variación acotada

Función real con variación total finita

En análisis matemático , una función de variación acotada , también conocida como función BV , es una función de valor real cuya variación total es acotada (finita): la gráfica de una función que tiene esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable , ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección del eje y , despreciando la contribución del movimiento a lo largo del eje x , recorrida por un punto que se mueve a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es el mismo, excepto por el hecho de que el camino continuo a considerar no puede ser la gráfica completa de la función dada (que es una hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección del propio gráfico con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, un plano ) paralelo a un eje x fijo y al eje y .

Las funciones de variación acotada son precisamente aquellas respecto de las cuales se pueden encontrar integrales de Riemann-Stieltjes de todas las funciones continuas.

Otra caracterización establece que las funciones de variación acotada en un intervalo compacto son exactamente aquellas f que pueden escribirse como una diferencia g  −  h , donde tanto g como h son monótonos acotados . En particular, una función BV puede tener discontinuidades, pero como máximo un número contable.

En el caso de varias variables, se dice que una función f definida en un subconjunto abierto Ω de tiene variación acotada si su derivada distribucional es una medida de radón finita con valor vectorial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman un álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes : debido a este hecho, pueden usarse, y con frecuencia se usan, para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales que involucran funcionales , ordinarios y ecuaciones diferenciales parciales en matemáticas , física e ingeniería .

Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado de la recta real:

Continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continuo ⊆ absolutamente continuo ⊆ variación continua y acotada ⊆ diferenciable en casi todas partes

Historia

Según Boris Golubov, las funciones BV de una sola variable fueron introducidas por primera vez por Camille Jordan , en el artículo (Jordan 1881) que trata sobre la convergencia de las series de Fourier . El primer paso exitoso en la generalización de este concepto a funciones de varias variables se debió a Leonida Tonelli , ^[1] quien introdujo una clase de funciones BV continuas en 1926 (Cesari 1986, pp. 47-48), para extender su método directo para encontrar soluciones a problemas de cálculo de variaciones en más de una variable. Diez años después, en (Cesari 1936), Lamberto Cesari cambió el requisito de continuidad en la definición de Tonelli por un requisito de integrabilidad menos restrictivo , obteniendo por primera vez la clase de funciones de variación acotada de varias variables en toda su generalidad: como lo hizo Jordan antes él, aplicó el concepto para resolver un problema relativo a la convergencia de series de Fourier, pero para funciones de dos variables . Después de él, varios autores aplicaron funciones BV para estudiar series de Fourier en varias variables, teoría de medidas geométricas , cálculo de variaciones y física matemática . Renato Caccioppoli y Ennio De Giorgi los usaron para definir medidas de límites no suaves de conjuntos (consulte la entrada " Conjunto de Caccioppoli " para obtener más información). Olga Arsenievna Oleinik presentó su visión de las soluciones generalizadas para ecuaciones diferenciales parciales no lineales como funciones del espacio BV en el artículo (Oleinik 1957), y pudo construir una solución generalizada de variación acotada de una ecuación diferencial parcial de primer orden en el artículo ( Oleinik 1959): unos años más tarde, Edward D. Conway y Joel A. Smoller aplicaron funciones BV al estudio de una única ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal de primer orden en el artículo (Conway & Smoller 1966), demostrando que la solución de el problema de Cauchy para tales ecuaciones es una función de variación acotada, siempre que el valor inicial pertenezca a la misma clase. Aizik Isaakovich Vol'pert desarrolló ampliamente un cálculo para BV funciones: en el artículo (Vol'pert 1967) demostró la regla de la cadena para funciones BV y en el libro (Hudjaev & Vol'pert 1985) él, junto con su alumno Sergei Ivanovich Hudjaev, exploró extensamente las propiedades de las funciones BV y sus solicitud. Su fórmula de regla de la cadena fue posteriormente ampliada por Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso en el artículo (Ambrosio y Dal Maso 1990).

Definicion formal

Funciones BV de una variable.

Definición 1.1. La variación total de una función f continua de valor real (o más generalmente de valor complejo ) , definida en un intervalo es la cantidad ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

donde el supremo se toma sobre el conjunto de todas las particiones del intervalo considerado. ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$

Si f es diferenciable y su derivada es integrable de Riemann, su variación total es la componente vertical de la longitud del arco de su gráfica, es decir,

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

Definición 1.2. Se dice que una función continua de valor real en la recta real es de variación acotada ( función BV ) en un intervalo elegido si su variación total es finita, es decir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\in {\text{BV}}([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

Se puede demostrar que una función real ƒ es de variación acotada en si y sólo si se puede escribir como la diferencia ƒ  =  ƒ ₁  −  ƒ ₂ de dos funciones no decrecientes en : este resultado se conoce como descomposición de Jordan de un función y está relacionada con la descomposición de Jordan de una medida . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

A través de la integral de Stieltjes , cualquier función de variación acotada en un intervalo cerrado [ a , b ] define una funcional lineal acotada en C ([ a , b ]). En este caso especial, ^[2] el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani establece que todo funcional lineal acotado surge únicamente de esta manera. Las funcionales positivas normalizadas o medidas de probabilidad corresponden a funciones semicontinuas inferiores positivas no decrecientes . Este punto de vista ha sido importante en la teoría espectral , ^[3] en particular en su aplicación a ecuaciones diferenciales ordinarias .

Funciones BV de varias variables.

Las funciones de variación acotada, funciones BV , son funciones cuya derivada distribucional es una medida finita ^[4] de radón . Más precisamente:

Definición 2.1. Sea un subconjunto abierto de . Una función perteneciente a se dice de variación acotada ( función BV ), y se escribe ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle u\in BV(\Omega )}$

si existe un vector finito de medida de radón tal que se cumpla la siguiente igualdad ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

es decir, define una funcional lineal en el espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenidas en : la medida vectorial representa por tanto el gradiente distribucional o débil de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Du}$ ${\displaystyle u}$

BV se puede definir de manera equivalente de la siguiente manera.

Definición 2.2. Dada una función perteneciente a , la variación total de ^[5] en se define como ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

¿ Dónde está la norma suprema esencial ? En ocasiones, especialmente en la teoría de conjuntos de Caccioppoli , se utiliza la siguiente notación ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

para enfatizar que es la variación total del gradiente distribucional / débil de . Esta notación recuerda también que si es de clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ), entonces su variación es exactamente la integral del valor absoluto de su gradiente . ${\displaystyle V(u,\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$

El espacio de funciones de variación acotada ( funciones BV ) se puede definir como

${\displaystyle BV(\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

Las dos definiciones son equivalentes ya que si entonces ${\displaystyle \scriptstyle V(u,\Omega )<+\infty }$

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

por lo tanto define un funcional lineal continuo en el espacio . Dado que como subespacio lineal , este funcional lineal continuo puede extenderse de forma continua y lineal al todo mediante el teorema de Hahn-Banach . Por tanto, el funcional lineal continuo define una medida de radón mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \scriptstyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Funciones locales de BV

Si en las definiciones anteriores 1.2 , 2.1 y 2.2 se considera el espacio funcional de funciones localmente integrables , es decir funciones pertenecientes a , en lugar del de funciones globalmente integrables , entonces el espacio funcional definido es el de funciones de variación localmente acotada . Precisamente, desarrollando esta idea para la definición 2.2 , una variación local se define de la siguiente manera, ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

para cada conjunto , habiéndose definido como el conjunto de todos los subconjuntos abiertos precompactos de con respecto a la topología estándar de espacios vectoriales de dimensión finita , y correspondientemente la clase de funciones de variación localmente acotada se define como ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle BV_{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

Notación

Existen básicamente dos convenciones distintas para la notación de espacios de funciones de variación acotada local o globalmente, y desafortunadamente son bastante similares: la primera, que es la adoptada en esta entrada, se usa, por ejemplo, en las referencias de Giusti (1984). (parcialmente), Hudjaev & Vol'pert (1985) (parcialmente), Giaquinta, Modica & Souček (1998) y es el siguiente

• ${\displaystyle BV(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación globalmente acotada
• ${\displaystyle BV_{\text{loc}}(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada

El segundo, que se adopta en las referencias Vol'pert (1967) y Maz'ya (1985) (parcialmente), es el siguiente:

• ${\displaystyle {\overline {BV}}(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación globalmente acotada
• ${\displaystyle BV(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada

Propiedades básicas

A continuación sólo se considerarán las propiedades comunes a funciones de una variable y a funciones de varias variables, y se realizarán demostraciones sólo para funciones de varias variables, ya que la demostración para el caso de una variable es una adaptación directa de las varias. Caso de variables: además, en cada apartado se indicará si la propiedad es compartida también por funciones de variación acotada localmente o no. Se utilizan ampliamente las referencias (Giusti 1984, pp. 7-9), (Hudjaev & Vol'pert 1985) y (Màlek et al. 1996).

Las funciones BV solo tienen discontinuidades de tipo salto o removibles

En el caso de una variable, la afirmación es clara: para cada punto en el intervalo de definición de la función , cualquiera de las dos afirmaciones siguientes es verdadera ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

mientras que ambos límites existen y son finitos. En el caso de funciones de varias variables, hay algunas premisas a entender: en primer lugar, existe un continuo de direcciones a lo largo de las cuales es posible aproximarse a un punto dado perteneciente al dominio ⊂ . Es necesario precisar un concepto adecuado de límite : eligiendo un vector unitario es posible dividirlo en dos conjuntos. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

Entonces para cada punto perteneciente al dominio de la función BV , sólo una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

o pertenece a un subconjunto de medidas de Hausdorff de dimensión cero . Las cantidades ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

se llaman límites aproximados de la función BV en el punto . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{0}}$

V (·, Ω) es semicontinuo inferior en L 1 (Ω)

La funcional es semicontinua inferior : para ver esto, elija una secuencia de Cauchy de funciones BV que converjan a . Entonces, dado que todas las funciones de la secuencia y su función límite son integrables y por la definición de límite inferior ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega ):BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

Ahora, considerando el supremo en el conjunto de funciones tales que entonces se cumple la siguiente desigualdad ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

que es exactamente la definición de semicontinuidad inferior .

BV (Ω) es un espacio de Banach

Por definición es un subconjunto de , mientras que la linealidad se deriva de las propiedades de linealidad de la integral definitoria , es decir ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

para todos, por tanto , para todos , y ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \scriptstyle u+v\in BV(\Omega )}$ ${\displaystyle \scriptstyle u,v\in BV(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

para todos , por tanto para todos , y para todos . Las propiedades demostradas del espacio vectorial implican que es un subespacio vectorial de . Consideremos ahora la función definida como ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle cu\in BV(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in BV(\Omega )}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \scriptstyle \|\;\|_{BV}:BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \|u\|_{BV}:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

¿Dónde está la norma habitual ? Es fácil demostrar que se trata de una norma . Para ver que es completo respecto a él, es decir, que es un espacio de Banach , consideremos una secuencia de Cauchy en . Por definición, también es una secuencia de Cauchy y , por lo tanto, tiene un límite en : dado que está acotada para cada uno , entonces por la semicontinuidad inferior de la variación , por lo tanto, es una función BV . Finalmente, nuevamente por semicontinuidad inferior, eligiendo un número positivo pequeño arbitrario ${\displaystyle \scriptstyle \|\;\|_{L^{1}}}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Vert u\Vert _{BV}<+\infty }$ ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{BV}<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

De esto deducimos que es continuo porque es una norma. ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega )}$

BV (Ω) no es separable

Para ver esto, basta considerar el siguiente ejemplo perteneciente al espacio : ^[6] para cada 0 <  α  < 1 definir ${\displaystyle BV([0,1])}$

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

como función característica del intervalo cerrado por la izquierda . Entonces, eligiendo α,β ∈ tal que α ≠ β se cumple la siguiente relación: ${\displaystyle [\alpha ,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{BV}=2}$

Ahora bien, para demostrar que todo subconjunto denso de no puede ser contable , basta con ver que para cada uno es posible construir las bolas ${\displaystyle BV(]0,1[)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in BV([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{BV}\leq 1\right\}}$

Obviamente esas bolas son disjuntas por pares y también son una familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es . Esto implica que esta familia tiene la cardinalidad del continuo : ahora, dado que cada subconjunto denso de debe tener al menos un punto dentro de cada miembro de esta familia, su cardinalidad es al menos la del continuo y por lo tanto no puede ser un subconjunto contable. ^[7] Este ejemplo obviamente se puede extender a dimensiones superiores y, dado que solo involucra propiedades locales , implica que la misma propiedad es cierta también para . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle BV([0,1])}$ ${\displaystyle BV_{loc}}$

Regla de la cadena para funciones BV

Las reglas de cadena para funciones no suaves son muy importantes en matemáticas y física matemática ya que existen varios modelos físicos importantes cuyos comportamientos se describen mediante funciones o funcionales con un grado de suavidad muy limitado . La siguiente regla de la cadena se demuestra en el artículo (Vol'pert 1967, p. 248). Tenga en cuenta que todas las derivadas parciales deben interpretarse en un sentido generalizado, es decir, como derivadas generalizadas .

