Variación cuadrática

Cantidad definida para un proceso estocástico

En matemáticas , la variación cuadrática se utiliza en el análisis de procesos estocásticos como el movimiento browniano y otras martingalas . La variación cuadrática es solo un tipo de variación de un proceso.

Definición

Supongamos que es un proceso estocástico de valor real definido en un espacio de probabilidad y con un índice de tiempo que abarca los números reales no negativos. Su variación cuadrática es el proceso, escrito como , definido como ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [X]_{t}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

donde los rangos se extienden sobre las particiones del intervalo y la norma de la partición es la malla . Este límite, si existe, se define utilizando la convergencia en probabilidad . Nótese que un proceso puede ser de variación cuadrática finita en el sentido de la definición dada aquí y sus trayectorias pueden ser, no obstante, casi seguramente de variación 1- infinita para cada en el sentido clásico de tomar el supremo de la suma sobre todas las particiones; este es en particular el caso del movimiento browniano . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t>0}$

De manera más general , la covariación (o varianza cruzada ) de dos procesos es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

La covariación puede escribirse en términos de la variación cuadrática por la identidad de polarización :

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

Notación: la variación cuadrática también se escribe como o . ${\displaystyle \langle X\rangle _{t}}$ ${\displaystyle \langle X,X\rangle _{t}}$

Procesos de variación finita

Se dice que un proceso tiene variación finita si tiene variación acotada en cada intervalo de tiempo finito (con probabilidad 1). Tales procesos son muy comunes, incluidas, en particular, todas las funciones continuamente diferenciables. La variación cuadrática existe para todos los procesos de variación finita continua y es cero. ${\displaystyle X}$

Esta afirmación se puede generalizar a procesos no continuos. Cualquier proceso de variación finita de càdlàg tiene una variación cuadrática igual a la suma de los cuadrados de los saltos de . Para expresarlo con más precisión, el límite izquierdo de con respecto a se denota por , y el salto de en el tiempo se puede escribir como . Entonces, la variación cuadrática está dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t-}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

La prueba de que los procesos de variación finita continua tienen variación cuadrática cero se desprende de la siguiente desigualdad. Aquí, es una partición del intervalo , y es la variación de sobre . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle V_{t}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

Por la continuidad de , este se desvanece en el límite cuando tiende a cero. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Vert P\Vert }$

Procesos de Itô

La variación cuadrática de un movimiento browniano estándar existe y está dada por , sin embargo, el límite en la definición se entiende en el sentido y no en la trayectoria. Esto se generaliza a los procesos de Itô que, por definición, se pueden expresar en términos de integrales de Itô ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]_{t}=t}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

donde es un movimiento browniano. Cualquier proceso de este tipo tiene una variación cuadrática dada por ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

Semimartingalas

Se puede demostrar que existen variaciones y covariaciones cuadráticas de todas las semimartingalas . Forman una parte importante de la teoría del cálculo estocástico y aparecen en el lema de Itô , que es la generalización de la regla de la cadena a la integral de Itô. La covariación cuadrática también aparece en la fórmula de integración por partes .

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

que se puede utilizar para calcular . ${\displaystyle [X,Y]}$

Alternativamente, esto puede escribirse como una ecuación diferencial estocástica :

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

dónde ${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

Martingalas

Todas las martingalas càdlàg y las martingalas locales tienen una variación cuadrática bien definida, lo que se desprende del hecho de que dichos procesos son ejemplos de semimartingalas. Se puede demostrar que la variación cuadrática de una martingala general integrable localmente cuadrada es el único proceso continuo por la derecha y creciente que comienza en cero, con saltos y que es una martingala local. En Karandikar–Rao (2014) se ofrece una prueba de su existencia (sin utilizar cálculo estocástico). ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$ ${\displaystyle M^{2}-[M]}$ ${\displaystyle M}$

Un resultado útil para las martingalas integrables cuadradas es la isometría de Itô , que se puede utilizar para calcular la varianza de las integrales de Itô,

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

Este resultado es válido siempre que se trate de una martingala integrable al cuadrado y de un proceso predecible y acotado , y se utiliza a menudo en la construcción de la integral de Itô. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

Otro resultado importante es la desigualdad de Burkholder–Davis–Gundy . Esta proporciona límites para el máximo de una martingala en términos de la variación cuadrática. Para una martingala local que comienza en cero, con un máximo denotado por , y cualquier número real , la desigualdad es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

Aquí, hay constantes que dependen de la elección de , pero no de la martingala o del tiempo utilizados. Si es una martingala local continua, entonces la desigualdad de Burkholder–Davis–Gundy se cumple para cualquier . ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p>0}$

Un proceso alternativo, la variación cuadrática predecible, se utiliza a veces para martingalas integrables localmente al cuadrado. Se escribe como , y se define como el único proceso predecible, continuo por la derecha y creciente que comienza en cero tal que es una martingala local. Su existencia se desprende del teorema de descomposición de Doob-Meyer y, para martingalas locales continuas, es lo mismo que la variación cuadrática. ${\displaystyle \langle M_{t}\rangle }$ ${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$

Véase también

• Variación total
• Variación limitada
• p -variación

Referencias

• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, BV (2014). "Sobre la variación cuadrática de las martingalas". Actas - Ciencias Matemáticas . 124 (3): 457–469. doi :10.1007/s12044-014-0179-2. S2CID  120031445.