Continuidad absoluta

Forma de continuidad para funciones.

En cálculo y análisis real , la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con absoluta continuidad puede formularse en términos de la integración de Lebesgue . Para funciones con valores reales sobre la recta real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas . Estas dos nociones se generalizan en direcciones diferentes. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada de radón-Nikodym , o densidad , de una medida. Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la recta real:

absolutamente continuo ⊆ uniformemente continuo continuo ${\displaystyle =}$

y, para un intervalo compacto,

continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continuo ⊆ absolutamente continuo ⊆ variación limitada ⊆ diferenciable en casi todas partes .

Continuidad absoluta de funciones.

Una función continua no puede ser absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; algunos ejemplos son tan( x ) sobre [0, π /2) , x ² sobre todo el real línea, y sin(1/ x ) sobre (0, 1]. Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua incluso en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable en casi todas partes" (como la función de Weierstrass , que es no diferenciable en ninguna parte). O puede ser diferenciable en casi todas partes y su derivada f  ′ puede ser integrable de Lebesgue , pero la integral de f  ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia f en un intervalo). Función de Cantor .

Definición

Sea un intervalo en la recta real . Una función es absolutamente continua si para cada número positivo , hay un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de con satisfaga ^[1] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{k}<y_{k}\in I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Se denota la colección de todas las funciones absolutamente continuas . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en una función f de valor real en un intervalo compacto [ a , b ] son ​​equivalentes: ^[2]

1. f es absolutamente continua;
2. f tiene una derivada f  ′ en casi todas partes , la derivada es integrable de Lebesgue y
   $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$
   para todo x en [ a , b ];
3. existe una función integrable de Lebesgue g en [ a , b ] tal que
   $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$
   para todo x en [ a , b ].

Si se satisfacen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente cualquier función g como en la condición 3 satisface g = f  ′ en casi todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^[3]

Para una definición equivalente en términos de medidas, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Propiedades

• La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también lo son. Si las dos funciones se definen en un intervalo cerrado acotado, entonces su producto también es absolutamente continuo. ^[4]
• Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado acotado y en ningún lugar es cero, entonces su recíproco es absolutamente continuo. ^[5]
• Toda función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por tanto, continua . Toda función continua de Lipschitz (globalmente) es absolutamente continua. ^[6]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ]. ^[7]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces se puede escribir como la diferencia de dos funciones monótonas y no decrecientes absolutamente continuas en [ a , b ].
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad de Luzin N (es decir, para cualquier cosa tal que , se cumple que , donde representa la medida de Lebesgue en R ). ${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle \lambda (N)=0}$ ${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$ ${\displaystyle \lambda }$
• f : I → R es absolutamente continuo si y sólo si es continuo, es de variación acotada y tiene la propiedad de Luzin N. Esta afirmación también se conoce como teorema de Banach-Zareckiǐ. ^[8]
• Si f : I → R es absolutamente continua y g : R → R es globalmente continua de Lipschitz , entonces la composición g ∘ f es absolutamente continua. Por el contrario, para cada función g que no es globalmente continua de Lipschitz existe una función f absolutamente continua tal que g ∘ f no es absolutamente continua. ^[9]

Ejemplos

Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:

• La función de Cantor en [0, 1] (es de variación acotada pero no absolutamente continua);
• La función:
  $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$
  en un intervalo finito que contiene el origen.

Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no continuas de α-Hölder:

• La función f ( x ) =  x ^β en [0,  c ], para cualquier 0 < β < α < 1

Las siguientes funciones son absolutamente continuas y α-Hölder continuas pero no continuas de Lipschitz :

• La función f ( x ) =  √ x en [0,  c ], para α  ≤ 1/2.

Generalizaciones

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea I un intervalo en la recta real R. Una función f : I → X es absolutamente continua en I si para cada número positivo , hay un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares [ x _k , y _k ] de I satisfaga: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

entonces:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .}$

La colección de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC( I ; X ).

Una generalización adicional es el espacio AC ^p ( I ; X ) de curvas f : I → X tal que: ^[10]

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I}$

para algunos m en el espacio L p L ^p (I).

Propiedades de estas generalizaciones.

• Toda función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por tanto, continua . Toda función continua de Lipschitz es absolutamente continua.
• Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), la derivada métrica de f existe para λ - casi todas las veces en I , y la derivada métrica es la más pequeña m ∈ L ^p ( I ; R ) tal que: ^[11]
  $${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.}$$

Continuidad absoluta de las medidas

Definición

Una medida sobre subconjuntos de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si para todo conjunto mensurable implica . De manera equivalente, implica . Esta condición está escrita como decimos que está dominada por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ ${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda .}$

En la mayoría de las aplicaciones, si simplemente se dice que una medida en la línea real es absolutamente continua (sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua), entonces se quiere decir continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

El mismo principio se aplica a las medidas sobre subconjuntos de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en una medida finita en subconjuntos de Borel de la línea real son equivalentes: ^[12] ${\displaystyle \mu }$

1. ${\displaystyle \mu }$es absolutamente continuo;
2. Por cada número positivo existe un número positivo tal que para todos los conjuntos Borel de Lebesgue miden menos de ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta ;}$
3. Existe una función integrable de Lebesgue sobre la recta real tal que: ${\displaystyle g}$
   $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$
   para todos los subconjuntos de Borel de la línea real. ${\displaystyle A}$

Para una definición equivalente en términos de funciones consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual a casi todas partes. Esta función se llama derivada de radón-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu .}$

