangente. Esto se escribe formalmente como ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

La expresión anterior significa 'a medida que se acerca cada vez más a 0, la pendiente de la línea secante se acerca cada vez más a un cierto valor'. El valor al que se está aproximando es la derivada de ; esto se puede escribir como . Si , la derivada también se puede escribir como , con representando un cambio infinitesimal . Por ejemplo, representa un cambio infinitesimal en x. ^[c] En resumen, si , entonces la derivada de es ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

siempre que exista dicho límite. ^{[4] [d]} Hemos logrado así definir correctamente la derivada de una función, lo que significa que la "pendiente de la línea tangente" ahora tiene un significado matemático preciso. La diferenciación de una función utilizando la definición anterior se conoce como diferenciación a partir de los primeros principios. Aquí hay una prueba, utilizando la diferenciación a partir de los primeros principios, de que la derivada de es : ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\\end{aligned}}}$

Como se aproxima a , se aproxima a . Por lo tanto, . Esta prueba se puede generalizar para mostrar que si y son constantes . Esto se conoce como la regla de la potencia . Por ejemplo, . Sin embargo, muchas otras funciones no se pueden derivar tan fácilmente como las funciones polinómicas , lo que significa que a veces se necesitan técnicas adicionales para encontrar la derivada de una función. Estas técnicas incluyen la regla de la cadena , la regla del producto y la regla del cociente . Otras funciones no se pueden derivar en absoluto, lo que da lugar al concepto de diferenciabilidad . ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2x+\Delta x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x}$ ${\displaystyle {\frac {d(ax^{n})}{dx}}=anx^{n-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(5x^{4})=5(4)x^{3}=20x^{3}}$

Un concepto estrechamente relacionado con la derivada de una función es su diferencial . Cuando x e y son variables reales, la derivada de f en x es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de f en x . Debido a que la fuente y el destino de f son unidimensionales, la derivada de f es un número real. Si x e y son vectores, entonces la mejor aproximación lineal a la gráfica de f depende de cómo cambia f en varias direcciones a la vez. Tomar la mejor aproximación lineal en una sola dirección determina una derivada parcial , que generalmente se denota como∂ y/∂ xLa linealización de f en todas las direcciones a la vez se llama derivada total .

Historia de la diferenciación

El concepto de derivada en el sentido de una línea tangente es muy antiguo, familiar para los matemáticos griegos antiguos como Euclides (c. 300 a. C.), Arquímedes (c. 287-212 a. C.) y Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.). ^[5] Arquímedes también hizo uso de indivisibles , aunque estos se utilizaron principalmente para estudiar áreas y volúmenes en lugar de derivadas y tangentes (véase El método de teoremas mecánicos ). El uso de infinitesimales para calcular tasas de cambio fue desarrollado significativamente por Bhāskara II (1114-1185); de hecho, se ha argumentado ^[6] que muchas de las nociones clave del cálculo diferencial se pueden encontrar en su obra, como el " teorema de Rolle ". ^[7]

El matemático Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), en su Tratado de ecuaciones , estableció las condiciones para que algunas ecuaciones cúbicas tuvieran soluciones, al encontrar los máximos de los polinomios cúbicos apropiados. Obtuvo, por ejemplo, que el máximo (para x positivo ) de la cúbica ax ² – x ³ ocurre cuando x = 2 a / 3 , y concluyó de ello que la ecuación ax ² = x ³ + c tiene exactamente una solución positiva cuando c = 4 a ³ / 27 , y dos soluciones positivas siempre que 0 < c < 4 a ³ / 27 . ^{[8] [ página necesaria ]} El historiador de la ciencia, Roshdi Rashed , ^{[8] [ página necesaria ]} ha argumentado que al-Tūsī debe haber usado la derivada de la cúbica para obtener este resultado. La conclusión de Rashed ha sido cuestionada por otros investigadores, quienes sostienen que podría haber obtenido el resultado mediante otros métodos que no requieren que se conozca la derivada de la función. ^{[8] [ página necesaria ]}

El desarrollo moderno del cálculo suele atribuirse a Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes aportaron enfoques independientes ^{[e] y unificados para la diferenciación y las derivadas. Sin embargo, la idea clave que les valió este reconocimiento fue el} teorema fundamental del cálculo que relaciona la diferenciación y la integración: esto dejó obsoletos la mayoría de los métodos anteriores para calcular áreas y volúmenes. ^[f] Para sus ideas sobre las derivadas, tanto Newton como Leibniz se basaron en trabajos anteriores importantes de matemáticos como Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695), Blaise Pascal (1623-1662) y John Wallis (1616-1703). En cuanto a la influencia de Fermat, Newton escribió una vez en una carta que " tuve la pista de este método [de fluxiones] de la manera de Fermat de dibujar tangentes, y al aplicarlo a ecuaciones abstractas, directa e invertidamente, lo hice general " . ^[9] A Isaac Barrow generalmente se le da crédito por el desarrollo temprano de la derivada. ^[10] Sin embargo, Newton y Leibniz siguen siendo figuras clave en la historia de la diferenciación, sobre todo porque Newton fue el primero en aplicar la diferenciación a la física teórica , mientras que Leibniz desarrolló sistemáticamente gran parte de la notación que todavía se usa hoy en día.

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido a la teoría de la diferenciación. En el siglo XIX, el cálculo adquirió una base mucho más rigurosa gracias a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) y Karl Weierstrass (1815-1897). También fue durante este período cuando la diferenciación se generalizó al espacio euclidiano y al plano complejo .

El siglo XX trajo dos grandes pasos hacia nuestra comprensión y práctica actual de la derivación: la integración de Lebesgue , además de extender el cálculo integral a muchas más funciones, aclaró la relación entre la derivación y la integración con la noción de continuidad absoluta . Más tarde, la teoría de distribuciones (después de Laurent Schwartz ) extendió la derivación a funciones generalizadas (por ejemplo, la función delta de Dirac introducida previamente en la mecánica cuántica ) y se volvió fundamental para el análisis aplicado hoy en día, especialmente por el uso de soluciones débiles a ecuaciones diferenciales parciales .

Aplicaciones de las derivadas

Mejoramiento

Si f es una función diferenciable en ℝ (o un intervalo abierto ) y x es un máximo local o un mínimo local de f , entonces la derivada de f en x es cero. Los puntos donde f' ( x ) = 0 se denominan puntos críticos o puntos estacionarios (y el valor de f en x se denomina valor crítico ). Si no se supone que f sea diferenciable en todas partes, entonces los puntos en los que no es diferenciable también se designan puntos críticos.

Si f es dos veces diferenciable, entonces, inversamente, un punto crítico x de f se puede analizar considerando la segunda derivada de f en x  :

• si es positivo, x es un mínimo local;
• si es negativo, x es un máximo local;
• si es cero, entonces x podría ser un mínimo local, un máximo local o ninguno de los dos. (Por ejemplo, f ( x ) = x ³ tiene un punto crítico en x = 0 , pero no tiene ni un máximo ni un mínimo allí, mientras que f ( x ) = ± x ⁴ tiene un punto crítico en x = 0 y un mínimo y un máximo, respectivamente, allí.)

Esto se denomina prueba de la segunda derivada . Un enfoque alternativo, denominado prueba de la primera derivada , implica considerar el signo de f' en cada lado del punto crítico.

Por lo tanto, la toma de derivadas y la resolución de los puntos críticos suele ser una forma sencilla de encontrar mínimos o máximos locales, lo que puede resultar útil en la optimización . Según el teorema de los valores extremos , una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar sus valores mínimo y máximo al menos una vez. Si la función es diferenciable, los mínimos y máximos solo pueden darse en puntos críticos o extremos.

Esto también tiene aplicaciones en el diseño de gráficos: una vez que se han encontrado los mínimos y máximos locales de una función diferenciable, se puede obtener un diagrama aproximado del gráfico a partir de la observación de que aumentará o disminuirá entre puntos críticos.

En dimensiones superiores , un punto crítico de una función de valor escalar es un punto en el que el gradiente es cero. La prueba de la segunda derivada todavía se puede utilizar para analizar puntos críticos considerando los valores propios de la matriz hessiana de derivadas parciales segundas de la función en el punto crítico. Si todos los valores propios son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos, es un máximo local. Si hay algunos valores propios positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico se llama " punto de silla ", y si ninguno de estos casos se cumple (es decir, algunos de los valores propios son cero), entonces la prueba se considera no concluyente.

Cálculo de variaciones

Un ejemplo de un problema de optimización es: encontrar la curva más corta entre dos puntos de una superficie, suponiendo que la curva también debe estar sobre la superficie. Si la superficie es un plano, entonces la curva más corta es una línea. Pero si la superficie tiene, por ejemplo, forma de huevo, entonces el camino más corto no está inmediatamente claro. Estos caminos se llaman geodésicas , y uno de los problemas más fundamentales en el cálculo de variaciones es encontrar geodésicas. Otro ejemplo es: encontrar la superficie de área más pequeña que llena una curva cerrada en el espacio. Esta superficie se llama superficie mínima y también se puede encontrar utilizando el cálculo de variaciones.

Física

El cálculo es de vital importancia en física: muchos procesos físicos se describen mediante ecuaciones que implican derivadas, llamadas ecuaciones diferenciales . La física se ocupa en particular de la forma en que las cantidades cambian y se desarrollan con el tiempo, y el concepto de " derivada temporal " (la tasa de cambio con el tiempo) es esencial para la definición precisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas temporales de la posición de un objeto son significativas en la física newtoniana :

• La velocidad es la derivada (con respecto al tiempo) del desplazamiento de un objeto (distancia desde la posición original)
• La aceleración es la derivada (con respecto al tiempo) de la velocidad de un objeto, es decir, la segunda derivada (con respecto al tiempo) de la posición de un objeto.

Por ejemplo, si la posición de un objeto en una línea está dada por

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$

entonces la velocidad del objeto es

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$

y la aceleración del objeto es

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$

que es constante.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una relación entre un conjunto de funciones y sus derivadas. Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial que relaciona funciones de una variable con sus derivadas con respecto a esa variable. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial que relaciona funciones de más de una variable con sus derivadas parciales . Las ecuaciones diferenciales surgen de forma natural en las ciencias físicas, en el modelado matemático y dentro de las matemáticas mismas. Por ejemplo, la segunda ley de Newton , que describe la relación entre la aceleración y la fuerza, puede enunciarse como la ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

La ecuación de calor en una variable espacial, que describe cómo se difunde el calor a través de una varilla recta, es la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

Aquí u ( x , t ) es la temperatura de la varilla en la posición x y el tiempo t y α es una constante que depende de qué tan rápido se difunde el calor a través de la varilla.

Teorema del valor medio

Teorema del valor medio: para cada función diferenciable con existe una con . ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

El teorema del valor medio proporciona una relación entre los valores de la derivada y los valores de la función original. Si f ( x ) es una función de valor real y a y b son números con a < b , entonces el teorema del valor medio dice que bajo hipótesis suaves, la pendiente entre los dos puntos ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )) es igual a la pendiente de la línea tangente a f en algún punto c entre a y b . En otras palabras,

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

En la práctica, lo que hace el teorema del valor medio es controlar una función en términos de su derivada. Por ejemplo, supongamos que f tiene una derivada igual a cero en cada punto. Esto significa que su línea tangente es horizontal en cada punto, por lo que la función también debería ser horizontal. El teorema del valor medio demuestra que esto debe ser cierto: la pendiente entre dos puntos cualesquiera en el gráfico de f debe ser igual a la pendiente de una de las líneas tangentes de f . Todas esas pendientes son cero, por lo que cualquier línea desde un punto en el gráfico a otro punto también tendrá pendiente cero. Pero eso dice que la función no se mueve hacia arriba o hacia abajo, por lo que debe ser una línea horizontal. Condiciones más complicadas en la derivada conducen a información menos precisa pero aún muy útil sobre la función original.

Polinomios de Taylor y series de Taylor

La derivada da la mejor aproximación lineal posible de una función en un punto dado, pero esta puede ser muy diferente de la función original. Una forma de mejorar la aproximación es tomar una aproximación cuadrática. Es decir, la linealización de una función de valor real f ( x ) en el punto x ₀ es un polinomio lineal a + b ( x − x ₀ ) , y puede ser posible obtener una mejor aproximación considerando un polinomio cuadrático a + b ( x − x ₀ ) + c ( x − x ₀ ) ² . Aún mejor podría ser un polinomio cúbico a + b ( x − x ₀ ) + c ( x − x ₀ ) ² + d ( x − x ₀ ) ³ , y esta idea se puede extender a polinomios de grado arbitrario. Para cada uno de estos polinomios, debe haber una mejor elección posible de coeficientes a , b , c y d que haga que la aproximación sea lo mejor posible.

En el entorno de x ₀ , para a la mejor elección posible siempre es f ( x ₀ ) , y para b la mejor elección posible siempre es f' ( x ₀ ) . Para c , d y coeficientes de grado superior, estos coeficientes están determinados por derivadas superiores de f . c siempre debería ser ⁠f'' ( x ₀ )/2⁠ , y d siempre debe ser ⁠f''' ( x ₀ )/3!⁠ . El uso de estos coeficientes da el polinomio de Taylor de f . El polinomio de Taylor de grado d es el polinomio de grado d que mejor se aproxima a f , y sus coeficientes se pueden encontrar mediante una generalización de las fórmulas anteriores. El teorema de Taylor proporciona un límite preciso sobre cuán buena es la aproximación. Si f es un polinomio de grado menor o igual a d , entonces el polinomio de Taylor de grado d es igual a f .

El límite de los polinomios de Taylor es una serie infinita llamada serie de Taylor . La serie de Taylor es con frecuencia una muy buena aproximación a la función original. Las funciones que son iguales a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas . Es imposible que las funciones con discontinuidades o aristas vivas sean analíticas; además, existen funciones suaves que tampoco son analíticas.

Teorema de la función implícita

Algunas formas geométricas naturales, como los círculos , no se pueden dibujar como el gráfico de una función . Por ejemplo, si f ( x , y ) = x ² + y ² − 1 , entonces el círculo es el conjunto de todos los pares ( x , y ) tales que f ( x , y ) = 0 . Este conjunto se llama el conjunto cero de f , y no es lo mismo que el gráfico de f , que es un paraboloide . El teorema de la función implícita convierte relaciones como f ( x , y ) = 0 en funciones. Afirma que si f es continuamente diferenciable , entonces alrededor de la mayoría de los puntos, el conjunto cero de f parece gráficos de funciones pegados juntos. Los puntos donde esto no es cierto están determinados por una condición en la derivada de f . El círculo, por ejemplo, se puede pegar a partir de los gráficos de las dos funciones ± √ 1 - x ² . En un entorno de cada punto del círculo, excepto (−1, 0) y (1, 0) , una de estas dos funciones tiene un gráfico que se parece al círculo. (Estas dos funciones también cumplen con (−1, 0) y (1, 0) , pero esto no está garantizado por el teorema de la función implícita).

El teorema de la función implícita está estrechamente relacionado con el teorema de la función inversa , que establece cuándo una función parece gráficos de funciones invertibles pegados juntos.