Teorema . Sea una función de clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ) y sea una función siendo un subconjunto abierto de . Entonces y ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in BV(\Omega )}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

donde es el valor medio de la función en el punto , definido como ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle \scriptstyle x\in \Omega }$

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso han encontrado una fórmula de regla de cadena más general para funciones continuas de Lipschitz y están publicadas en el artículo (Ambrosio y Dal Maso 1990). Sin embargo, incluso esta fórmula tiene consecuencias directas muy importantes: usar en lugar de , donde también es una función y elegir , la fórmula anterior da la regla de Leibniz para funciones ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$ ${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle BV}$ ${\displaystyle f((u,v))=uv}$ ${\displaystyle BV}$

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

Esto implica que el producto de dos funciones de variación acotada es nuevamente una función de variación acotada , por lo tanto es un álgebra . ${\displaystyle BV(\Omega )}$

BV (Ω) es un álgebra de Banach

Esta propiedad se deriva directamente del hecho de que es un espacio de Banach y también un álgebra asociativa : esto implica que si y son secuencias de funciones de Cauchy que convergen respectivamente a funciones y en , entonces ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ ${\displaystyle BV}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}vu_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\\v_{n}u{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\end{matrix}}\quad \Longleftrightarrow \quad vu\in BV(\Omega )}$

por lo tanto, el producto ordinario de funciones es continuo con respecto a cada argumento, lo que convierte a este espacio funcional en un álgebra de Banach . ${\displaystyle BV(\Omega )}$

Generalizaciones y extensiones.

Funciones BV ponderadas

Es posible generalizar la noción anterior de variación total de modo que las diferentes variaciones se ponderen de manera diferente. Más precisamente, sea cualquier función creciente tal que (la función de peso ) y sea una función del intervalo que toma valores en un espacio vectorial normado . Entonces la variación de over se define como ${\displaystyle \scriptstyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$ ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle f:[0,T]\longrightarrow X}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varphi }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,T]}$

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

donde, como de costumbre, el supremo se toma sobre todas las particiones finitas del intervalo , es decir, todos los conjuntos finitos de números reales tales que ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

La noción original de variación considerada anteriormente es el caso especial de variación para el cual la función de peso es la función identidad : por lo tanto, se dice que una función integrable es una función BV ponderada (de peso ) si y sólo si su variación es finita. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$

${\displaystyle f\in BV_{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

El espacio es un espacio vectorial topológico con respecto a la norma. ${\displaystyle \scriptstyle BV_{\varphi }([0,T];X)}$

${\displaystyle \|f\|_{BV_{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

donde denota la norma suprema habitual de . Las funciones BV ponderadas fueron introducidas y estudiadas con total generalidad por Władysław Orlicz y Julian Musielak en el artículo Musielak & Orlicz 1959: Laurence Chisholm Young estudió anteriormente el caso en el que es un número entero positivo. ${\displaystyle \scriptstyle \|f\|_{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (x)=x^{p}}$ ${\displaystyle p}$

funciones SBV

Las funciones SBV, es decir, las funciones especiales de variación acotada, fueron introducidas por Luigi Ambrosio y Ennio De Giorgi en el artículo (Ambrosio y De Giorgi 1988), que trata de problemas variacionales de discontinuidad libre : dado un subconjunto abierto de , el espacio es un subespacio lineal propio de , ya que el gradiente débil de cada función que le pertenece consiste precisamente en la suma de un soporte an- dimensional y una medida de soporte an - dimensional y no términos de dimensión intermedia , como se ve en la siguiente definición. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle SBV(\Omega )}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Definición . Dada una función localmente integrable , entonces si y sólo si ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle u\in {S\!BV}(\Omega )}$

1. Existen dos funciones de Borel y de dominio y codominio tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. Para todas las funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenidas en , es decir, para todas , la siguiente fórmula es verdadera: ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