La equivalencia entre (1), (2) y (3) también se cumple para todos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Así, las medidas absolutamente continuas son precisamente aquellas que tienen densidades; como caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente las que tienen funciones de densidad de probabilidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

Si y son dos medidas en el mismo espacio medible se dice que es ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle \mu }$absolutamente continuo con respecto a ${\displaystyle \nu }$ifpara cada conjuntopara el cual^[13]Esto se escribe como "". Eso es: ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0.}$ ${\displaystyle \mu \ll \nu }$

$${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

Cuando entonces se dice que es ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$dominante ${\displaystyle \mu .}$

La continuidad absoluta de medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es un preorden más que un orden parcial . En cambio, si y las medidas y se dicen que son equivalentes . Así, la continuidad absoluta induce un ordenamiento parcial de tales clases de equivalencia . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Si es una medida con signo o compleja , se dice que es absolutamente continua respecto de si su variación satisface de manera equivalente, si todo conjunto para el cual es -nulo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle |\mu |\ll \nu ;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

El teorema de Radón-Nikodym ^[14] establece que si es absolutamente continuo con respecto a y ambas medidas son σ-finitas , entonces tiene una densidad, o "derivada de Radón-Nikodym", con respecto a lo que significa que existe una función medible. tomando valores denotados por tales que para cualquier conjunto mensurable tenemos: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,+\infty ),}$ ${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

Medidas singulares

A través del teorema de descomposición de Lebesgue , ^[15] cada medida σ-finita se puede descomponer en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular con respecto a otra medida σ-finita. Consulte medida singular para ver ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.

Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta

Una medida finita μ en subconjuntos de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función puntual:

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

es una función real absolutamente continua. De manera más general, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y sólo si su derivada distributiva es una medida absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Si se mantiene la continuidad absoluta, entonces la derivada de Radón-Nikodym de μ es igual en casi todas partes a la derivada de F. ^[dieciséis]

De manera más general, se supone que la medida μ es localmente finita (en lugar de finita) y F ( x ) se define como μ ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 y − μ (( x ,0]) para x < 0 . En este caso μ es la medida ^de Lebesgue-Stieltjes generada por F . La relación entre las dos nociones de continuidad absoluta aún se mantiene ^.

Notas

1. Royden 1988, sección. 5.4, ​​página 108; Nielsen 1997, Definición 15.6 en la página 251; Athreya & Lahiri 2006, Definiciones 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 128,129. Se supone que el intervalo está acotado y cerrado en los dos primeros libros, pero no en el último. ${\displaystyle I}$
2. Nielsen 1997, Teorema 20.8 en la página 354; también Royden 1988, secc. 5.4, ​​página 110 y Athreya & Lahiri 2006, Teoremas 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 129,130.
3. Athreya y Lahiri 2006, antes del Teorema 4.4.1 en la página 129.
4. Royden 1988, Problema 5.14 (a, b) en la página 111.
5. Royden 1988, Problema 5.14 (c) en la página 111.
6. Royden 1988, Problema 5.20 (a) en la página 112.
7. Royden 1988, Lema 5.11 en la página 108.
8. Bruckner, Bruckner y Thomson 1997, teorema 7.11.
9. Fichtenholz 1923.
10. Ambrosio, Gigli y Savaré 2005, Definición 1.1.1 en la página 23
11. Ambrosio, Gigli y Savaré 2005, Teorema 1.1.2 en la página 24
12. La equivalencia entre (1) y (2) es un caso especial de Nielsen 1997, Proposición 15.5 en la página 251 (falla en medidas σ-finitas); la equivalencia entre (1) y (3) es un caso especial del teorema de Radon-Nikodym , ver Nielsen 1997, Teorema 15.4 en la página 251 o Athreya & Lahiri 2006, Punto (ii) del Teorema 4.1.1 en la página 115 (aún se cumple para medidas σ-finitas).
13. Nielsen 1997, Definición 15.3 en la página 250; Royden 1988, sección. 11.6, página 276; Athreya y Lahiri 2006, Definición 4.1.1 en la página 113.
14. Royden 1988, Teorema 11.23 en la página 276; Nielsen 1997, Teorema 15.4 en la página 251; Athreya y Lahiri 2006, ítem (ii) del teorema 4.1.1 en la página 115.
15. Royden 1988, Proposición 11.24 en la página 278; Nielsen 1997, Teorema 15.14 en la página 262; Athreya y Lahiri 2006, ítem (i) del teorema 4.1.1 en la página 115.
16. Royden 1988, Problema 12.17 (b) en la página 303.
17. Athreya y Lahiri 2006, secc. 1.3.2, página 26.
18. Nielsen 1997, Proposición 15.7 en la página 252; Athreya y Lahiri 2006, Teorema 4.4.3 en la página 131; Royden 1988, problema 12.17 (a) en la página 303.

Referencias

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Bruckner, AM; Bruckner, JB; Thomson, BS (1997), Análisis real , Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
• Fichtenholz, Grigorii (1923). "Continúa la nota sobre las funciones absolutas". Matematicheskii Sbornik . 31 (2): 286–295.
• Leoni, Giovanni (2009), Un primer curso en espacios de Sobolev , Estudios de Posgrado en Matemáticas, Sociedad Matemática Estadounidense, págs. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR 2527916, Zbl  1180.46001, MAA 
• Nielsen, Ole A. (1997), Introducción a la integración y la teoría de la medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Análisis real (tercera ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

enlaces externos

• Continuidad absoluta en la Enciclopedia de Matemáticas
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl