En matemáticas , una función f en el intervalo [ a , b ] tiene la propiedad N de Luzin , llamada así en honor a Nikolai Luzin (también llamada propiedad de Luzin o propiedad N) si para todos los que , se cumple: , donde representa la medida de Lebesgue .
Nótese que la imagen de dicho conjunto N no es necesariamente medible , pero como la medida de Lebesgue es completa , se deduce que si la medida externa de Lebesgue de ese conjunto es cero, entonces es medible y su medida de Lebesgue también es cero.
Cualquier función diferenciable tiene la propiedad N de Luzin. [1] [2] Esto se extiende a funciones que son diferenciables en un conjunto contable , ya que la imagen de un conjunto contable es contable y por lo tanto un conjunto nulo, pero no a funciones diferenciables en un conjunto contable : La función de Cantor no tiene la propiedad N de Luzin, ya que la medida de Lebesgue del conjunto de Cantor es cero, pero su imagen es el intervalo completo [0,1].
Una función f en el intervalo [ a , b ] es absolutamente continua si y sólo si es continua , es de variación acotada y tiene la propiedad N de Luzin.
![{\displaystyle N\subconjunto [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33194ec123afd1a8ffdd697e1464f0a3b321608a)