Véase también

• Cálculo diferencial)
• Diferenciación numérica
• Técnicas de diferenciación
• Lista de temas de cálculo
• Notación para diferenciación
• Portal de matemáticas

Notas

1. Esta no es una definición formal de lo que es una recta tangente. La definición de la derivada como límite hace rigurosa esta noción de recta tangente.
2. Aunque la definición técnica de una función es algo complicada, es fácil apreciar intuitivamente lo que es una función. Una función toma una entrada y produce una salida. Por ejemplo, la función toma un número y lo eleva al cuadrado. El número sobre el que la función realiza una operación a menudo se representa utilizando la letra , pero no hay diferencia alguna entre escribir y escribir . Por esta razón, a menudo se describe como una "variable ficticia". ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle f(y)=y^{2}}$ ${\displaystyle x}$
3. El término infinitesimal puede llevar a la gente a creer erróneamente que existe un "número infinitamente pequeño", es decir, un número real positivo que es más pequeño que cualquier otro número real. De hecho, el término "infinitesimal" es simplemente una forma abreviada de referirse a un proceso limitante. Por esta razón, no es una fracción, sino el límite de una fracción. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$
4. No todas las funciones pueden diferenciarse, por lo que la definición solo se aplica si "existe el límite". Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre diferenciabilidad .
5. Newton comenzó su trabajo en 1665 y Leibniz comenzó el suyo en 1676. Sin embargo, Leibniz publicó su primer artículo en 1684, antes de la publicación de Newton en 1693. Es posible que Leibniz viera borradores del trabajo de Newton en 1673 o 1676, o que Newton hiciera uso del trabajo de Leibniz para refinar el suyo. Tanto Newton como Leibniz afirmaron que el otro plagió sus respectivos trabajos. Esto resultó en una amarga controversia entre ellos sobre quién inventó primero el cálculo, que sacudió a la comunidad matemática a principios del siglo XVIII.
6. Este fue un logro monumental, a pesar de que una versión restringida había sido probada previamente por James Gregory (1638-1675), y algunos ejemplos clave se pueden encontrar en el trabajo de Pierre de Fermat (1601-1665).

Referencias

Citas

1. "Definición de CÁLCULO DIFERENCIAL". www.merriam-webster.com . Consultado el 9 de mayo de 2020 .
2. "Definición de CÁLCULO INTEGRAL". www.merriam-webster.com . Consultado el 9 de mayo de 2020 .
3. Alcock, Lara (2016). Cómo pensar en el análisis . Nueva York: Oxford University Press. pp. 155–157. ISBN. 978-0-19-872353-0.
4. Weisstein, Eric W. "Derivada". mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de julio de 2020 .
5. Véase Elementos de Euclides , El palimpsesto de Arquímedes y O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Apolonio de Perga", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
6. Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II. Archivado el 1 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
7. Broadbent, TAA; Kline, M. (octubre de 1968). "Trabajo(s) revisado(s): La historia de las matemáticas indias antiguas por CN Srinivasiengar". The Mathematical Gazette . 52 (381): 307–8. doi :10.2307/3614212. JSTOR  3614212. S2CID  176660647.
8. Berggren 1990.
9. Sabra, A. I. (1981). Teorías de la luz: de Descartes a Newton . Cambridge University Press. pág. 144. ISBN. 978-0521284363.
10. Vísperas, H. (1990).

Obras citadas

• Berggren, JL (1990). "Innovación y tradición en Muadalat de Sharaf al-Din al-Tusi". Revista de la Sociedad Oriental Americana . 110 (2): 304–309. doi :10.2307/604533. JSTOR  604533.

Otras fuentes

• J. Edwards (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan and Co., pág. 1.
• Boman, Eugene y Robert Rogers. Cálculo diferencial: de la práctica a la teoría . 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf [1] Archivado el 20 de diciembre de 2022 en Wayback Machine .