¿ Dónde está la medida dimensional de Hausdorff ? ${\displaystyle H^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Se pueden encontrar detalles sobre las propiedades de las funciones SBV en los trabajos citados en la sección de bibliografía: en particular, el artículo (De Giorgi 1992) contiene una bibliografía útil .

secuencias bv

Como ejemplos particulares de espacios de Banach , Dunford y Schwartz (1958, Capítulo IV) consideran espacios de secuencias de variación acotada , además de los espacios de funciones de variación acotada. La variación total de una secuencia x  = ( x _i ) de números reales o complejos está definida por

${\displaystyle TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

El espacio de todas las secuencias de variación total finita se denota por bv . La norma sobre bv está dada por

${\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con esta norma, el espacio bv es un espacio de Banach isomorfo a . ${\displaystyle \ell _{1}}$

La variación total en sí misma define una norma en un cierto subespacio de bv , denotado por bv ₀ , que consta de secuencias x = ( xi ) para las _cuales

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

La norma en bv ₀ se denota

${\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con respecto a esta norma, bv ₀ también se convierte en un espacio de Banach, que es isomorfo e isométrico (aunque no de forma natural). ${\displaystyle \ell _{1}}$

Medidas de variación acotada

Se dice que una medida con signo (o compleja ) en un espacio mensurable es de variación acotada si su variación total está acotada: ver Halmos (1950, p. 123), Kolmogorov & Fomin (1969, p. 346) o la entrada " Total variación " para más detalles. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$

Ejemplos

La función f ( x ) = sin(1/ x ) no tiene una variación acotada en el intervalo . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Como se mencionó en la introducción, dos grandes clases de ejemplos de funciones BV son funciones monótonas y funciones absolutamente continuas. Para un ejemplo negativo: la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

no es de variación acotada en el intervalo ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

La función f ( x ) =  x  sin(1/ x ) no es de variación acotada en el intervalo . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Si bien es más difícil de ver, la función continua

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

tampoco es de variación acotada en el intervalo . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

La función f ( x ) =  x ²  sin(1/ x ) es de variación acotada en el intervalo . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Al mismo tiempo, la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

es de variación acotada en el intervalo . Sin embargo, las tres funciones tienen una variación acotada en cada intervalo con . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a>0}$

La función de Cantor es un ejemplo bien conocido de función de variación acotada que no es absolutamente continua. ^[8]

El espacio de Sobolev es un subconjunto propio de . De hecho, para cada uno es posible elegir una medida (¿dónde está la medida de Lebesgue en ) tal que la igualdad ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ ${\displaystyle BV(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}}$

Se cumple, ya que no es más que la definición de derivada débil y, por tanto, se cumple. Se puede encontrar fácilmente un ejemplo de una función BV que no lo sea : en la dimensión uno, cualquier función escalonada con un salto no trivial servirá. ${\displaystyle W^{1,1}}$

Aplicaciones

Matemáticas

Las funciones de variación acotada se han estudiado en relación con el conjunto de discontinuidades de funciones y la diferenciabilidad de funciones reales, y los siguientes resultados son bien conocidos. Si es una función real de variación acotada en un intervalo entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

• ${\displaystyle f}$es continuo excepto como máximo en un conjunto contable ;
• ${\displaystyle f}$tiene límites unilaterales en todas partes (límites desde la izquierda en todas partes en y desde la derecha en todas partes en  ; ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle [a,b)}$
• la derivada existe en casi todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida cero ). ${\displaystyle f'(x)}$

Para funciones reales de varias variables reales

• la función característica de un conjunto de Caccioppoli es una función BV : las funciones BV se encuentran en la base de la teoría moderna de los perímetros.
• Las superficies mínimas son gráficas de funciones BV : en este contexto, ver referencia (Giusti 1984).

Física e ingeniería.

La capacidad de las funciones BV para lidiar con discontinuidades ha hecho que su uso se generalice en las ciencias aplicadas: las soluciones de problemas en mecánica, física y cinética química muy a menudo se pueden representar mediante funciones de variación limitada. El libro (Hudjaev y Vol'pert 1985) detalla un conjunto muy amplio de aplicaciones de física matemática de funciones BV . También hay alguna aplicación moderna que merece una breve descripción.

• El funcional de Mumford-Shah : el problema de segmentación de una imagen bidimensional, es decir, el problema de la reproducción fiel de contornos y escalas de grises, equivale a la minimización de dicho funcional .
• Eliminación de ruido de variación total

Ver también

• Renato Caccioppoli
• Conjunto Caccioppoli
• Lamberto Cesari
• Ennio De Giorgi
• Teorema de selección de Helly
• Función localmente integrable
• L ^p (Ω) espacio
• Integral de Lebesgue-Stieltjes
• Medida de radón
• Derivada reducida
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Variación total
• variación cuadrática
• variación p
• Aizik Isaakovich Vol'pert
• Eliminación de ruido de variación total
• Variación total disminuyendo

Notas

1. Tonelli introdujo lo que ahora se llama en su honor Variación del plano de Tonelli : para un análisis de este concepto y sus relaciones con otras generalizaciones, consulte la entrada " Variación total ".
2. Véase, por ejemplo, Kolmogorov y Fomin (1969, págs. 374-376).
3. Para obtener una referencia general sobre este tema, consulte Riesz y Szőkefalvi-Nagy (1990)
4. En este contexto, "finito" significa que su valor nunca es infinito , es decir, es una medida finita .
5. Consulte la entrada " Variación total " para obtener más detalles y más información.
6. El ejemplo está tomado de Giaquinta, Modica y Souček (1998, p. 331): véase también (Kannan y Krueger 1996, ejemplo 9.4.1, p. 237).
7. Kolmogorov y Fomin (1969, ejemplo 7, págs. 48-49) utilizan el mismo argumento para demostrar la no separabilidad del espacio de secuencias acotadas , y también Kannan y Krueger (1996, ejemplo 9.4.1, pág.237).
8. "Análisis real: la variación continua y acotada no implica absolutamente continua".

Referencias

Trabajos de investigación

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• Giaquinta, Mariano ; Módica, Giuseppe; Souček, Jiří (1998), Corrientes cartesianas en el cálculo de variación I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 37, Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer Verlag, ISBN 3-540-64009-6, Zbl  0914.49001.
• Giusti, Enrico (1984), Superficies mínimas y funciones de variaciones acotadas, Monografías de Matemáticas, vol. 80, Basilea-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, págs. XII+240, ISBN 978-0-8176-3153-6, SEÑOR  0775682, Zbl  0545.49018, particularmente la parte I, capítulo 1 " Funciones de variación acotada y conjuntos de Caccioppoli ". Una buena referencia sobre la teoría de conjuntos de Caccioppoli y su aplicación al problema de superficie mínima .
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• Kannan, Rangachary; Krueger, Carole King (1996), Análisis avanzado de la línea real , Universitext, Berlín–Heidelberg–Nueva York: Springer Verlag, págs. x+259, ISBN 978-0-387-94642-9, SEÑOR  1390758, Zbl  0855.26001. Quizás el libro de referencia más completo para la teoría de funciones BV en una variable: los resultados clásicos y los resultados avanzados se recopilan en el capítulo 6 " Variación acotada " junto con varios ejercicios. El primer autor fue colaborador de Lamberto Cesari .
• Kolmogorov, Andrej N .; Fomin, Sergej V. (1969), Introductory Real Analysis, Nueva York: Dover Publications, págs. xii+403, ISBN 0-486-61226-0, SEÑOR  0377445, Zbl  0213.07305.
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• Maz'ya, Vladimir G. (1985), Espacios Sobolev , Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13589-8, Zbl  0692.46023; particularmente el capítulo 6, "Sobre funciones en el espacio BV (Ω) ". Una de las mejores monografías sobre la teoría de los espacios de Sobolev .
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• Riesz, Frigyes ; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990), Análisis funcional, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-66289-6, Zbl  0732.47001
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Referencias históricas

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enlaces externos

Teoría

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variación de una función", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Función BV". PlanetMath ..
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Variación limitada". MundoMatemático .
• Función de variación acotada en la Enciclopedia de Matemáticas

Otro

• Página de inicio de Luigi Ambrosio en la Scuola Normale Superiore di Pisa . Página de inicio académica (con preimpresiones y publicaciones) de uno de los contribuyentes a la teoría y aplicaciones de las funciones BV.
• Grupo de Investigación en Cálculo de Variaciones y Teoría de la Medida Geométrica, Scuola Normale Superiore di Pisa .

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